خصائص اللوغاريتمات

نظرة عامة حول اللوغاريتمات

يمكن تعريف اللوغاريتمات (بالإنجليزية: Logarithms) بأنها العملية العكسية للأسس كما هو الحال بالنسبة للطرح الذي يُعرف بالعملية العكسية للجمع، والقسمة التي تُعرف بالعملية العكسية للضرب،^[١] ولتوضيح أن اللوغاريتم يعتبر العملية العكسية للأسس إليك المثال الآتي: عند رفع العدد 2 للقوة 4 فإن الناتج يساوي 16؛ أي 2⁴=16، ولنفترض طرح السؤال الآتي: ما هو الأس الذي أساسه العدد 2، ويُعطي ناتجاً يساوي 16، فإن الجواب هو 4، وذلك ما يتم التعبير عنه باستخدام اللوغاريتمات كما يلي: لو₂ 16 = 4، وبالتالي فإنّ: 2⁴= 16 ↔ لو₂ 16 = 4، ويلاحظ من السابق أن كلتا المعادلتين تصف العلاقة نفسها بين الأعداد: 2، 4، 16؛ حيث العدد 2 هو الأساس، والعدد 4 هو الأس، والعدد 16 هو الناتج، ويمكن توضيح ذلك بصورة أكبر عن طريق تقديم مجموعة أخرى من الأمثلة على المعادلة الأسية، والمعادلة اللوغاريتمية:^[٢]

• المعادلة اللوغاريتمية: لو₂ 8 = 3 ↔ المعادلة الأسية: 2³ = 8
• المعادلة اللوغاريتمية: لو₃ 81 = 4 ↔ المعادلة الأسية: 3⁴ = 81
• المعادلة اللوغاريتمية: لو₅ 25 = 2 ↔ المعادلة الأسية: 5² = 25

بشكلٍ عام فإنّ الصورة العامة للمعادلة اللوغاريتمية هي كما يلي:^[٢]

• إذا كانت المعادلة الأسية على صورة: ب ^س = أ، فإن المعادلة اللوغاريتمية تكون على صورة: لو_ب أ =س، حيث:
  • ب: هو الأساس.
  • س: هو الأس.
  • أ: هو الناتج.

يجدر بالذكر هنا أنّ هناك عدة طرق لقراءة اللوغاريتم فمثلاً يمكن قراءة اللوغاريتم الآتي بعدة طرق: لو₂ 8 = 3^[٣]

• لوغاريتم العدد 8 للأساس 2 يساوي 3.
• لوغاريتم الأساس 2 للعدد 8 يساوي 3.
• إذا كان الأساس 2 فإن لوغاريتم العدد 8 يساوي 3.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الأسس يمكنك قراءة المقال الآتي: خواص القوى في الرياضيات.

خصائص اللوغاريتمات

تتميز اللوغريتمات بالخصائص الآتية (حيث ب في جميع الخصائص هي أساس اللوغاريتم):^[٤]

• لو_ب 1 = 0، وذلك لأن رفع أي عدد للقوة صفر يساوي 1؛ أي أن: ب ⁰ = 1.
• لو_ب ب = 1، وذلك لأن رفع أي عدد للقوة واحد يساوي العدد نفسه؛ أي أن: ب ¹ = ب.
• لو_ب ب ^س = س، وبشكل عام فإنّ: لو _ب ب ^{ق (س)} = ق (س).
• ب ^{لو_ب س}= س، وبشكل عام فإنّ: ب ^{لو _ب ق(س)} = ق(س).
• لو_ب (س×ص) = لو_ب س لو_ب ص.
• لو_ب (س/ص) = لو_ب س – لو_ب ص.
• لو_ب س ^ل = ل×لو_ب س.
• إذا كان: لو_ب س = لو_ب ص، فإنّ: س = ص.
• لو_ب (س ص) لا يساوي لو_ب س لو_ب ص.
• لو_ب (س-ص) لا يساوي لو_ب س – لو_ب ص.
• لو_ب أ = قيمة غير معرّفة، إذا كانت قيمة أ تساوي عدداً سالباً.^[١]
• لو_ب 0 = قيمة غير معرّفة، وذلك لأنه لا يمكن لنتيجة أي عدد عند رفعه لأحد الأسس أن تكون صفراً.^[١]
• إن قلب اللوغاريتم أي جعل بسطه مكان مقامه، ومقامه مكان بسطه، أو العكس يؤدي إلى تبديل الأساس، والناتج، وذلك كما يلي:^[٥]
  • لو_ب أ = 1/لو_أ ب؛ مثل: 5/(2×لو_س ص) = (5×لو_ص س)/2
• يمكن ضرب اثنين من اللوغاريتمات، أو أكثر، وإيجاد الناتج النهائي لحاصل ضربهما في إحدى الحالتين الآتيتين فقط:^[٥]
  • الحالة الآولى: إذا كان ناتج اللوغاريتم الأول، وأساس اللوغاريتم الثاني متساويين.
  • الحالة الثانية: إذا كان أساس اللوغاريتم الأول، وناتج اللوغاريتم الثاني متساويين.
  • لينتج أن: لو_أ ب× لو_ب جـ = لو_أ جـ.
• يمكن حساب قيمة اللوغاريتمات العشرية والطبيعية باستخدام الآلة الحاسبة، لذلك يمكن تغيير أساس اللوغاريتم للعدد النيبيري أو العدد 10؛ لتسهيل عملية حسابه باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق خاصية تغيير الأساس، والتي تنص على أنّ: لو_أ س = لو_ب س/لو_ب أ؛ حيث ب= 10، أو العدد النيبيري (هـ)، ويمكن توضيح ذلك بالمثال الآتي:
  • ما هو حل اللوغاريتم الآتي: لو₅ 7؟^[٤]
    • لإيجاد حل لهذا اللوغاريتم فإنه يجب أولاً البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 7، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، لذلك وباستخدام خاصية تغيير الأساس ينتج أن:
    • لو₅ 7 = لو₁₀ 7 / لو₁₀ 5 = 0.845098040014 / 0.698970004336= 1.20906195512

أنواع اللوغاريتمات

هناك عدة أنواع للوغاريتمات وذلك بناءً على قيمة الأساس الذي يختلف بشكل كبير فيما بينها، إلا أن هناك نوعان من اللوغاريتمات يعتبران أكثر شيوعاً من غيرهما، ويمكن حسابهما كذلك باستخدام جميع أنواع الآلات الحاسبة، وفيما يلي توضيح لكل منها:^[٢]

• اللوغاريتم العشري: (Common Logarithm) وهو الأكثر شيوعاً، وهو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد 10، وفي كثير من الأحيان لا يُكتب الأساس في هذا النوع ليستدل القارئ تلقائياً أن الأساس هنا هو 10؛ أي أنّ: لو₁₀ س = لو س.
• اللوغاريتم الطبيعي: (Natural Logarithm) هو اللوغاريتم الذي يكون أساسه العدد النيبيري (هـ)، ويُكتب على الصورة الآتية: لو_هـ س، أو (ln(x باللغة الإنجليزية.

أمثلة متنوعة حول اللوغاريتمات

• المثال الأول: مستعيناً بخصائص اللوغاريتمات جد ناتج كل ممّا يأتي: أ) لو₄ 16 ب) لو₂ 16 جـ) لو₆ 216 د) لو₅ (125/1) هـ) لو_(3/1) 81 و) لو_(2/3) (8/27)؟^[٤]
• الحل:
• أ) لإيجاد لو₄ 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي الذي عند رفع الأساس 2 به يعطي ناتج يساوي 16، وعليه: إنّ 4 ² = 16، وبالتالي فإن لو₄ 16 = 2.

• ب) لإيجاد لو₂ 16 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 16، وعليه: إنّ 2 ⁴ = 16، وبالتالي فإنّ: لو₂ 16 = 4.

• جـ) لإيجاد لو₆ 216 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 6 به يكون الناتج 216، وعليه: إنّ 6 ³ = 216، وبالتالي فإن لو₆ 216 = 3.

• د) لإيجاد ناتج لو₅ (1/125) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 1/125، وبما أن الناتج كسر فإن الأس هو عدد صحيح سالب، وعليه: 1/125 = 1/5³ = 5^-3، وبالتالي فإن لو₅ (1/125) = -3.

• هـ) لإيجاد ناتج لو_{(1 /3)} 81 فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس 1/3 به يكون الناتج 81، وعليه: إنّ 3 ⁴ = 81، وبالتالي فإن: (1/3)^-4 = ⁴3= 81، وبالتالي فإنّ لو_1/3 81 = -4.

• و) لإيجاد ناتج لو_(3/2) (27/8) فإننا نحتاج إلى البحث عن الأس الذي عند رفع الأساس (3/2) به يكون الناتج (27/8)، وعليه إنّ: (3/2)³ = 3³/ 2³ = 27/8، وبالتالي فإنّ لو_(3/2)(27/8) = 3.

• المثال الثاني: ما هو ناتج كل من اللوغريتمات الآتية: أ) لو₄ 256 ب) لو₅ (0.0016) جـ) لو₃ 729 د) لو₂ (0.015625)؟^[٦]
• الحل:
• أ) لإيجاد لو₄ 256 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 4 به يكون الناتج 265، وبما أنّ 4⁴ = 256 فإنّ لو₄ 256 = 4.

• ب) لإيجاد لو₅ (0.0016) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 5 به يكون الناتج 0.0016 وهو سالب، وذلك لأن النتيجة كسر، وبما أنّ (1/5) ⁴ = 5 ^-4 = 1/625، وهو مكافئ للكسر العشري 0.0016، وبالتالي فإنّ: لو₅ (0.0016) = -4.

• جـ) لإيجاد لو₃ 729 فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 3 به يكون الناتج 729، وبما أن 3⁶ = 729 فإن لو₃ 729 = 6.

• د) لإيجاد لو₂ (0.015625) فإنّه يجب البحث عن العدد الذي عند رفع الأساس 2 به يكون الناتج 0.015625، وبما أنّ (1/2)⁶ = 2^-6 = 1/64، وهو مكافئ للكسر العشري 0.015625، فبالتالي فإنّ: لو₂ (0.015625) = -6.

• المثال الثالث: مستعيناً بخصائص اللوغريتمات جد أبسط صورة لكلًّ مما يلي: أ) لو₄ (س³ ص⁵) ب) لو (س⁹ ص⁵/ل³) جـ) لو_هـ (س×ص)√ د) لو₃ ((س ص)²/(س² ص²))؟^[٤]
• الحل:
• أ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو₄ (س³×ص⁵) = لو₄ (س³) لو₄ (ص⁵)، ومنه:
  • 3×لو₄ س 5×لو₄ ص.

• ب) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو (س⁹ ص⁵ / ل³) = لو (س⁹ ص⁵) – لو ل³، ومنه:
  • لو(س⁹ ص⁵) – لو ل³ = لو س⁹ لو ص⁵ – لو ل³، وهذا يساوي 9لو س 5لو ص – 3لو ل.

• جـ) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو_هـ (س×ص)√ = لو_هـ (س×ص)^(1/2، ومنه:
  • (1/2)×لو_هـ (س×ص)، ومنه:
  • (1/2)×(لو_هـ س لو_هـ ص).
  • د) باستخدام خصائص اللوغريتمات فإنّ أبسط صورة لهذا اللوغاريتم هي:
  • لو₃ ((س ص)²/(س² ص²)) = لو₃ (س ص)² – لو₃ (س² ص²)، ومنه:
  • 2لو₃ (س ص) – لو₃ (س² ص²).

• المثال الرابع: اكتب كلاً من اللوغريتمات الآتية على شكل لوغاريتم واحد باستخدام خصائص اللوغاريتم: أ) 7لو₁₂ س 2لو₁₂ ص ب) 3لوس – 6لوص جـ) 5لو_هـ (س ص) – 2لو_هـ ص – 8لو_هـ س؟^[٤]
• الحل:
  • أ) 7لو₁₂ س 2لو₁₂ ص = لو₁₂ س⁷ لو₁₂ ص² = لو₁₂ (س⁷×ص²).
  • ب) 3لوس – 6لوص = لو س³ – لو ص⁶ = لو (س³/ص⁶).
  • جـ) 5لو_هـ (س ص) – 2لو_هـ ص – 8لو_هـ س = لو_هـ (س ص)⁵ – (لو_هـ ص² لو_هـ س⁸) = لو_هـ (س ص)⁵ – لو_هـ (ص²×س⁸) = لو_هـ ((س ص)⁵ / (ص²×س⁸))

• المثال الخامس: ما هو ناتج اللوغاريتم الآتي: لو₇ 118؟^[٧]
  • الحل:
  • لإيجاد ناتج اللوغاريتم فإننا نحتاج إلى إيجاد الأس الذي عند رفع الأساس 7 به يُعطي النتيجة 118، وهو أمر يصعب إيجاده دون الاستعانة بالآلة الحاسبة، ولذلك يجب أولاً استخدام خاصية تغيير الأساس: لو_ب أ = لو₁₀ أ/لو₁₀ ب كما يلي:
    • تغيير الأساس للعدد 10 ليصبح اللوغاريتم عشرياً كما يلي: لو₇ 118 = لو₁₀ 7 / لو₁₀ 118، وبإيجاد القيم باستخدام الآلة الحاسبة ينتج أنّ:
    • لو₁₀ 7/لو₁₀ 118 = 2.07/0.845 = 2.45.

• المثال السادس: باستخدام خصائص اللوغاريتم جد ناتج المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو₆ (ن-3) لو₆ (ن 2) = لو₃ 3؟^[٧]
  • الحل:
  • وفق خصائص اللوغاريتم فإنّ:
    • لو₃ 3 = 1
    • لو₆ (ن-3) لو₆ (ن 2) = لو₆ (ن-3)(ن 2).
    • ممّا سبق تصبح المعادلة: لو₆ (ن-3)(ن 2) = 1.
  • بتحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية حتى يسهل حلها، ينتج ما يلي:
    • 6 ¹ = 6 = (ن-3)(ن 2).
    • بضرب القوسين ببعضهما فإنّ: (ن-3)(ن 2) = ن²-ن-6 =6، وبالتالي تصبح المعادلة ن²-ن- 12 = 0
    • تحليل المعادلة التربيعية كما يلي: ن²-ن- 12 = 0 = (ن-4)(ن 3)، وبالتالي فإنّ ن لها قيمتان، هما: ن= 4 وهي الإجابة الصحيحة، أو ن= -3، وتُلغى لأنّ اللوغاريتم يصبح سالباً عند تعويض قيمة ن=-3 فيه؛ فالمعادلة عند تعويض ن = -3 فيها تصبح: لو₆ (-6) لو₆ (-1) = لو₃ 3.

• المثال السابع: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية: لو_س125×5√= 7؟^[٨]
  • الحل:
  • تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية كما يلي:
    • س⁷ = 125×5√ = 5×5×5×5√.
  • بما أنّ: 5 = 5√×5√ فإنّ:
    • (5√×5√)×(5√×5√)×(5√×5√)×5√ = س ⁷، وعليه: (5√) ⁷ = س⁷.
  • عندما تتساوى الأسس فإن الأساسات تتساوى، وبالتالي فإنّ قيمة س = 5√.

• المثال الثامن: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: لو_س 0.001 = -3؟^[٨]
  • الحل:
  • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
    • س ^-3 = 0.001، ومنه: 1/1000 = 1/س ³
    • بمساواة مقام الطرفين فإنّ: 1000 = س³، وبأخذ الجذر التكعيبي للطرفين فإن س = 10.

• المثال التاسع: جد قيمة س فيما يأتي: س 2×لو₂₇ 9 = 0؟^[٨]
  • الحل:
  • ترتيب المعادلة بجعل المتغير س على طرف، والباقي على الطرف الآخر كما يلي: س = -2×لو₂₇ 9، وبالتالي:
    • باستخدام خصائص اللوغاريتم فإن س = لو₂₇ 9 ^-2
  • تحويل المعادلة اللوغاريتمية إلى معادلة أسية كما يلي:
    • 27 ^س = 9 ^-2
    • 3 ^3س = (3 ²)^-2
    • 3 ^3س = 3 ^-4
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي فإنّ: 3س = -4، ومنه: س = -4/3.

• المثال العاشر: إذا كانت 3س تساوي اللوغاريتم لو (0.3) الذي أساسه 9، فما هي قيمة س؟^[٨]
  • الحل:
  • من معطيات السؤال فإنّ: 3س = لو₉ (0.3)، وبالتالي فإنّ: 3س = لو₉ (1/3)، باستخدام خصائص اللوغاريتم فإنّ: 3س = لو₉ 1 – لو₉ 3، ومنه:
    • 3س = 0 – لو₉ 3 = -لو₉ 3.
    • بإيجاد مقلوب اللوغاريتم 3س = -1/ لو₃ 9، 3س = -1/لو₃ 3 ²، ومنه:
    • 3س = -1/2×لو₃ 3 = -1/(2×1)، س= -1/6.

• المثال الحادي عشر: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية الآتية: 2لوس = 4لو3؟^[٨]
  • الحل:
  • بقسمة طرفي المعادلة على 2 فإنّ: لو س = 2 لو3، ومنه:
    • لوس = لو 3²، لوس = لو9، س = 9.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حل المعادلة الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} “Logarithms”, www.purplemath.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} “Intro to Logarithms”, www.khanacademy.org, Retrieved 5-6-2020. Edited.
3. ↑ “Introduction to Logarithms”, www.mathsisfun.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث ج} ” Logarithm Functions”, tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 8-6-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “LOGARITHM”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 5-6-2020. Edited.
6. ↑ “Logarithms “, www.mathopolis.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Logarithms”, www.varsitytutors.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب ت ث ج} “SOLVING LOGARITHMIC EQUATIONS”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.