مساحة سطح المنشور الرباعي

بواسطةفوري

نظرة عامة حول المنشور الرباعي

يُعرف المنشور (بالإنجليزية: Prism) بأنه مجسم هندسي يتكون من قاعدتين متطابقتين، وأوجه مسطّحة، أو منبسطة، وهناك عدة أنواع للمنشور بناءً على شكل القاعدة؛ فهناك المنشور الرباعي، والمنشور الثلاثي، والمنشور الخماسي، والمنشور السداسي، علماً أن قاعدة المنشور الرباعي قد تكون مربعة، أو مستطيلة الشكل، ومن الجدير بالذكر أن هناك نوعان من المنشور أيضاً، وهما: المنشور القائم، والمنشور المائل؛ ففي المنشور القائم تكون الأوجه والحواف الواصلة بين الأوجه عمودية على القاعدة، وتكون جميع الأوجه الجانبية مستطيلة الشكل، أما المنشور المائل في المقابل فلا تكون فيه الأوجه والحواف عمودية على القاعدة، كما أن الأوجه الجانبية تكون فيه على شكل متوازي أضلاع،[١] وبناءً على ماسبق فإن متوازي المستطيلات يعتبر منشوراً رباعياً، كما أن المكعب يعتبر حالة خاصة من المنشور الرباعي؛ حيث تتطابق فيه الأوجه مع القاعدة.[٢]

لمزيد من المعلومات حول المجسمات الهندسية يمكنك قراءة المقالات الآتية: المجسمات الهندسية، الأشكال الهندسية في الرياضيات.

قانون مساحة سطح المنشور الرباعي

يمكن إيجاد المساحة الكلية لأي شكل ثلاثي الأبعاد من خلال إيجاد مجموع مساحة جميع الأوجه بما في ذلك القاعدتين، ويمكن اشتقاق مساحة سطح المنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة الشكل، وأوجهه مستطيلة الشكل، وذلك باتباع الخطوات الآتية:[٣]

  • المساحة الكلية للمنشور الرباعي = مساحة القاعدتين المساحة الجانبية (مساحة الأوجه الجانبية وعددها أربعة).

مساحة المنشور ذي القاعدة المربعة:

بما أن الأوجه الجانبية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة مستطيلة الشكل فإنه يمكن إيجاد مساحتها باستخدام قانون حساب مساحة المستطيل الذي يساوي: مساحة المستطيل= الطول×العرض، وبما أن عرض المستطيل (الوجه الجانبي) في المنشور يتمثل بطول ضلع القاعدة، أما طوله فيتمثل بارتفاع المنشور الرباعي، فإنّ:

  • المساحة الجانبية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = 4×طول ضلع القاعدة×ارتفاع المنشور؛ وذلك لأن عدد أوجه المنشور الرباعي هو أربعة.

كما يمكن التعبير عن المساحة الجانبية للمنشور الرباعي بطريقة أخرى، وهي:

  • المساحة الجانبية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = محيط القاعدة×ارتفاع المنشور؛ وذلك لأن القاعدة الرباعية تتكون من أربعة أضلاع، ومحيطها هو: محيط القاعدة =4×طول ضلع القاعدة.

وبالتالي فإنّ:

  • المساحة الكلية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المربعة = محيط القاعدة مربعة الشكل×الارتفاع 2×مساحة القاعدة مربعة الشكل.[١]

أما بالنسبة للمساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون أوجهه مربعة الشكل، وقاعدته مربعة وهو المكعب، فهي:

  • مساحة المكعب= 6×طول ضلع المكعب2؛ وذلك لأن المكعب يعتبر خاصة من المنشور الرباعي.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المكعب يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة المكعب.

مساحة المنشور ذي القاعدة المستطيلة:[٤]
أما بالنسبة لحساب المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل فهي:

  • المساحة الكلية للمنشور الرباعي ذي القاعدة المستطيلة = 2×(عرض المنشور×طول المنشور) 2×(طول المنشور×ارتفاع المنشور) 2×(ارتفاع المنشور×عرض المنشور).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة متوازي المستطيلات يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة متوازي المستطيلات.

أمثلة على حساب مساحة سطح المنشور الرباعي

  • المثال الأول: ما هي المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة الشكل علماً أن طول ضلع قاعدته 3سم، وارتفاعه 5سم؟[٥]
    • الحل:
    • المساحة الكلية للمنشور الرباعي = محيط القاعدة×الارتفاع 2×مساحة القاعدة.
      • بما أن القاعدة مربعة الشكل فإن محيطها = 4×طول الضلع = 4×3 = 12سم.
      • بما أن القاعدة مربعة الشكل فإن مساحتها = الضلع×الضلع = 3×3 = 9سم².
    • وبالتالي فإنّ مساحة المنشور الرباعي = (12×5) (2×9) = 60 18 = 78 سم².

  • المثال الثاني: ما هي المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل علما أن طوله يساوي 3سم، وعرضه 5سم، وارتفاعه 20سم؟[٦]
    • الحل:
    • المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل = 2×(العرض×الطول) 2×(الطول×الارتفاع) 2×(الارتفاع×العرض)، وبالتالي فإن المساحة الكلية للمنشور الرباعي = 2×(3×5) 2×(3×20) 2×(20×5) = 30 120 200= 350 سم²

  • المثال الثالث: تريد سارة بناء مكعب طول ضلعه 2 قدم لوضع الدمى داخله فإذا كانت تحتاج إلى 25 مل لطلاء كل قدم مربع منه، فكم تحتاج من الطلاء لتغطية مكعب الدُمى بالكامل؟[٦]
    • الحل:
    • الخطوة الأولى لحل هذا السؤال هي إيجاد مساحة سطح المكعب كما يلي:
      • مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع²= 6×2×2 = 24 قدم².
    • إذا كان كل 25 مل من الطلاء يغطي 2 قدم² فإن كمية الطلاء اللازمة لتغطية 24 قدم² تساوي:
      • كمية الطلاء = 24قدم²×25 مل/قدم² = 600 مل.

  • المثال الرابع: يمتلك أحمد صندوقاً على شكل متوازي مستطيلات مفتوح من الأعلى طوله 12سم، وعرضه 7سم، وارتفاعه 6سم، فكم يحتاج أحمد من الورق ليغطي هذا الصندوق؟[٧]
    • الحل:
    • كمية الورق التي يحتاجها أحمد = مساحة المنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل – مساحة القاعدة العلوية، ويمكن إيجاده كما يلي:
      • مساحة القاعدة العلوية = الطول×العرض = 12×7 =84 سم²
      • مساحة المنشور الكلية = 2×(عرض المنشور×طول المنشور) 2×(طول المنشور×ارتفاع المنشور) 2×(ارتفاع المنشور×عرض المنشور) = 2×12×7 2×12×6 2×7×6 = 396سم².
    • وبالتالي فإن كمية الورق التي يحتاجها أحمد = 396-84 = 312سم².

  • المثال الخامس: صنعت هند صندوقاً للمجوهرات على شكل متوازي مستطيلات ارتفاعه 6سم، طوله 15 سم، وعرضه 12سم، فإذ كانت تكلفة الطلاء 0.5 دولار لكل سنتيمتر مربع، فما هي تكلفة طلاء هذا الصندوق؟[٨]
    • الحل:
    • تكلفة طلاء الصندوق = المساحة الكلية للصندوق×تكلفة طلاء السنتيمتر المربع الواحد، وعليه:
      • المساحة الكلية للصندوق = المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل = 2×(العرض×الطول) 2×(الطول×الارتفاع) 2×(الارتفاع×العرض)، وبالتالي المساحة الكلية للصندوق = 2×(15×12) 2×(6×15) 2×(12×6) = 684 سم².
    • تكلفة الطلاء = 684×0.5 = 342 دولار.

  • المثال السادس: إذا زاد طول ضلع مكعب بمقدار 20%، وقلّ عرضه بمقدار 20%، فماذا سيحدث للارتفاع بالتعبير عنه بالنسبة المئوية حتى يصبح الشكل منشوراً قاعدته مستطيلة الشكل، وله نفس مساحة الشكل الأصلي؟[٩]
    • الحل:
    • لنفرض أن أبعاد المكعب (طوله، عرضه، ارتفاعه) تساوي 100 سم، وبالتالي فإنّ مساحته تساوي:
      • مساحة المكعب = 6×طول الضلع² = 6×100×100 = 60,000 سم².
    • طول، وعرض المنشور بعد التغيّر:
      • عند زيادة الطول بمقدار 20% يصبح طوله 100×(1 0.2) = 120سم.
      • عند نقصان العرض بمقدار 20% يصبح عرضه (100×(1-0.2) = 80سم.
    • مساحة سطح المنشور بعد الزيادة والنقصان = 60,000سم²، وبالتالي فإن الارتفاع سيتغير كما يلي:
      • المساحة الكلية للصندوق = المساحة الكلية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مستطيلة الشكل = 2×(العرض×الطول) 2×(الطول×الارتفاع) 2×(الارتفاع×العرض)= 60,000 سم²، ومنه:
      • 2×(80×120) 2×(120×الارتفاع) 2×(الارتفاع×80) = 60,000، وبحل هذه المعادلة فإنّ الارتفاع = 102سم، أي أنّه ازداد بمقدار 2%.

المراجع

  1. ^ أ ب “Prism”, byjus.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  2. ↑ “Cuboids, Rectangular Prisms and Cubes”, www.mathsisfun.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  3. ↑ ” Base, Lateral and Surface Areas of Prisms”, www.ck12.org, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  4. ↑ “How To Find The Surface Area Of A Rectangular Prism”, www.tutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  5. ↑ “Square prism”, byjus.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  6. ^ أ ب “How to find the surface area of a prism”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  7. ↑ “How to find the surface area of a prism”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  8. ↑ “SOLVING SURFACE AREA AND VOLUME PROBLEMS”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.
  9. ↑ “Calculating the surface area of a prism”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.