خصائص الاقتران الخطي

نظرة عامة حول الاقتران الخطي

يُمكن تعريف الاقتران الخطي (بالإنجليزية: Linear Function) بأنّه الاقتران الذي يُمكن تمثيله على شكل خطّ مُستقيم، أما من الناحية الرياضيّة فهو الاقتران الذي تتكوّن معادلته من مُتغيّر واحد أو مُتغيّرين فقط دون وجود للأسس، أمّا إذا احتوى على عدد أكبر من الحدود فيجب لهذه الحدود أن تكون أعداداً ثابتة حتى يبقى الاقتران اقتراناً خطيّاً،^[١] ويُعدّ الاقتران الخطي من أسهل الاقترانات دراسة، كما تعدّ طريقة حلّ المُعادلات الخطيّة من أسهل طرق الحلّ المُعادلات، ويجدر بالذكر هنا أنّ هناك ثلاث صيغ قياسيّة للاقتران الخطيّ: ص= ق(س)، وهي كما يلي:^[٢]

• ق(س)= م س ب، ويُطلق عليها اسم (صيغة الميل-القاطع)؛ حيثُ إنّ: م: ميل الخطّ المُستقيم، ب: المقطع الصادي، وهي قيمة المُتغيّر (ص) عندما تكون قيمة س= 0.
• ص- ص1= م(س- س1)، أو ما يُعادلها: ق(س) = ص1 م(س- س1)، ويُطلق عليها اسم (صيغة تايلور) أو (صيغة النقطة-الميل)؛ حيث إن: النقطة (س1،ص1): نقطة على الخط المُستقيم وتُحقق المعادلة ص=ق(س)، م: ميل الخطّ المُستقيم.
• أ س ب ص = جـ، ويُطلق عليها اسم (الصيغة العامّة)، وفي هذه الصيغة تكون قيمة الميل= -أ/ب، إذا كانت ب≠0، أو قيمة الميل= ∞؛ إذا كانت ب=0،

ملاحظات عامة: يحتوي أي اقتران خطيّ على مُتغيّر مستقل هو (س) ومُتغيّر تابع أو غير مستقل هو (ص)، ويتمثّل الميل (م) دائماً مُعامل المُتغيّر المُستقّل (س) عندما يكون الاقتران بصيغة الميل-القاطع.^[٣]

لمزيد من المعلومات حول طرق حلّ المعادلات الخطيّة يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

خصائص الاقتران الخطي

للاقتران الخطي خصائص عديدة منها ما يلي:^[٤][٥]

• يتمثل مجال الاقتران الخطيّ ومداه بمجموعة الأعداد الحقيقيّة (ح).
• يحتوي الاقتران الخطيّ على مُتغيّرين فقط مرفوعين للأس واحد، وبالتالي فإنّ رسمه البياني يتمثل بخطّ مُستقيم كما ذُكر سابقاً.^[٦]
• تُمثل جميع الأزواج المُرتبة (س، ص) الناتجة عن تعويض قيم مختلفة لـ س في معادلة الاقتران الخطيّ جميع النقاط الموجودة على الخط.
• يتمثل الميل دائماً بمُعدّل التغيّر للاقتران الخطيّ.
• تحتوي المُعادلة الخطيّة المكتوبة بصيغة الميل-القاطع على قيمة الميل والقيمة الأوليّة للاقتران أو قيمة المقطع الصادي.
• تُسمّى القيمة الأوليّة للاقتران بالمقطع الصادي، وهي قيمة ص عند النقطة التي يقطع الخطّ عندها محور الصادات، وذلك عندما تكون س= صفر.
• ينتج عن الاقتران الخطيّ المُتزايد رسم بيانيّ يتمثل بخط يميل نحو الأعلى عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
• ينتج عن الاقتران الخطيّ المُتناقص رسم بيانيّ يتمثل بخط يميل نحو الأسفل عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
• ينتج عن الاقتران الخطيّ الثابت رسم بيانيّ يتمثل بخط أفقيّ.
• يُمثّل الرمز ق(س) رمزاً آخر يعبّر عن المُتغيّر ص.^[٧]

خصائص ميل الاقتران الخطي

يكون الميل للاقتران الخطي عادة على شكل إحدى الصور الآتية:^[٨]

• يكون الميل موجباً: م>0، إذا كان الاقتران مُتزايداً؛ أي إذا مال الخط للأعلى عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
• يكون الميل سالباً: م<0، إذا كان الاقتران مُتناقصاً؛ أي إذا مال الخط للأسفل عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.
• يكون الميل مُساوياً للصفر: م=0، إذا كان الاقتران ثابتاً؛ أي كان الخط الممثّل له أفقياً.
• يكون الميل غير مُحدّد (∞)؛ إذا كان الخط الممثل للاقتران عمودياً.

ملاحظة: يُحسب الميل عن طريق قسمة قيمة التغيّر الرأسيّ على قيمة التغيّر الأفقيّ لأيّة نقطتين تقعان على الخط الممثل للاقتران الخطي، وتكون هذه النسبة ثابتة دائماً بين أية نقطتين تقعان عليه، ويُمكن تمثيل ذلك رياضياً بالصيغة الآتية: الميل = قيمة التغيّر الرأسيّ/ قيمة التغيّر الأفقيّ، أو: م= (ص2- ص1)/(س2- س1)؛ حيث: (س1،ص1)، (س2،ص2) أية نقطتين تقعان على الخط المستقيم.

لمزيد من المعلومات حول ميل الخطّ المُستقيم يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون ميل الخط المستقيم.

رسم وتمثيل الاقترانات الخطية

يُمكن تمثيل الاقترانات الخطيّة باتباع الخطوات الآتية:^[٣]

• إيجاد نقطتين تُحققان المُعادلة الخطيّة.
• تمثيل النقطتين بيانيّاً.
• الوصل بينهما بخطّ مُستقيم.

لمزيد من المعلومات حول الخطّ المُستقيم يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي معادلة الخط المستقيم، تعريف الخط المستقيم.

أمثلة متنوعة حول الاقترانات الخطية

• المثال الأول: جِد الاقتران الخطيّ من بين الاقترانات الآتية: (ص=2س)، (ص=11-س)، (ص=⅔س ¼)، (س² ص²=1)، (ص=س³)، (ص=س² 1)؟^[٤]
  • الحل:
  • يُمكن تحديد الاقتران الخطيّ بأنه الاقتران ذي الصيغة العامة: ص = م س جـ، وبالتالي الاقترانات الخطيّة مما سبق هي: (ص=2س)، (ص=11-س)، (ص=⅔س ¼)، وهي التي تتكون من متغيرين فقط، ولا وجود للأسس التي تزيد عن 1 فيها.

• المثال الثاني: يمر الاقتران الخطي ذي المعادلة: ق(س)= م س ب، بالنقاط الآتية: (1،1)، (3،2)، (5،3)، (7،4)، جد قيمة كل من: أ ، ب؟^[٤]
  • الحل:
  • بما أنّ الاقتران يمر بهذه النقاط فهي تحقق المُعادلة الخاصة به، وبالتالي وبعد تعويض النقطة (1،1) فيها ينتج أنّ: 1=أ×(1) ب، ومنه: م ب=1: ثمّ بطرح أ من الطرفين ينتج أنّ: ب=1-م.
• نعوض النقطة (2،3) في المُعادلة لينتج أنّ: 3=م×(2) ب، ومنه: 3=2م ب.
  • نعوض قيمة ب الناتجة من الخطوة الأولى في المعادلة الناتجة من الخطوة الثانية لينتج أنّ: 3=2م (1-م)، ومنه: 3=2م 1-م، ثمّ بتجميع المتغيرات على طرف والثوابت على الطرف الآخر ينتج أنّ: م= 2.
  • تعويض قيمة م في: ب = 1-م، لينتج أنّ: ب=1-(2)= -1.

• المثال الثالث: إذا كان الاقتران ق(س)= جـ، فجد قيمة ق(2) – ق(1)؟^[٤]
  • الحل:
  • بما أنّ قيمة الاقتران ثابتة وتساوي جـ فإنّ: ق(2) – ق(1)= صفر.

• المثال الرابع: جد الميل للاقتران الخطيّ الآتي: ص=11س-1؟^[٤]
  • الحل:
  • في الاقتران الخطيّ المكتوب على الصيغة القياسيّة: ص = م س ب، فإن الميل يساوي معامل س وهو: (م)، وبالتالي فإنّ: الميل (م) = 11.

• المثال الخامس: تقدّر قيمة التكاليف الثابتة لشركة ما بنحو 7000 دينار، أما قيمة التكاليف المُتغيرة فهي 600 دينار لكل قطعة يتم إنتاجها، فما هي المعادلة التي تعبّرعن قيمة التكاليف الكليّة للإنتاج؟^[٣]
  • الحل:
  • نفرض أنّ: س= عدد القطع المنتَجة، و ص = التكاليف الكليّة، وبالتالي يُمكن كتابة المعادلة التي تعبّرعن قيمة التكاليف الكليّة للإنتاج على شكل اقتران خطي على النحو الآتي: ص = 600×س 7000.
  • إذا افترضنا أنّ عدد القطع المنتجة = 15 وحدة، فإن قيمة التكاليف الكليّة للإنتاج هي: ص = 600×(15) 7000 = 16,000 دينار.

• المثال السادس: اكتب المُعادلة الآتية: 3س 2ص= -4 بصيغة الميل-القاطع، ثم جد الميل والمقطع الصاديّ لهذا الاقتران؟^[٨]
  • الحل:
  • أولاً تُكتب المُعادلة بدلالة ص وذلك بطرح 3س من طرفيّ المعادلة ثمّ بضرب الطرفين بالعدد ½، لينتج أنّ: ص= ½(-3س-4)، ثمّ بتبسيط المعادلة عن طريق إدخال ½ إلى داخل القوس ينتج أنّ: ص= -3/2 س-2.
  • إيجاد الميل والذي هو معامل س: م=-3/2، ثمّ إيجاد المقطع الصادي والذي هو عبارة عن قيمة ص عندما تساوي قيمة س القيمة صفر، وهي: ص= -2.

• المثال السابع: خط مُستقيم ميله يساوي -3، ويمر بالنقطة (2، 5)، جد مُعادلة هذا الاقتران؟^[٧]
  • الحل:
  • بما أنّ الخطّ الممثل للاقتران الخطي يمر بالنقطة (2،5)، فإنها تُحقق معادلة هذا الاقتران، وبالتالي نعوّض النقطة (2، 5) في الصيغة العامّة لمعادلة الاقتران الخطي: ص= م س ب، لينتج أنّ: 5= -3×(2) ب؛ حيث إن الميل = -3 كما ذُكر في المعطيات، وبتبسيط المُعادلة ينتج أنّ: 5=-6 ب، ثمّ بإضافة 6 لطرفي المُعادلة ينتج أنّ: ب= 11.
  • الصيغة النهائيّة لمعادلة الخطّ المستقيم كالآتي: ق(س)=ص= -3س 11.

• المثال الثامن: جد ميل الخط الممثّل للاقتران الآتي: ق(3)= -1، ق(-8)= -6؟^[٩]
  • الحل:
  • كتابة النقاط على شكل زوج مرتّب كالآتي: (3، -1)، (-8، -6).
  • تعويض النقاط أعلاه في قانون الميل = (ص2-ص1)/ (س2-س1)، لينتج أنّ الميل= [-6-(-1)]/ [-8-3]=-5/-11=5/11.

• المثال التاسع: جد معادلة الخطّ المستقيم الممثل للاقتران الخطي، إذا عُلِم أنّ: ق(2)= 5، ق(6)= 3؟
  • الحل:
  • كتابة النقاط على شكل زوج مرتّب كالآتي: (2، 5)، (6، 3).
  • تعويض النقاط أعلاه في قانون الميل= (ص2-ص1)/ (س2-س1)، لينتج أنّ الميل = [3-5]/ [6-2]= -2/4= -1/2.
  • تعويض النقطة (2، 5) في الصيغة العامّة لمعادلة الخط المستقيم ص= م س ب، لينتج أنّ: 5= -½×2 ب، وبتبسيط المعادلة ينتج أنّ: 5= -1 ب، ثمّ بإضافة 1 لطرفي المُعادلة ينتج أنّ: ب= 6.
  • الصيغة النهائية لمعادلة المُستقيم الممثل للاقتران الخطي على النحو الآتي: ص= -½س 6.

المراجع

1. ↑ Yuanxin (Amy) Yang Alcocer, Kathryn Boddie، “What is a Linear Function? – Definition & Examples”، www.study.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
2. ↑ William A. Bogley, Robby Robson، “Linear Functions”، www.oregonstate.edu, Retrieved 21-7-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} “Linear Functions”, www.columbia.edu, Retrieved 21-7-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Linear Function – Definition , Graphs ,Solved Examples”, www.physicscatalyst.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
5. ↑ “Linear and Absolute Value Functions”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
6. ↑ ADAM HAYES (15-7-2020), “Linear Relationship Definition”، www.investopedia.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Linear Functions”, www.algebra-class.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “Introduction to Linear Functions”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.
9. ↑ “Linear Functions”, www.byjus.com, Retrieved 21-7-2020. Edited.