قانون مساحة الأسطوانة

كيفية حساب مساحة الأسطوانة

يُمكن تعريف الإسطوانة على أنّها جسم ثلاثي الأبعاد يتكون من دائرتين مُتّصلتين مع بعضهما البعض لتشكيل شكل شبيه بالعمود المستدير، وتتمثّل مساحة سطحها بمجموع مساحة الدائرتين أو القاعدتين العلويّة والسفليّة، ومساحة المستطيل الجانبيّ الملتف بين القاعدتين، والذي يمثل المساحة الجانبية لها، وصيغة قانون المساحة لكلّ منهما هو كالآتي:^[١]

• مساحة الدائرة أو قاعدة الأسطوانة= π×نق²، مساحة المستطيل أو المساحة الجانبيّة للأسطوانة=2×π×نق×ع، وبالتالي يكون القانون العام للمساحة الكليّة لسطح الأسطوانة على النحو الآتي:^[٢]
• المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2×مساحة القاعدتين المساحة الجانبية = 2×(πنق²) 2×π×نق×ع =2×π×نق×(نق ع)؛ حيثُ إنّ:
  • نق: نصف قطر قاعدة الأسطوانة.
  • π: باي، ثابت عددي قيمته 3.14 أو 22/7.
  • ع: ارتفاع الأسطوانة.

لمزيد من المعلومات حول المساحة الجانبية للأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون المساحة الجانبية للأسطوانة.

أمثلة على حساب مساحة الأسطوانة

• المثال الأول: أسطوانة نصف قطرها يساوي 3سم، وارتفاعها يساوي 10سم، جد مساحتها الكليّة؟^[٣]
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 3 سم، وارتفاعها (ع)= 10 سم في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة =2×π×نق² 2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2×3.14×(3)² 2×3.14×(3)×(10)= 244.9 سم².

• المثال الثاني: أسطوانة قطرها يساوي 4سم، وارتفاعها يساوي 36مم، جد مساحتها الكليّة؟^[٣]
  • الحل:
  • حساب قيمة نصف القطر (نق) بقسمة القطر (ق) على 2، وبالتالي: نق= ½×ق=½×(4)=2سم.
  • تحويل وحدة الارتفاع من مم إلى سم بقسمة القيمة على 10، وبالتالي: ع=36/10=3.6سم.
  • تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 2سم، والارتفاع (ع)= 3.6 سم في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة =2×π×نق² 2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2×3.14×(2)² 2×3.14×(2)×(3.6) = 70.3 سم².

• المثال الثالث: تبلغ المساحة الكليّة لسطح أسطوانة 980.18 سم²، ونصف قطرها يساوي 6سم، جد ارتفاعها؟^[٣]
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 6سم، ومساحتها الكليّة=980.18 سم² في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2×π×نق×(نق ع)، لينتج أنّ:
    • 980.18 = 2×3.14×6×(6 ع)، ومنه: 980.18= 37.68‬×(6 ع)، وبقسمة الطرفين على (37.68‬) ينتج أنّ: 6 ع = 26.01، ثمّ بطرح (6) من الطرفين ينتج أنّ: ع=20 سم تقريباً.

• المثال الرابع: تبلغ المساحة الكليّة لسطح أسطوانة π18 سم²، وارتفاعها يساوي 8سم، جد نصف قطرها ؟^[٣]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الارتفاع (ع)=8 سم، ومساحتها الكليّة=π18 سم²، في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2×π×نق² 2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • π×2 =18×π×(نق)² 2×π×(نق)×(8)، وبقسمة الطرفين على (2×π) ينتج أنّ: 9=نق² 8نق، ثمّ بطرح 9 من الطرفين ينتج أنّ: نق² 8نق-9=0، وهذه مُعادلة تربيعيّة يُمكن حلّها بإحدى الطرق المُناسبة، لينتج أنّ: نصف قطر الأسطوانة= 1سم.

• المثال الخامس: تبلغ المساحة الكليّة لسطح أسطوانة π972 سم²، وارتفاعها يساوي (5س) سم، ونصف قطرها يساوي (2س) سم، جد قيمة كُلّ من نصف قطرها وارتفاعها؟^[٣]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الارتفاع (ع)=5س، و(نق)=2س، ومساحتها الكليّة=π972 سم²، في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2×π×نق² 2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • π×2 =972×π×(2س)² 2×π×(2س)×(5س)، وبقسمة الطرفين على (2×π) ينتج أنّ: 486‬= 4س² 10س²، وبتجميع الحدود ينتج أنّ: 14س²=486، وبقسمة الطرفين على 14 ينتج أنّ: س²=34.71، ثمّ بأخد الجذر التربيعيّ للطرفين ينتج أنّ: س=5.89، وبالتالي:
    • الارتفاع (ع)=5س=5×5.89=29.46 سم، ونصف القطر (نق)=2س=2×5.89= 11.78سم.

• المثال السادس: تبلغ المساحة الكليّة لسطح أسطوانة π72 سم²، ونصف قطرها يساوي 4 سم، جد ارتفاعها؟^[٤]
  • الحل:
  • تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 4 سم، ومساحتها الكليّة=π72 سم² في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2×π×نق×(نق ع)، لينتج أنّ:
    • 2×π×4×(4 ع) = π×72 ، وبقسمة الطرفين على (2×π) ينتج أنّ: 36=16 4ع، ثمّ بطرح 16 من الطرفين ينتج أنّ: 20=4ع، ثمّ بقسمة الطرفين على 4 ينتج أنّ: ع=5 سم.

• المثال السابع: عمود أسطواني الشكل قطر قاعدته يساوي 350سم، وارتفاعه يساوي 15م، فإذا كانت تكلفة الدهان تساوي 25 دينار لكل متر مربع، فجد تكلفة دهان السطح الجانبيّ للعمود؟^[٥]
  • الحل:
  • إيجاد قيمة نصف القطر(نق) بقسمة القطر(ق) على 2، وبالتالي: نق= ½×ق = ½×(350)=175 سم.
  • تحويل وحدة القطر من سم إلى م بقسمة القيمة على 100، وبالتالي: نق= 175/100= 1.75 م.
  • حساب المساحة الجانبيّة للعمود عن طريق تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 1.75 م، والارتفاع (ع)= 15م في قانون المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة =2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • المساحة الجانبيّة لسطح الإسطوانة=2×3.14×(1.75)×(15)= 164.85‬ م².
  • حساب تكلفة دهان السطح الجانبيّ للعمود بضرب المساحة الجانبيّة بتكلفة دهان المتر المُربع الواحد لينتج أنّ: تكلفة الدهان = 164.85×25= 4,121.25‬ دينار.

• المثال الثامن: حاوية أسطوانية الشكل مصنوعة من الصفيح قطر قاعدتها يساوي 1م، وارتفاعها يساوي 1م، فإذا كانت الحاوية مفتوحة من الأعلى وكانت تكلفة الصفيح تساوي 308 دينار لكل متر مربع، فما هي كُلفة صناعتها؟^[٥]
  • الحل:
  • إيجاد قيمة نصف القطر(نق) بقسمة القطر (ق) على 2، وبالتالي: نق= ½×ق=½×(1)=½ م.
  • حساب المساحة الجانبيّة للحاوية عن طريق تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 1م، وارتفاعها (ع)= 1م في قانون المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة =2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة=2×3.14×(½)×(1)= 3.14‬ م².
  • حساب مساحة القاعدة الدائريّة عن طريق تعويض قيمة نصف القطر (نق)= 1م في قانون مساحة الدائرة= π×نق² = 3.14×(½)² = 0.785 م².
  • حساب المساحة الكليّة لسطح الحاوية باستثناء القاعدة العلوية عن طريق جمع نواتج الخطوات السابقة لينتج أنّ: مساحة سطح الحاوية =3.14 0.785= 3.925‬ م².
  • حساب كُلفة صناعة الحاوية بضرب المساحة الكليّة للحاوية في تكلفة المتر المُربع الواحد من الصفيح لينتج أنّ: كُلفة صناعة الحاوية = 3.925×308= 1,208.9‬‬ دينار.

• المثال التاسع: تبلغ المساحة الكليّة لسطح أسطوانة 1540 سم²، فإذا كان ارتفاعها يساوي 4 أصعاف نصف قطرها، جد المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة؟^[٦]
  • الحل:
  • تعويض المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة = 1540سم²، و الارتفاع= 4×نصف القطر، في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة=2×π×نق² 2×π×نق×ع، لينتج أنّ:
    • 1540 =2×3.14×(نق)² 2× 3.14×(نق)×(4×نق)، وبتبسيط المُعادلة ينتج أنّ: 1540=6.28(نق)² 25.12(نق)²، ومنه: 1540=31.4×‬(نق)²، وبقسمة الطرفين على 31.4 ينتج أنّ: نق²=49، ثمّ بأخذ الجذر التربيعيّ للطرفين ينتج أنّ: نق=7 سم.
  • تعويض قيمة نق=7 سم في العلاقة ع=4×نق لينتج أنّ: الارتفاع=4×7=28 سم.
  • تعويض قيمة نق=7 سم، و ع=28 سم في في قانون المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة= 2×π×نق×ع، لينتج أنّ: المساحة الجانبيّة لسطح الأسطوانة= 2×3.14×7×28= 1230.88‬ سم².

• المثال العاشر: أسطوانة يبلغ نصف قطرها 9سم، فإذا كان ارتفاعها يساوي ضعفي محيط قاعدتها الدائريّة، جد مساحة سطحها الكليّة؟^[٧]
  • الحل:
  • تعويض قيمة نق=9 سم في العلاقة الناتجة من المعطيات: الارتفاع=2×محيط القاعدة الدائرية= 2×(2×π×نق)= 4×π×نق، لينتج أنّ: الارتفاع= 4×3.14×9= 113.04‬ سم.
  • تعويض قيمة نق=9 سم، و ع=113.04 سم في في قانون المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2× π×نق×(نق ع)، لينتج أنّ: المساحة الكليّة لسطح الأسطوانة= 2×3.14×9×(9 113.04)=6,897.7 سم².

لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة وحجم الأسطوانة، كيفية حساب حجم الأسطوانة.

فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها

للتعرف على هذا الشكل الهندسي وكيفية حساب مساحته وحجمه شاهد الفيديو الآتي.^[٨]

المراجع

1. ↑ Joseph Vigil, Kathryn Boddie, “Finding the Area of a Cylinder: Formula & Example”، www.study.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
2. ↑ “Surface Area of a Cylinder”, www.varsitytutors.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Surface Area: Cylinders”, www.corbettmaths.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
4. ↑ “Cylinder: Base Area, Lateral Area, Surface Area and Volume”, www.ck12.org, Retrieved 22-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “Problems on Right Circular Cylinder”, www.math-only-math.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
6. ↑ “curved-surface-area-of-cylinder”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
7. ↑ “GMAT Math : Calculating the surface area of a cylinder”, www.varsitytutors.com, Retrieved 22-4-2020. Edited.
8. ↑ فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها.