تحليل القوس التكعيبي

بواسطةفوري

تحليل القوس التكعيبي

يتكوّن القوس التكعيبي من حدين أو أكثر وهو مرفوع للقوة 3، ويكون عادة على الصيغة الآتية: (أ±ب)3، ويعني تحليل القوس التكعيبي أو فك القوس التكعيبي ضرب كثير الحدود بنفسه ثلاث مرات كما يأتي: (أ±ب)3= (أ±ب)×(أ±ب)×(أ±ب)، وذلك باتباع الخطوات الآتية:[١]

  • ضرب أول قوسين ببعضهما البعض وفق خاصية التوزيع:
    • (أ ب)×(أ ب) = (مربع الحد الأول 2×الحد الأول×الحد الثاني مربع الحد الثاني): (أ ب)×(أ ب) = أ2 2×أ×ب ب2.
    • (أ-ب)×(أ-ب) = (مربع الحد الأول – 2×الحد الأول×الحد الثاني مربع الحد الثاني): (أ-ب)×(أ-ب) = أ2-2×أ×ب ب2.
  • ضرب ناتج التحليل السابق بـ (أ ب) مرة أخرى لينتج أن: (أ ب) × (أ2 2×أ×ب ب2)= أ3 3×أ2×ب 3×أ×ب2 ب3.
  • بناء على ما سبق تكون القاعدة كما يلي:
    • (أ ب)3 = (مكعب الحد الأول) (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) (3×الحد الأول×مربع الحد الثاني) (مكعب الحد الثاني) = أ³ (3×أ²×ب) (3×أ×ب²) ب³.
    • (أ-ب)3 = (مكعب الحد الأول) – (3×مربع الحد الأول×الحد الثاني) (3× الحد الأول×مربع الحد الثاني) – (مكعب الحد الثاني) = أ³ – (3×أ²×ب) (3×أ×ب²) – ب³.

أمثلة على تحليل القوس التكعيبي

  • المثال الأول: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (س 1)3.[٢]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: س3 3س2 3س 1

  • المثال الثاني: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (أ-2ب)3.[٢]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون التحليل كالآتي: أ3-6أ2ب 12أ×ب2-8ب3.

  • المثال الثالث: اكتب ما يلي بأبسط صورة: (س ص)³ (س-ص)³.[٢]
    • الحل:
    • بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس الأول والثاني كالآتي:
      • (س ص)³ = س³ (3×س²×ص) (3×س×ص²) ص³.
      • (س-ص)³ = س³- (3×س²×ص) (3×س×ص²) – ص³.
    • (س ص)³ (س-ص)³ = س³ (3×س²×ص) (3×س×ص²) ص³ س³- (3×س²×ص) (3×س×ص²) – ص³ = 2س³ 6×س×ص².

  • المثال الرابع: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س 1)³.[٣]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
    • (2س 1)³ = 8س³ 12س² 6س 1.

  • المثال الخامس: حلّل القوس التكعيبي الآتي: (2س-3ص)³.[٣]
    • الحل: بتطبيق القاعدة المذكورة سابقاً يكون تحليل القوس كالآتي:
    • (2س-3ص)³ = 8س³ – 36س²ص 54س ص² – 27ص³.

الفرق بين القوس التكعيبي والفرق بين مكعبين

يختلف تحليل الفرق بين مكعبين (أ3– ب3)، أو تحليل مجموع المكعبين، عن تحليل القوس التكعيبي (أ±ب)3؛ حيث يكون تحليل القوس التكعيبي كما ذُكر سابقاً، أما تحليل الفرق بين مكعبين، ومجموع المكعبين فيكون باتباع القواعد الآتية:

  • فتح قوسين؛ في الأول يتم وضع الجذر التكعيبي للحد الأول مطروحاً منه الجذر التكعيبي للحد الثاني (أ-ب).
  • وضع مربع الحد الأول في القوس الثاني، ثم الحد الأول مضروباً بالحد الثاني، ثم مربع الحد الثاني: (أ2 أ×ب ب2)، حيث تكون إشارة الحد الأوسط دائماً عكس إشارة (ب)، أما إشارة الحد الأخير فدائماً موجبة، لتكون النتيجة في النهاية كما يلي:
    • (أ3– ب3) = (أ-ب)(أ2 أ×ب ب2).
    • (أ3 ب3) = (أ ب)(أ2 – أ×ب ب2).

  • مثال: حلّل ما يلي: (س3-8)
    • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (س-2)(س2 2س 4).
  • مثال: حلّل ما يلي: 27ص³ س³.[٤]
    • تطبيق القاعدة المذكورة سابقاً ليكون التحليل كالآتي: (3ص س)(9ص2-3س ص س²).

لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مكعبين، وتحليل مجموع مكعبين يمكنك قراءة المقالات الآتية: تحليل مجموع مكعبين، تحليل الفرق بين مكعبين.

المراجع

  1. ↑ “Binomial Theorem”, www.mathsisfun.com, Retrieved 2-3-2019. Edited.
  2. ^ أ ب ت “Applying the Perfect Cube Identity”, www.brilliant.org, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  3. ^ أ ب “Polynomials Basic”, www.web-formulas.com, Retrieved 8-6-2020. Edited.
  4. ↑ “Sum and Difference of Cubes”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-6-2020. Edited.