شرح النسبة والتناسب

نظرة عامة حول النسبة والتناسب

يمكن تعريف النسبة (بالإنجليزية: Ratio) بأنها مقارنةٌ بين مقدارين، أو عددين يفصل بينهما عادة الرمز (:)؛ كمقارنة عدد الإناث في إحدى الغرف بعدد الذكور فيها، وهناك عدة طرقٍ لكتابة النسبة والتعبير عنها؛ فمثلاً لو أردنا مقارنة مقدارين هما: المقدار الأول (أ)، والمقدار الثاني (ب)، فيمكن التعبير عن النسبة بينهما على النحو الآتي: أ/ب، أو أ : ب، أو أ إلى ب؛ فمثلاً إذا احتوت حقيبة يد على 7 كتب، و3 أقلام فإن النسبة بين عدد الكتب وعدد الأقلام هي: 7:3، أما التناسب (بالإنجليزية: Proportion) فهو العبارة التي تعبّر عن تكافؤ وتساوي النسبتين؛ فمثلاً تعتبر العبارة 3/4 = 6/8 مثالاً على التناسب، ويكون عادة حاصل ضرب بسط النسبة الأولى بمقام النسبة الثانية مساوياً لحاصل ضرب بسط النسبة الثانية بمقام النسبة الأولى، وهو ما يُعرف باسم الضرب التبادلي؛ فإذا كان: أ/ب= جـ/د، فإن: أ×د = جـ×ب.^[١]

إذا قيل عن النسب إنها متناسبة فهذا يعني أنها متساوية؛ فمثلاً إذا كانت النسبتان 2/5، 8/20 متناسبتين، فهما متساويتان؛ لأن قيمة 2/5 = 8/20،^[٢] ويجدر بالذكر هنا أن المقدارين اللذين تتم المقارنة بينهما في النسب يجب أن يكونا متشابهين؛ كمقارنة طول بطول مثلاً، وفي الوقت نفسه لا يمكن مقارنة مقدارين مختلفين؛ كمقارنة طول شخص بوزن آخر.^[٣]

لمزيد من المعلومات حول النسبة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أحسب النسبة.

أنواع التناسب

للتناسب أنواعٌ تُحدَّد حسب العلاقة بين المقدارين الذين تمت المقارنة بينهما، وتندرج هذه الأنواع فيما يأتي:

• التناسب الطردي: (بالإنجليزية: Directly proportional) هي العلاقة التي توصف بأن زيادة أحد المقدارين ترتبط بزيادة الآخر بقيمةٍ ثابتةٍ مرتبطةٍ بالمقدارين معاً، وتسمّى ثابت النسبة، فمثلاً إذا تناسب المقدار أ مع المقدار ب طردياً؛ فإن:^[٤]
  • أ = ك×ب؛ حيث: ك هو ثابت النسبة بين العددين.

فعلى سبيل المثال إذا كانت أجرة أحد العمال مقابل ساعة عمل واحدة تساوي 5 دنانير، فإن العلاقة التي تربط بين ساعات عمله وأجرته طردية؛ فكلما زادت ساعات العمل زاد أجر العامل، أما بالنسبة لثابت النسبة الذي يربط بين المقدارين فهو العدد 5؛ أي أن الأجر يتضاعف بمقدار 5 في كل مرة يزداد فيها عمل العامل ساعة واحدة، أما بالنسبة لمقدار ما يتقاضى هذا العامل من المال عند العمل لمدة 8 ساعاتٍ متواصلة فهو: الأجر= ثابت النسبة × عدد ساعات العمل= 5 ×8 ساعات= 40 دينار، وهو المبلغ الذي يتقاضاه العامل مقابل 8 ساعات من العمل.^[٤]

• التناسب العكسي: (بالإنجليزية: Inversely proportional) هي العلاقةٌ التي توصف بأن زيادة أحد مقداري النسبة يرتبط بانخفاض الآخر بقيمة ثابتةٍ مرتبطةٍ بالمقدارين معاً، وتسمى ثابت النسبة؛ فمثلاً إذا تناسب المقدار أ مع المقدار ب عكسياً؛ فإن:
  • أ = ك/ب؛ حيث: ك هو ثابت النسبة بين العددين.^[٤]

ومن الأمثلة المتعددة على النسبة العكسية، نسبة سرعة سيارة إلى الزمن اللازم للوصول، فكلما زادت السرعة قلَّ الوقت اللازم للوصول، والعكس صحيح كذلك؛ فكلما قلت السرعة زاد الوقت اللازم للوصول، وإذا قام 4 عمالٍ مثلاً ببناء حاجزٍ ما، واستغرق بناؤه 3 ساعاتٍ، فإن العلاقة التي تربط بين عدد العمال والزمن اللازم لإنهاء العمل هي علاقة عكسية، فكلما زاد عدد العمال قلَّ الوقت اللازم لإنهاء العمل، لأن زيادتهم تؤدي إلى إنجاز العمل بشكلٍ أسرع وبأقل وقت، أما بالنسبة لثابت النسبة فهو: 3 = ك/4، وبضرب طرفي المعادلة بالعدد 4، ينتج أن: ثابت النسبة = 3×4 = 12، ولو اقترضنا أن عدد العمال أصبح 6 فإن الوقت اللازم لإنهاء العمل هو: ثابت التناسب÷عدد العمال= الوقت اللازم لإنهاء العمل، ومنه: 12/6= 2 ساعة؛ إذن الوقت الذي نحتاجه لإنهاء العمل إذا كان عدد العمال 6 هو ساعتان فقط.^[٤]

• التناسب الأُسي: هي علاقةٌ أُسيةٌ تربط بين مقداري النسبة؛ بحيث إن المقدار الأول يساوي المقدار الثاني مرفوعاً إلى أُس من الرتبة الثانية، أو الثالثة، أو غير ذلك، ومضروباً بقيمة معينة هي ثابت النسبة؛ فمثلاً إذا تناسب المقدار أ مع المقدار ب أسياً؛ فإن:
  • أ = ك×ب ^ن؛ حيث: ك هو ثابت النسبة بين العددين، ن: الأس من الرتبة الثانية أو الثالثة أو غيرها.^[٤]

فمثلاً لو تم إسقاط كرةٍ من سطح عمارةٍ، وكانت المسافة التي تقطعها الكرة تتناسب مع مربع وقت السقوط على النحو الآتي: المسافة = ثابت النسبة×مربع الزمن، فإذا علمنا أن الكرة قد قطعت مسافة 19.6م بعد ثانيتين من سقوطها فإن ثابت النسبة هو: المسافة التي قطعتها الكرة = (الزمن)²× ثابت النسبة، وعليه: 19.6م = 2²×ثابت النسبة، ومنه: ثابت النسبة = 4.9، أما المسافة المقطوعة بعد مرور ثلاث ثوانٍ فهي: المسافة المقطوعة= 4.9×3² = 44.1م.^[٤]

بعض استخدامات النسبة والتناسب

يمكن استخدام النسبة والتناسب في حالة الرغبة بمضاعفة الكميات أو المقادير أو تقليلها مثلاً؛ وذلك عن طريق ضرب النسب أو قسمتها على العدد نفسه؛ فمثلاً لو أردنا عمل وصفةٍ لفطيرة ما تحتاج إلى 2 أكوابٍ من الزيت، و3 كوب من الطّحين، فإن النسبة بين الطحين إلى الزيت فيها هي 2:3، وإذا احتجنا إلى مضاعفة الكمية أربع مرات حتى تكفي لعدد أكبر من الأشخاص فإن الأمر يتطلب ضرب القيم في النسبة بالعدد (4)، لتصبح الكمية المطلوبة هي 12 كوب من الطحين، و 8 أكواب من الزيت؛ أي أن النسبة الجديدة ين الطحين إلى الزيت هي: 8:12، والامر نفسه ينطبق على تقليل الكمية.^[٥]

تُستخدم النسبة والتناسب أيضاً في المقاييس المختلفة عند رسم الخرائط والصور؛ فمثلاً إذا أردنا رسم العلم مثلاً؛ فإنه يمكن مضاعفة حجمه وتكبيره أو تصغيره عن طريق معرفة النسبة بين طوله وعرضه؛ فمثلاً إذا كانت النسبة بين طول العلم إلى عرضه هي: 2:3؛ وأردنا رسم علم طوله 20 إنش فيجب لعرضه وفق النسبة السابقة أن يكون 30 إنش؛ أي مضاعفة حجم العلم 10 مرات.^[٥]

يمكن كذلك استخدام النسب لمقارنة جزء إلى جزء، أو جزء إلى كل؛ فمثلاً يمكن كتابة نسبة عدد الذكور إلى الإناث في إحدى الغرف، أو كتابة نسبة عدد الإناث إلى العدد الكلي.^[٥]

بعض العمليات الحسابية المتعلقة بالنسبة والتناسب

من العمليات الحسابية المتعلقة بالنسبة والتناسب ما يلي:^[٢]

• تبسيط النسب: يمكن تبسيط النسب ببساطة عن طريق قسمة مقداري النسبة على القاسم المشترك الأكبر بينهما؛ فمثلاً لتبسيط النسبة 25:30 يجب قسمة طرفي النسبة على العدد (5) لتصبح 5:6
• حساب القيم المجهولة في النسب: وذلك عن طريق كتابة النسبتين على شكل كسور، ثم استخدام الضرب التبادلي، وذلك كما يلي:
  • جد قيمة س في النسبتين الآتيتين: 6:15 = س : 10، بكتابة النسب على شكل كسور ينتج أن: 15/6 = 10/س، وبالضرب التبادلي ينتج أن: 6×س = 10×15، ومنه: س = 25.

أمثلة متنوعة حول النسبة والتناسب

• المثال الأول: جد قيمة س: في العلاقة الآتية: 6 / 10 = 15/(س 2).^[٢]
  • الحل: بالضرب التبادلي ينتج أن: 6×(س 2) = 10×15، ومنه: 6س 12 = 150، وبطرح 12 من الطرفين، وقسمة الطرفين على (6)، ينتج أن: س= 23.

• المثال الثاني: إذا اشترت سارة سبعة أقلام بخمسة دنانير، فكم ثمن 56 قلماً.^[٢]
  • الحل: نفترض أن س هو ثمن 56 قلم، وعليه: 7 أقلام /5 دنانير = 56 قلم / س، ومنه س= (56×6)/7 = 40 دينار.

• المثال الثالث: إذا كان عدد الطلاب في احد الصفوف 32 طالباً، وكان عدد الذكور فيه 12 طالباً، جد نسبة عدد الذكور إلى الإناث.^[٦]
  • الحل:
    • عدد الإناث = العدد الكلي-عدد الذكور= 32 – 12 = 20.
    • نسبة عدد الذكور إلى عدد الإناث: 20:12 = 5:3

• المثال الرابع: إذا كانت المسافة بين مدينتين على الخريطة 5سم، والمسافة الحقيقية بين المدينتين هي 25كم، جد مقياس رسم هذه الخريطة.^[٦]
  • الحل:
    • يجب أولاً توحيد الوحدتين لحساب مقياس الرسم، وهو النسبة بين المسافة على الخريطة إلى المسافة على الواقع؛ لذلك يجب تحويل 25 كم إلى سم كما يلي: 25كم×100,000سم/1كم = 2,500,000 سم.
    • النسبة بين المسافة على الخريطة إلى المسافة على الواقع تساوي: 5 : 2,500,000 = 1 : 500,000.

• المثال الخامس: إذا كان طول برج خليفة وهو المبنى الأطول في العالم 828م، وتم صنع نموذج له بنسبة 1 : 5000، جد طول النموذج لهذا البرج.^[٦]
  • الحل: طول النموذج/ طول البرج الحقيقي = 1 / 5000 = طول النموذج / 828، وبالضرب التبادلي ينتج أن: طول النموذج = 0.1656م = 16.56سم.

• المثال السادس: إذا كان نسبة مقدار الطحين إلى الزبدة لإعداد إحدى الوصفات 24 : 8، فإذا استخدمت سعاد 3 أكواب من الطحين، جد مقدار الزبدة التي يجب على سعاد استخدامه.
  • الحل: نسبة الطحين إلى الزبدة = 24/8، وهي ثابتة لذلك إذا تم استخدام 3 أكواب من الطحين فإن: 8/24 = 3/عدد أكواب الزبدة، ومنه أكواب الزبدة اللازمة = 1 كوب.^[٦]

• المثال السابع: هل النسبتان 4 : 5، 8 : 10 متناسبتان.^[٧]
  • الحل: 4/5 = 0.8، و 8/10 = 0.8 إذاً هما متساويتان وبالتالي متناسبتان.

• المثال الثامن: إذا كان هناك عددان مجموعهما يساوي 60، والنسبة بينهما 2 : 3، جد قيمة العددين.^[٧]

**الحل: 

• • نفترض أن العددين هما: س، ص، وعليه:
    • س ص = 60 المعادلة (1)، س/ص = 2 /3 ، ومنه: 2ص= 3س، س= 2/3ص المعادلة (2).
  • بتعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى ينتج أن:
    • 2/3ص ص = 60، 5/3ص=60، ومنه ص= 36، وس = 2/3×ص = 2/3×36 = 24.

لمزيد من المعلومات حول النسبة المئوية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طريقة حساب النسبة المئوية، تطبيقات على النسبة المئوية.

المراجع

1. ↑ “Ratio and Proportion”, mathleague.com, Retrieved 21-5-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث} Mehul Arora, Chung Kevin, Pranjal Jain, and 5 others contributed, “Ratio and Proportion”، www.brilliant.org, Retrieved 21-5-2020. Edited.
3. ↑ “Introduction to Ratios and Proportions”, www.toppr.com, Retrieved 21-5-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} ” Directly Proportional and Inversely Proportional”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-10-2017. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} “Ratios”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-10-2017. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت ث} “Ratios “, www.mathopolis.com, Retrieved 21-5-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Ratios And Proportion”, byjus.com, Retrieved 21-5-2020. Edited.