كيفية حساب الانحراف المعياري

بواسطةفوري

نظرة عامة حول الانحراف المعياري

يمكن تعريف الانحراف المعياري (بالإنجليزية: Standard Deviation) بأنه مقدار بُعد البيانات وانتشارها بالنسبة للوسط الحسابي، ويُرمز له عادة بالرمز (σ)،[١] ويمكن إيجاده عن طريق حساب الجذر التربيعي للتباين،[٢] ويختلف الانحراف المعياري عن التباين من ناحية أن الانحراف المعياري يقيس تشتت البيانات ومقدار اختلافها عن المتوسط الحسابي، أما التباين فيصف اختلافها، ويحدد مقدار انتشار البيانات وبعدها عن بعضها البعض وعن المتوسط الحسابي،[٣] ويحدّد كل من المتوسط الحسابي والانحراف المعياري معاً شكل المنحنى الطبيعي لمجموعة البيانات؛ فالمتوسط الحسابي يحدد مركز هذه البيانات أو منتصفها، ومقدار ارتفاع المنحنى الطبيعي، أما الانحراف المعياري فيحدد مقدار عرض ذلك المنحنى،[٤] ويجدر بالذكر أنه كلما اقترب الانحراف المعياري من القيمة (0)، فذلك يعني أن القيم الموجودة أكثر قرباً للمتوسط الحسابي، وفي المقابل تُشير القيم الكبيرة من الانحراف المعياري إلى بعد القيم عن المتوسط الحسابي.[٥]

لمزيد من المعلومات حول التباين يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون التباين.

خطوات حساب الانحراف المعياري

يمكن إيجاد الانحراف المعياري باستخدام القانون الآتي:

  • الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√، حيث
    • ن: عدد القيم.
    • س: القيم المشمولة في الدراسة.
    • μ : المتوسط الحسابي للقيم.

لمزيد من المعلومات حول المتوسط الحسابي يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب المتوسط الحسابي، ما هو الوسط الحسابي، خصائص الوسط الحسابي.

سيتم توضيح خطوات إيجاد الانحراف المعياري بالاستعانة بالمثال الآتي:[٦]

  • لإيجاد الانحراف المعياري للقيم الآتية: 9، 2، 5، 4، 12، 7، 8، 11، 9، 3، 7، 4، 12، 5، 4، 10، 9، 6، 9، 4 يتم اتباع الخطوات الآتية:
    • الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي للقيم، وذلك باستخدام القانون الآتي الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها، وبالتالي:
      • الوسط الحسابي = 9 2 5 4 12 7 8 11 9 3 7 4 12 5 4 10 9 6 9 4 / 20 = 140/20= 7.
    • الخطوة الثانية هي طرح الوسط الحسابي من كل قيمة من القيم، وتربيع القيمة الناتجة، وذلك كما يلي:
      • (9 – 7)² = (2)² = 4
      • (2 – 7)² = (-5)² = 25
      • (5 – 7)² = (-2)² = 4
      • (4 – 7)² = (-3)² = 9
      • (12 – 7)² = (5)² = 25
      • (7 – 7)² = صفر
      • (8 – 7)² = (1)² = 1
      • وهكذا بالنسبة لبقية القيم، وبالتالي نحصل على القيم الآتية: 4، 25، 4، 9، 25، 0، 1، 16، 4، 16، 0، 9، 25، 4، 9، 9، 4، 1، 4، 9.
    • الخطوة الثالثة هي إيجاد مجموع القيم المربعة السابقة، وذلك كما يلي: 4 25 4 9 25 0 1 16 4 16 0 9 25 4 9 9 4 1 4 9= 178.
    • الخطوة الرابعة هي قسمة المجموع السابق على عدد القيم، وذلك كما يلي: 178/20= 8.9.
    • الخطوة الخامسة هي إيجاد الجذر التربيعي لهذه القيمة، وهي 8.9√، وتساوي 2.983، وهو مقدار الانحراف المعياري لهذه القيم؛ ومقدار بعدها عن المتوسط الحسابي.

يجدر بالذكر هنا أن هناك نوعين من الانحراف المعياري، وهما:[٦]

  • الانحراف المعياري للعينة: (بالإنجليزية: Sample Standard Deviation) ويُرمز له بالرمز (S): ويستخدم إذا كانت البيانات المستخدمة في حساب الانحراف المعياري لا تمثّل كامل البيانات في المجتمع أو الدراسة، وإنما عينة منها، بسبب كثرة عدد أفراد أو أعضاء الدراسة أو المجتمع، ويُحسب الانحراف المعياري في هذه الحالة باستخدام العلاقة الآتية:
    • الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√، حيث:
      • ن: عدد القيم، (ن-1) تعرف بأنها تصحيح بسل (Bessel’s correction).
      • س: القيم المشمولة في الدراسة.
  • الانحراف المعياري للمجتمع، (بالإنجليزية: Population Standard Deviation) ويُرمز له بالرمز (σ): ويُستخدم عند استخدام كاقة أفراد المجتمع أو الدراسة كبيانات حساب الانحراف المعياري، وذلك كما في المثال السابق:
    • الانحراف المعياري للمجتمع = [مجموع (س-μ)²/ن]√.

حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية

يمكن توضيح كيفية حساب الانحراف المعياري للجداول التكرارية بالاستعانة بالمثال الآتي:

  • مثال: إذا كان عدد الطلاب اللذين تتراوح علاماتهم بين 4، و8 هو 3 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 8، و12 هو 6 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 12، و16 هو 4 طلاب، وعدد الطلاب الذين تتراوح علاماتهم بين 16، و20، فما هو الانحراف المعياري لهذه القيم؟[٧]

الحل:

الفئة مركز الفئة (الحد الأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة)/2 التكرار
4-8 6 3
8-12 10 6
12 – 16 14 4
16 – 20 18 7
  • لحساب الانحراف المعياري يجب أولاً حساب المتوسط الحسابي، وهو: المتوسط الحسابي= (مركز الفئة×التكرار)/مجموع التكرارات، ويساوي: الوسط الحسابي = (3×6 6×10 4×14 7×18)/ 20 = 13.
  • حساب الانحراف المعياري = [مجموع (التكرار×(مركز الفئة – المتوسط الحسابي)²)/مجموع التكرارات]√، وبالتالي:
    • الانحراف المعياري = [(3×(6-13)² 6×(10-13)² 4×(14-13)² 7×(18-13)²)/20]√ = [(147 54 4 175)/20 ]√= 19√ = 4.36.

أمثلة تُوضّح كيفية حساب الانحراف المعياري

  • المثال الأول: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية: 6، 2، 3، 1؟[٥]
    • الحل: الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.
    • الخطوة الأولى هي إيجاد المتوسط الحسابي كما يلي:
      • المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها= (6 2 3 1)/4= 12/4 = 3.
    • إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة – المتوسط الحسابي ( القيمة – المتوسط الحسابي)²
6 6-3 =3 9
3 3-3 = 0 0
2 2-3 = -1 1
1 1 -3 = -2 4
المجموع – 14
  • وبالتالي فإن الانحراف المعياري = (14/4)√ = 1.87 تقريباً.

  • المثال الثاني: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية التي تمثل عينة من أحد المجتمعات: 4، 6، 2، 2، 1؟[٨]
    • الحل: الانحراف المعياري للعينة = [مجموع (س-الوسط الحسابي للعينة)² / (ن-1)]√.
    • الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي كما يلي:
      • المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = (6 4 2 2 1)/5 = 15/5 = 3.
    • إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة – المتوسط الحسابي ( القيمة – المتوسط الحسابي)²
1 1 – 3 =-2 4
2 2 – 3 = -1 1
2 2 – 3 = -1 1
4 4 – 3 = -1 1
66 – 3 = 3 9
المجموع – 16
  • وبالتالي فإن الانحراف المعياري= [16/(5-1)]√ =2.

  • المثال الثالث: ما هو الانحراف المعياري للقيم الآتية: 4، 9، 11، 12، 17، 5، 8، 12، 14؟[٩]
    • الحل: الانحراف المعياري = [مجموع (س-μ)²/ن]√.
    • الخطوة الأولى هي إيجاد المتوسط الحسابي كما يلي:
      • المتوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = 4 9 11 12 17 5 8 12 14 = 92/9 = 10.222 تقريباً.
    • إن أفضل طريقة لإيجاد الانحراف المعياري هي عمل جدول، وتطبيق القانون عليه كما يلي:
القيمة القيمة – المتوسط الحسابي ( القيمة – المتوسط الحسابي)²
4 4 – 10.222 = -6.222 38.7
9 9 – 10.222 = -1.222 1.49
11 11 – 10.222 = 0.778 0.6
12 12 – 10.222 = 1.778 3.16
17 17 -10.222 = 6.778 45.9
5 5 – 10.222 = -5.222 27.3
8 8 – 10.222 = -2.222 4.94
12 12 – 10.222 = 1.778 3.16
14 14 – 10.222 = 3.778 14.3
المجموع – 139.55
  • وبالتالي فإن الانحراف المعياري = [139.55/9]√ = 3.94.

أمثلة على استخدامات الانحراف المعياري

يعتبر الانحراف المعياري من أهم المقاييس التي يتم حسابها في الكثير من التجارب العلمية، والمصانع، والمختبرات، وذلك للتأكد من مدى دقة التجربة؛ فكلما كانت قيمة الانحراف المعياري أقل، كانت البيانات أقرب إلى القيمة المتوقعة، وكلما كانت قيمة الانحراف المعياري أكبر كانت البيانات أبعد عن القيمة المتوقعة، والتي تتمثل بالمتوسط الحسابي؛ فمثلاً يقوم نظام ضبط الجودة في المصانع المختلفة بحساب الانحراف المعياري للمنتجات في المصانع للتأكد من سير العمليات بشكل صحيح، عن طريق وضع الحدود المقبولة للقيم المتعلقة بفحص جودة المنتجات بناءً عليه.[١٠]

يتم استخدام الانحراف المعياري كذلك أثناء التنبؤ بحالات الطقس في المناطق المختلفة؛ لعدم كفاية البيانات المقدّمة من المتوسط الحسابي لدرجات الحرارة فقط لتوقع حالة الطقس في منطقة معينة من المناطق؛ فمثلاً قد تتساوي منطقتان في قيمة المتوسط الحسابي وهي 75 درجة مثلاً، على الرغم من أن إحداهما قد تتباين درجات الحرارة فيها بشكل كبير، لتصل إلى 30 درجة، أو حتى 110 درجة، وفي المقابل قد تتراوح درجات الحرارة في المنطقة الأخرى ضمن حدود 60-85 فقط؛ لذلك يقدم الانحراف المعياري هنا تصوراً أفضل لمقدار بُعد درجات الحرارة عن المتوسط الحسابي، وبالتالي دقة أكثر أثناء توقع حالة الطقس في المناطق المختلفة.[١٠]

لمزيد من المعلومات حول المنوال والوسيط يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب الوسيط، كيفية حساب المنوال.

المراجع

  1. ↑ “Standard Deviation Formulas”, www.mathsisfun.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  2. ↑ “Standard Deviation Definition”, www.investopedia.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  3. ↑ “Difference Between Variance and Standard Deviation”, keydifferences.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  4. ↑ “Here’s What Nerds Mean When They Say ‘Standard Deviation'”, www.businessinsider.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  5. ^ أ ب “Calculating standard deviation step by step”, www.khanacademy.org, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  6. ^ أ ب “Standard Deviation Formulas”, www.mathsisfun.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  7. ↑ “Measures of dispersion”, ncert.nic.in, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  8. ↑ “How to Calculate a Sample Standard Deviation”, www.thoughtco.com, Retrieved 27-5-2020. Edited.
  9. ↑ “Standard Deviation”, revisionmaths.com, Retrieved 28-5-2020. Edited.
  10. ^ أ ب “Standard Deviation Calculator”, www.calculator.net, Retrieved 27-5-2020. Edited.