كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة

نظرة عامة حول المعادلة التكعيبية

يُمكن تعريف المُعادلة التكعيبيّة (بالإنجليزية: Cubic Equation) على أنّها كثير حدود من الدرجة الثالثة،^[١] أمّا بالنسبة للصيغة العامّة لها فهي على النحو الآتي:^[٢]

• أس³ ب س² ج س د=0؛ حيثُ إنّ:
  • أ، ب، ج، د، تُمثّل أعداداً مركبة، كما أنّ أ يجب لا تُساوي صفراً، بينما يُمكن للبقيّة أن تساوي صفراً.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حلّ المُعادلات يُمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلات الجبرية، طرق حل المعادلات بالمصفوفات، طرق حل المعادلة الأسية.

كيفية حل المعادلة التكعيبية

نظريّة المعامل والقسمة التركيبيّة

تملك جميع المعادلات التكعيبية جذراً حقيقياً واحداً، أو ثلاثة جذور حقيقية،^[٣] وتُستخدم نظريّة المعامل والقسمة التركيبيّة كأسهل طريقة لحل المعادلات التكعيبيّة، وهي تتطلّب التخمين وبعض العمليات الحسابيّة، وذلك على النحو الآتي:^[١]

• كتابة المُعادلة التكعيبيّة على الصورة القياسيّة.
• إيجاد أحد الجذور للمعادلة التكعيبية بطريقة التخمين، عن طريق كتابة مجموعة من الأعداد المقترحة، ثمّ تعويضها في المعادلة التكعيبية مكان س، والعدد الذي يجعل المُعادلة مساوية للصفر، يعتبر أحد جذورها، ولنفترض أنه (ل)؛ حيث: أ (ل)³ ب×(ل)² ج×(ل) د= ، ويكون هذا الجذر عادة أحد معاملات العدد د وهو ثابت المعادلة (أي الأعداد التي يساوي ناتج قسمة العدد (د) عليها القيمة صفر) وذلك إذا كانت قيمة أ=1 فقط.
• كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-ل)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل ل العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السّابقة، وبالتالي الحدّ (س-ل) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و تُمثّل س= ل أحد الحلول للمعادلة.
• إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-ل) كما يلي:
  • تُكتب مُعاملات المُعادلة التكعيبيّة على الصفّ الأول، ثمّ يوضع خط عموديّ فاصل على يسارها، بعدها يُكتب س=- ل، ويُترك سطر فارغ أسفل المُعاملات ثمّ يُوضع خط أفقيّ كما هو موضّح في الأسفل:

أ ب ج د | س= ل

ـــ ــــ ـــ ـــ |

——————————

ـــ ــــ ـــ ـــ |

• فإذا افترضنا أنّ المُعادلة التكعيبيّة كما يلي: س³-5 س²-2 س 24=0، وكان (س 2) أحد عوامل المُعادلة، فإنّ القسمة التركيبيّة تتمّ على النحو الآتي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ـــ ـــــ ـــــ ـــــ |

• كتابة الرقم (1) تحت الخط الأفقي، وهو أول رقم من اليمين، ثمّ ضربه في (-2) لينتج أنّ: 1×-2=-2، وتُكتب النتيجة أسفل -5 كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ -2 ـــــ ـــــ |

——————————

1 ـــــ ـــــ ـــــ |

• ثمّ إيجاد حاصل جمع -5 و -2 وتُكتب النتيجة تحت الخط الأفقي كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ــــ -2 ــــ ــــ |

——————————

1 -7 ــــ ـــــ |

• تُكرر العمليّة السابقة بالنسبة للرقم (-7)؛ حيثُ يُضرب بالرقم (-2)، وتوضع النتيجة بالسطر الثاني تحت -2 ثمّ يُجمع العددان وتوضع النتيجة تحت الخطّ الأفقيّ كما يلي:

1 -5 -2 24| س= -2

ـــ -2 ـــــ ـــــ |

——————————

1 -7 ـــــ ـــــ |

• ثمّ تكرر العمليّة إلى أن يظهر الرقم صفر في آخر خانة من الأعداد الموجودة تحت الخط الأفقي، والذي يدلّ ظهوره على أنّ الحل صحيح على النحو الآتي:

1 -5 -2 24 | س= -2

ــ -2 14 -24 |

——————————

1 -7 12 0 |

• يُمثّل الصفّ السفلي الموجود تحت الخط الأفقي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س ل): فبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-5 س²-2 س 24=0 على النحو الآتي: (س²-7س 12)(س 2)=0.
• تحليل المُعادلة التربيعيّة لينتج أنّ: (س²-7س 12)=(س-3)(س-4)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (س-3)(س-4)(س 2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول للمعادلة التكعيبية هذه هي: س=3، س=4، س=-2.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المعادلة التربيعية وتحليلها يُمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

الصيغة العامّة لحلّ المعادلات التكعيبيّة

يعدّ استخدام الصيغة العامّة لحلّ التكعيبيّة أطول وأقلّ سهولة، وهي شبيهة بالصيغة العامّة لحلّ المعادلة التربيعيّة؛ حيثُ يتمّ ادخال قيم أ، ب، ج، د للحصول على الحلول، وتكون هذه الصيغة على النحو الآتي:^[١]

• س= {ك [ك² (ر-ع²)³]√}∛ {ك- [ك² (ر-ع²)³]√}∛ ع؛ حيثُ أنّ:
  • ع=-ب/3×أ.
  • ك=ع³ (ب×ج-3×أ×د)/(6×أ²).
  • ر=ج/3أ.

أمثلة على حل المعادلة التكعيبية

• المثال الأول: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: 2س³ 3 س²-11 س-6=0؟^[٤]
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد -6، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 2؛ حيث: 2׳(2) 3ײ(2)-11×(2)-6= 0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-2)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل 2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، ويمثّل س=2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل العبارة التربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

2 3 -11 -6| س= 2

ــ 4 14 6 |

——————————

2 7 3 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س-2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة 2س³ 3 س²-11 س-6=0 على النحو الآتي: (2س² 7س 3)(س-2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (2س² 7س 3)=(2س 1)(س 3)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (2س 1)(س 3)(س-2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=-½، س=-3، س=2.

• المثال الثاني: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-7 س² 4 س 12=0؟^[٤]
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد 12 ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو -1؛ حيث: (-1)³-7×(-1)² 4×(-1) 12=0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س 1)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل -1 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س 1) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=-1 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س 1) كما يلي:

1 -7 4 12 | س= -1

ــ -1 8 12 |

——————————

1 -8 12 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س 1)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-7 س² 4 س 12=0 على النحو الآتي: (س²-8س 12)(س 1)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (س²-8س 12)=(س-2)(س-6)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (س-2)(س-6)(س 1)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=2، س=6، س=-1.

• المثال الثالث: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: 6س³-5 س²-17 س 6=0؟^[٥]
  • الحلّ:
  • إيجاد أحد الأعداد الذي يؤدي تعويضه في المعادلة مكان س إلى جعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 2؛ حيث: 6×(2)³-5×(2)²-17×(2) 6=0.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-2)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل 2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

6 -5 -17 6| س= 2

ــ 12 14 -6|

——————————

6 7 -3 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س-2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة 6س³-5 س²-17 س 6=0 على النحو الآتي: (6س² 7س-3)(س-2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (6س² 7س-3)=(2س 3)(3س-1)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: (2س 3)(3س-1)(س-2)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=-1.5، س=⅓، س=2.

• المثال الرابع: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-2 س²-6س 4=0؟^[٥]
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد 4، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س، حتى العثور على العامل الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو -2.
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س 2)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل -2 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س 2) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=-2 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س 2) كما يلي:

1 -2 -6 4| س= -2

ــ -2 8 -4|

——————————

1 -4 2 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س 2)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-2 س²-6س 4=0 على النحو الآتي: (س²-4س 2)(س 2)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة باستخدام الصيغة العامّة لحلّ المُعادلة التربيعيّة، لينتج أنّ: س=2±2√، وبالتالي ينتج أنّ الحلول هي: س=2±√2، س=-2.

• المثال الخامس: جد الحلول للمعادلة التكعيبيّة الآتية: س³-6 س² 11 س-6=0؟^[٦]
  • الحلّ:
  • إيجاد عوامل العدد -6، ثمّ تعويضها في المعادلة مكان س حتى العثور على العدد الذي يجعل المُعادلة تساوي صفراً، وهذا العدد هو 1؛ حيث: (1)³-6×(1)² 11×(1)-6=0
  • كتابة المُعادلة على الصورة الآتية: (س-1)(س² أس ب)؛ حيثُ يُمثّل 1 العدد الذي تمّ إيجاده في الخطوة السابقة، وبالتالي الحدّ (س-1) يُمثّل أحد عوامل المُعادلة التكعيبيّة، و يمثّل س=1 أحد الحلول للمعادلة.
  • إيجاد الحدّ (س² أس ب) الذي يُمثّل عبارة تربيعيّة باستخدام القسمة التركيبيّة؛ وذلك بقسمة المعادلة التكعيبيّة على (س-2) كما يلي:

1 -6 11 -6| س= 1

ــ 1 -5 6|

——————————

1 -5 6 0 |

• • يُمثّل الصفّ السفلي عوامل المعادلة التربيعيّة (س² أس ب) المضروبة بالعامل (س-1)، وبالتالي تُكتب المُعادلة التكعيبيّة س³-6 س² 11 س-6=0 على النحو الآتي: (س²-5س 6)(س-1)=0.
  • تحليل المُعادلة التربيعيّة بإحدى الطرق المُتاحة لينتج أنّ: (س²-5س 6)=( س-3)( س-2)، وبالتالي تُكتب المعادلة التكعيبية على النحو الآتي: ( س-3)( س-2)(س-1)=0، ومنه ينتج أنّ الحلول هي: س=3، س=2، س=1.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول المعادلات التكعيبية يُمكنك قراءة المقالات الآتية: تحليل_الفرق_بين_مكعبين، تحليل مجموع مكعبين.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} Lee Johnson (30-11-2018), “How to Solve Cubic Equations”، www.sciencing.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
2. ↑ Arkajyoti Banerjee, Jesse Nieminen, Ayush G Rai, “Cubic Equations”، www.brilliant.org, Retrieved 8-4-2020. Edited.
3. ↑ “Cubic equations”, www.mathcentre.ac.uk, Retrieved 8-4-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “Solving Cubic Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “Solving Cubic Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
6. ↑ “Cubic Equation Formula”, www.byjus.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.