تحليل كثيرات الحدود

طرق تحليل كثيرات الحدود

يستخدم التحليل (بالإنجليزية: Factorization) لحل المعادلات الجبرية عادة، وهو يعني كتابة كثير الحدود على شكل حاصل ضرب كثيري حدود أو أكثر تقل درجتهما عن درجة كثير الحدود الأصلي، ويُطلق على كل كثير حدود ناتج من عملية التحليل اسم العامل، ولا يمكن تحليل أي عامل من هذه العوامل أبداً، كما يساوي حاصل ضرب جميع العوامل كثير الحدود الأصلي دائماً.^[١]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول كثيرات الحدود يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن كثيرات الحدود.

أخذ العامل المشترك

يتم التحليل من خلال هذه الطريقة باستخراج الثوابت أو المتغيرات المشتركة بين جميع الحدود لتكوّن هذه الثوابت والمتغيرات حدّاً يُعرف بالعامل المشترك الأكبر، وعادة يتم اللجوء لهذه الطريقة كأول طريقة للتحليل، ومن الأمثلة على ذلك ما يأتي:

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: 15س³ 5س²-25س.^[٢]
  • يمكن ملاحظة أن العامل المشترك الأكبر بين جميع الحدود هو (5س)، لذلك تُقسم جميع الحدود على هذا المقدار ليصبح الناتج كالآتي: 5س(3س² س-5).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: (3ص-5)(س 7)-ع(س 7).^[٣]
  • يمكن ملاحظة أن العامل المشترك الأكبر هو (س 7)، لذلك تُقسم جميع الحدود على هذا المقدار، لتصبح كالآتي: (س 7)(3ص-5-ع).

استخدام التجميع

تستخدم هذه الطريقة عند عدم وجود عامل مشترك بين الحدود جميعها، ووجوده بين حدين أو أكثر فقط، لذا يتم التحليل بتجميع الحدود التي تضم عاملاً مشتركاً، ثم أخذ العامل المشترك بينها كما تم شرحه سابقاً، وذلك كما يلي:^[٢]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: 2س ص 3س-14ص-21.^[٣]
  • يمكن ملاحظة أن الحدين (2س ص)، (3س) يشتركان بـ (س)، وأن الحدين (-14ص)، (21-) يشتركان بـ (7-)، لذلك يمكن إعادة كتابة كثير الحدود السابق على النحو الآتي: س(2ص 3)-7(2ص 3) = (س-7)(2ص 3).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: س³ 3س² 4س 12.^[٤]
  • يمكن ملاحظة أن الحدين (3س²)، (س³) يشتركان بـ (س²)، وأن الحدين (4س)، (12) يشتركان بـ (4)، لذلك يمكن إعادة كتابة كثير الحدود السابق على النحو الآتي: س²(س 3) 4(س 3) = (س 3)(س² 4).

التعويض

يمكن في بعض الحالات استبدال بعض الحدود في كثير الحدود بحد أكثر بساطة لتسهيل تحليله، وذلك كما يلي:^[٥]

• حلّل كثير الحدود الآتي: (س-ص)(س-ص-1)-20.
  • باستبدال القيمة (س-ص) بـ (ع)، يمكن التعبير عن كثير الحدود السابق كما يلي: ع(ع-1)-20 = ع²-ع-20.
  • كثير الحدود (ع²-ع-20) يمثل عبارة تربيعية يمكن تحليلها باستخدام إحدى طرق تحليل العبارة التربيعية كما يلي: ع²-ع-20 = (ع 4)(ع-5) = (س-ص 4)(س-ص-5).

تحليل العبارة التربيعية

يمكن تحليل العبارة التربيعية والتي هي عبارة عن حالة من حالات كثير الحدود وتكون على الصورة: أس² ب س جـ (حيث إنّ أ لا تساوي صفراً) بطرق عدة إحداهما على النحو الآتي:^[٣]

• إذا كانت أ=1: لتحليل العبارة التربيعية التي تكون على النحو الآتي: س² ب س جـ، يجب البحث عن عددين (هـ، ع) حاصل جمعهما يساوي (ب)، وحاصل ضربهما يساوي (جـ)؛ حيث: هـ ع=ب ، هـ×ع=جـ، ثم كتابتها على النحو الآتي:
  • أس² ب س جـ = (س هـ)(س ع).
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: س² 5س-6، يتم تحليلها على التحو الآتي:
    • إنّ العددين اللذين مجموعهما (5)، وحاصل ضربهما (-6)؛ هما: ( 6، -1)، لذلك يكون الناتج:
    • س² 5س-6= (س 6)(س-1).
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: س²-4س-12.^[٢]
    • إنّ العددين اللذين مجموعهما (4-)، وحاصل ضربهما (12-)؛ هما: (6-، 2)، لذلك يكون الناتج:
    • س²-4س-12 = (س-6)(س 2).

• إذا كانت أ≠1: تحليل العبارة التربيعية التي تكون على النحو الآتي: أس² ب س جـ، عن طريق كتابتها على الصورة الآتية: (د س ح)(هـ س ط)؛ حيث: د×هـ = أ، ح×ط = جـ، د×ط هـ×ح = ب، وذلك بفتح قوسين والبدء بتخمين الأعداد السابقة على الترتيب بالعثور على عددين حاصل ضربهما هو أ، وعددين آخرين حاصل ضربهما هو جـ، ثم التحقق من أن هذه الأعداد تحقق العلاقة د×ط هـ×ح = ب قبل كتابتها في القوسين، وذلك على النحو الآتي:
  • المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: 2س²-7س-15.
    • يمكن تحليل العبارة السابقة على النحو الآتي: (2س 3)(س-5)؛ حيث إن: 2×1 = 2 = أ، 3×-5 = -15 = جـ، 3×1 2×-5 = -7 = ب.
  • المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: 2س² 9س-5.^[٢]
    • يمكن تحليل العبارة السابقة على النحو الآتي: (2س-1)(س 5)؛ حيث إن: 2×1 = 2 = أ، 5×-1= -5 = جـ، -1×1 2×5 = 9 = ب.
  • المثال الثالث: حلّل كثير الحدود الآتي: س³ 2س²-3س.^[٤]
    • باستخراج س كعامل مشترك ينتج أن: س(س² 2س-3)، وبتحليل العبارة التربيعية س² 2س-3 ينتج أن: س³ 2س²-3س = س(س² 2س-3) = س(س 3)(س-1).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل المعادلة التربيعية.

تحليل بعض الصيغ الخاصة لكثيرات الحدود

فيما يأتي بعض الصيغ الخاصة بكثيرات الحدود وكيفية تحليلها:^[٢]

• الفرق بين مربعين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: س²-أ²، ويمكن تحليله عن طريق كتابته على شكل: س²-أ²=(س أ)(س-أ).
• الفرق بين مكعبين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: أ³-ب³، ويمكن تحليله عن طريق كتابته على شكل: أ³-ب³=(أ-ب)(أ² أب ب²).
• مجموع مكعبين: وهو كثير الحدود الذي يكون على الصورة: أ³ ب³، ويمكن تحليله عن طريق كتابته على شكل: أ³ ب³=(أ ب)(أ²-أب ب²).

ومن الأمثلة على تحليل كثيرات الحدود باستخدام هذه الطريقة ما يلي:^[٢]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: 27س³ 8.
  • كثير الحدود هذا جاء على صورة مجموع مكعبين، لذلك يمكن تحليله على شكل: (3س 2)(9س²-6س 4).

• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: 20س²-405
  • يمكن لكثير الحدود هذا بعد استخراج (5) كعامل مشترك أن يصبح على شكل فرق بين مربعين: 5(4س²-81)، ثم تحليله بالشكل الآتي: 5(4س²-81) = 5(2س 9)(3س-9).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل الفرق بين مكعبين.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل مجموع مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل مجموع مكعبين.

تحليل العبارة التكعيبية أو الدرجات الكبيرة من كثيرات الحدود

يمكن تحليل كثير الحدود ذو الدرجة الثانية أو أكثر عن طريق تخمين أحد جذوره أو حلوله؛ أي العثور بالتجربة على قيمة للمتغير (س) ولنفترض أنها (أ) تجعل قيمة كثير الحدود مساوية للصفر، وذلك عن طريق تعويض قيم مختلفة مكان المتغير (س) حتى العثور عليها، وبالتالي نفترض أن (س-أ) يعتبر أحد عوامل كثير الحدود هذا، ثم وبقسمة كامل كثير الحدود على ذلك العامل بالقسمة التركيبية، يمكن العثور على بقية العوامل، وذلك كما يلي:^[٦]

• المثال الأول: حلّل كثير الحدود الآتي: س³-4س²-7س 10.
  • العدد (1) يحقق كثير الحدود هذا؛ أي أنّ: (1)³-4×(1)²-7×(1) 10= 0، ويعتبر أحد جذوره،؛ لذلك فإن (س-1) يعتبر أحد عوامله.
  • بقسمة (س³-4س²-7س 10) على (س-1) بواسطة القسمة التركيبية ينتج أن: عوامل (س³-4س²-7س 10)، هي: (س-1)(س²-3س-10).
  • لأنّ س²-3س-10 هي عبارة تربيعية فإنه يمكن تحليلها كما ذُكر سابقاً، لتصبح: س²-3س-10 = (س-5)(س 2).
  • عوامل س³-4س²-7س 10 هي: (س-1)(س-5)(س 2).
• المثال الثاني: حلّل كثير الحدود الآتي: س³-5س²-2س 24.^[٧]
  • العدد (3) يحقق كثير الحدود هذا؛ أي أنّ: (3)³-5×(3)²-2×(3) 24= 0، ويعتبر أحد جذوره؛ لذلك فإن (س-3) يعتبر أحد عوامله.
  • بقسمة (س³-5س²-2س 24) على (س-3) بواسطة القسمة التركيبية ينتج أن: عوامل (س³-5س²-2س 24)، هي: (س-3)(س²-2س-8).
  • لأنّ س²-2س-8 هي عبارة تربيعية فإنه يمكن تحليلها كما ذُكر سابقاً، لتصبح: س²-2س-8 = (س-4)(س 2).
  • عوامل س³-5س²-2س 24 هي: (س-3)(س-4)(س 2).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل العبارة التكعيبية والقسمة التركيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

المراجع

1. ↑ “Factorization of Polynomials”, www.toppr.com, Retrieved 17-5-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} “Factoring Polynomials”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 21-9-2019. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} “Polynomials and Factoring”, www.math.toronto.edu, Retrieved 21-9-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “6.5 Factoring Cubic Polynomials”, www.cwcboe.org, Retrieved 17-5-2020. Edited.
5. ↑ Ashley Toh, Ashish Menon, Ashlin Farris, and 5 others contributed, “Factoring Polynomials”، brilliant.org, Retrieved 17-5-2020. Edited.
6. ↑ “How to Factor a Cubic Polynomial”, www.wikihow.com, Retrieved 17-5-2020. Edited.
7. ↑ “Cubic equations”, www.mathcentre.ac.uk, Retrieved 17-5-2020. Edited.