نظرة عامة حول المتوسط الحسابي

يمكن تعريف المتوسط الحسابي أو الوسط الحسابي (بالإنجليزية: Mean) أو المعدل بأنه أحد أكثر مقاييس النزعة المركزية شهرة ويمكن من خلاله العثور على القيمة التي مثّل مركز البيانات المعطاة،^[١] ويتم عادة الخلط بينه وبين مقاييس النزعة المركزية الأخرى، وهي المنوال، والوسيط، إلا أنه يختلف عنهما تماماً؛ إذ يعبّر المنوال (بالإنجليزية: Mode) عن القيمة الأكثر تكراراً ضمن مجموعة من البيانات، بينما يعبّر الوسيط (بالإنجليزية: Median) عن القيمة الوسطى التي تقع في منتصف البيانات تماماً عند ترتيبها دون أخذ القيم المتطرفة بعين الاعتبار.^[٢]

لمزيد من المعلومات حول المنوال، والوسيط يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب الوسيط، كيفية حساب المنوال.

كيفية حساب المتوسط الحسابي

حساب الوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد

لحساب المتوسط الحسابي لمجموعة من الأعداد يجب أولاً جمع هذه الأعداد معاً، ثم قسمة ناتج عملية الجمع على عدد هذه الأعداد، وذلك على النحو الآتي:^[٢]

المتوسط الحسابي= (س₁ س₂ س₃ …..س _ن)/ن.
فمثلاً المتوسط الحسابي للأعداد الآتية (1،2،3،4،5) هو: (1 2 3 4 5)/5= 15/5=3.

لمزيد من المعلومات حول المتوسّط الحسابي يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو الوسط الحسابي.

حساب الوسط الحسابي للجداول التكرارية

يمكن حساب الوسط الحسابي للجداول التكرارية وذلك كما في المثال الآتي:^[٣]

احسب الوسط الحسابي للجداول الآتي الذي يوضّح الكميات المباعة لإحدى السلع في أحد المحال التجارية، خلال مدة أربعين يوماً.

الفئة (الكمية المُباعة)	التكرار (ت) (الأيام)
180-172	3
171-163	5
162-154	9
153-145	12
144-136	5
135-127	4
126-118	2

لحساب المتوسط الحسابي يجب أولاً حساب مركز كل فئة من الفئات، والذي يساوي: مركز الفئة (م)= (الحد الأعلى للفئة الحد الأدنى للفئة)/2.
- (180 172)/2 = 176.
- (163 171)/2 = 167.
- (162 154)/2 = 158.
- (153 145)/2 = 149.
- (136 144)/2 = 140.
- (135 127)/2 = 131.
- (126 118)/2 = 122.

الفئة (الكمية المُباعة)	التكرار (الأيام)	مركز الفئة (م)
180-172	3	176
171-163	5	167
162-154	9	158
153-145	12	149
144-136	5	140
135-127	4	131
126-118	2	122

حساب حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ثم حساب مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها، ومجموع التكرارات أو عدد الأيام.

الفئة (الكمية المُباعة)	التكرار (الأيام)	مركز الفئة	مركز الفئة×التكرار
180-172	3	176	528
171-163	5	167	835
162-154	9	158	1422
153-145	12	149	1788
144-136	5	140	700
135-127	4	131	524
126-118	2	122	244
المجموع	40	–	6041

التعويض في القانون:
- المتوسط الحسابي = مجموع حاصل ضرب مركز كل فئة بتكرارها/ مجموع التكرارات (حجم العينة)= (م×ت)Σ/تΣ
- المتوسط الحسابي = 6041/40 = 151.03، وهذا يعني أن متوسط الكمية التي يتم بيعها من هذه السلعة هو 151 قطعة خلال اليوم الواحد.

أمثلة على حساب المتوسط الحسابي

المثال الأول: ما قيمة المتوسط الحسابي لعلامات عشرة من الطلاب في مادة الرياضيات إذا كانت علاماتهم على النحو الآتي: 77، 62، 89، 95، 88، 74، 82، 93، 79، 82؟^[٤]
- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع علامات الطلاب، كالآتي: 77 62 89 95 88 74 82 93 79 82 = 821.
  - قسمة المجموع على عدد العلامات، وهو عشرة كما ذُكر في السؤال: المتوسط الحسابي = 821/10 = 82.1.

المثال الثاني: ما هو المتوسط الحسابي للأعداد الآتية: 2، 4، 6، 9، 21، 13، 5، 12؟^[٤]
- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع هذه الأعداد، كالآتي: 2 4 6 9 21 13 5 12 = 72
  - قسمة مجموع هذه الأعداد على عددها، وعددها هو 8، وذلك كالآتي: المتوسط الحسابي = 72/8 = 9

المثال الثالث: ما قيمة المتوسط الحسابي للأعداد الآتية: 3، 7، 5، 13، 20، 23، 39، 23، 40، 23، 14، 12، 56، 23، 29؟^[٥]
- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع هذه الأعداد، كالآتي: 3 7 5 13 20 23 39 23 40 23 12 14 56 23 29= 330.
  - عددها هو 15، والمتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي= 330/15= 22.

المثال الرابع:: ما قيمة المتوسط الحسابي للأعداد الآتية: 3، −7، 5، 13، −2 ؟^[٥]
- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع هذه الأعداد، كالآتي: 3−7 5 13−2= 12
  - عدد هذه الأرقام هو 5، والمتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي= 12/5 = 2.4.

المثال الخامس: إذا حصل أحمد على العلامات الآتية في نهاية فصله الدراسي، جد معدله أو المتوسط الحسابي لعلاماته.^[٦]

المادة	العلامة
الرياضيات	51%
العلوم	70%
اللغة الإنجليزية	62%
الجغرافيا	39%
التاريخ	81%
الاقتصاد	57%

- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع هذه الأعداد، كالآتي: 51 70 62 39 81 57 = 360.
  - عدد هذه الأعداد هو 6، والمتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي= 360/6 = 60%.

المثال السادس: إذا كان عدد صفحات أحد الكتب هو 12 صفحة، وكان عدد كلمات كل صفحة على النحو الآتي: 271، 354، 296، 301، 333، 326، 285، 298، 327، 316، 287، 314، جد المتوسط الحسابي لعدد كلمات هذه الكتاب.^[٦]
- الحل: لحساب المتوسط الحسابي يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - حساب مجموع جميع هذه الأعداد، كالآتي: 271 354 296 301 333 326 285 298 327 316 287 314 = 3,708.
  - عدد الصفحات هو 12، والمتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها: المتوسط الحسابي= 3,708/12 = 309 كلمة.

المثال السابع: إذا كان المتوسط الحسابي لخمسة عشر عدداً هو 12، وتمت إضافة عدد إليها وحساب المتوسط الحسابي لها مرة أخرى ليصبح 13، فما هو العدد الذي تمت إضافته؟^[٦]
- الحل:
- المتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، وعليه:
  - نفترض أن مجموع الأعداد قبل إضافة العدد (س) هو (م)، وعليه المتوسط الحسابي قبل إضافة العدد (س)= م/15 = 12، ومنه: مجموع الأعداد = 180.
  - المتوسط الحسابي بعد إضافة العدد (س)=(م س)/16 = (180 س)/16= 13، وبحل المعادلة ينتج أن: 13×16= 180 س، ومنه: 208= 180 س، ومنه: س= 28؛ أي أن العدد الذي تمت إضافته هو 28.

المثال الثامن: إذا كان المتوسط الحسابي لعلامات 29 طالباً في مادة العلوم هو 56%، ثم تقدم عليٌّ لأداء الامتحان بعد أن تغيب عنه في المرة الأولى بسبب مرضه وحصل على نتيجة 71%، جد المتوسط الحسابي لعلامات الطلاب في مادة العلوم بعد احتساب علامة عليّ؟^[٦]
- الحل:
- المتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، وعليه: مجموع علامات الطلاب/29= 56، ومنه مجموع علامات الطلاب دون علامة علي = 1,624.
- مجموع علامات الطلاب علامة علي= 1,624 71= 1,695‬.
- المتوسط الحسابي لجميع علامات الطلاب مع علي = 1,695‬/30= 56.5%.

المثال التاسع: إذا حصلت فاطمة على علامتي 75، 71 في مادتي الرياضيات والعلوم، جد العلامة التي يجب عليها تحصيلها في اللغة الإنجليزية حتى تتمكن من الحصول على معدل 80 في المواد الثلاث في النهاية.^[٧]
- الحل:
- نفترض أن علامة اللغة الإنجليزية هي (س)، وعليه المتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، ومنه: (71 75 س)/3 = 80، ومنه: 146 س = 240، ومنه: س= 94؛ أي على فاطمة الحصول على علامة 94 في اللغة الإنجليزية للحصول على النتيجة التي تريد.

المثال العاشر: إذا كان هناك تسعة أشخاص في أحد المصاعد وكان المتوسط الحسابي لكتلتهم 71كغ، إذا توقف المصعد ودخل إليه شخصان آخران متوسط كتلتهم هو 80كغ، جد المتوسط الحسابي لكتلة جميع الأشخاص في المصعد.^[٧]
- الحل:
- المتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، ومنه:
  - مجموع كتلة الأشخاص التسعة/9 = 71، ومنه: مجموع كتلة الأشخاص التسعة= 639كغ.
  - مجموع كتلة الشخصين الأخيرين/2 = 80، ومنه: مجموع كتلة الشخصين الأخيرين= 160كغ.
  - المتوسط الحسابي لكتلة جميع الأشخاص في المصعد = (160 639) / 11 = 72.6 كغ.

المثال الحادي عشر: إذا كان المتوسط الحسابي لعددين هو 10، وكان أحدهما يزيد عن الآخر بمقدار 6، جد قيمة العددين.^[٦]
- الحل:
- نفترض أن العدد الأول هو س، والعدد الآخر هو (س-6)، والمتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، ومنه: (س (س-6))/2 = 10، ومنه: 20=2س-6، ومنه: س=13، وهي قيمة العدد الأول، أما قيمة العدد الثاني فهي: س-6 = 13-6 = 7.

المثال الثاني عشر: إذا كانت المسافة التي يمشيها أحمد يومياً هي على النحو الآتي:^[٧]

اليوم	المسافة
الأحد	1كم.
الإثنين	1.5كم.
الثلاثاء	1كم.
الأربعاء	2كم.
الخميس	1.5كم.

جد المتوسط الحسابي للمسافة التي يقطعها أحمد يومياً خلال الأيام الخمس السابقة.

- الحل:
- المتوسط الحسابي يساوي ناتج قسمة مجموع الأعداد على عددها، ومنه: المتوسط الحسابي= (1 1.5 1 2 1.5)/5 = 7/5 = 1.4كم.

المراجع

↑ “Measures of Central Tendency”, statistics.laerd.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب Anne Marie Helmenstine (24-9-2018), “How to Calculate the Mean or Average”، www.thoughtco.com, Retrieved 22-4-2019. Edited.
↑ “Average”, gcseguide.co.uk, Retrieved 17-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب Lisa Maloney (12-11-2018), “How to Find an Average”، sciencing.com, Retrieved 22-4-2019. Edited.
^ ^أ ^ب “How to Find the Mean”, www.mathsisfun.com, Retrieved 22-4-2019. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث ^ج “How to Calculate the Mean”, www.mathopolis.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Mean”, www.varsitytutors.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.