بحث عن كثيرات الحدود

بواسطةفوري

تعريف كثيرات الحدود

يمكن تعريف كثيرات الحدود (بالإنجليزية: Polynomials) على أنّها عبارة عن تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات، ومعاملات ( ثوابت)، بالإضافة إلى عمليات الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة فقط، وهي تعد جزءاً مهماً من علم الرياضيات والجبر؛ فهي تُستخدم في كل المجالات الرياضية تقريباً للتعبير عن الأعداد كنتيجة للعمليات الرياضية، ومن الأمثلة على كثيرات الحدود: 3[١]س2-2س 5، -7. س 3، ومن التعابير التي لا تعد من كثيرات الحدود: 6س-2 2س-3، جتا(س2-1)، وهي التعابير التي تضم عمليات أخرى غير الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة.[٢]

لمزيد من المعلومات حول تحليل كثيرات الحدود يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل كثيرات الحدود.

أجزاء كثيرات الحدود

تتكوّن كثيرات الحدود من الأجزاء الآتية:

  • أحاديات الحدود أو الحدود: (بالإنجليزية: Monomials) هو عبارة عن تعبير يتكوّن من متغيرات وثوابت، أو ثوابت لوحدها، لكنه لا يحتوي على عمليات جمع أو طرح، وأحاديات الحدود هي الأجزاء الأساسية المكوّنة لكثيرات الحدود، ويُطلق عليها اسم الحد (بالإنجليزية: Term) إذا كانت جزءاً من كثير حدود أكبر، ويوضّح المثال الآتي طريقة تحديد عدد الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود:[٢]
كثير الحدود عدد الحدود المكونة له
س 3 يتكون من حدين هما: س و3
3س2-2س 5 يتكون من ثلاثة حدود هي: 3س2، و-2س، و5
-7 يتكون من حد واحد هو -7
3أ3ب2-3ب2 2أ-1 يتكون من أربعة حدود هي: 3أ3ب2 ، -3ب2 ، 2أ ، -1
1/2س2-2/3س 3/4 يتكون من ثلاثة حدود هي: 1/2س2، -2/3س ، 3/4

  • معامل الحد: (بالإنجليزية: Term Coefficient) هو العنصر الثابت وغير المتغير لذلك الحد، ويوضّح المثال الآتي طريقة تعيين المعاملات لكل حد من الحدود:[٢]
الحد المعامل
س 1
3س2 3
2أ2ب3 2
ملاحظة: في حال عدم وجود متغيرات في الحد فإن المعامل يكون هو الحد نفسه.

تصنيف كثيرات الحدود

يمكن تصنيف كثيرات الحدود بطريقتين مختلفتين هما:

  • عدد الحدود: حيث ينقسم كثير الحدود بالنسبة إلى عدد الحدود إلى الأقسام الآتية:[٣]
    • أحادي الحد، وهو يضم حداً واحداً فقط؛ مثل: 8س.
    • ثنائي الحدود، وهو يضم حدين فقط؛ مثل: 3س-4.
    • ثلاثي الحدود، وهو يضم ثلاثة حدود فقط؛ مثل: 4س2 5س-2.
    • إذا احتوى كثير الحدود على عدد أكثر من ثلاثة حدود، فهو يُسمَّى بعدد الحدود التي يحتوي عليها.[١]
  • الدرجة: تُحدّد درجة الحد الواحد من الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود عن طريق النظر إلى قيمة أس المتغير الموجود فيه، أو مجموع قيم أسس المتغيرات المكوّنة له في حال احتوائه على أكثر من متغير واحد، لتساوي درجة كثير الحدود درجة الحد الأعلى دائماً من الحدود المكوّنة له، وتوضح الأمثلة الآتية طريقة تحديد درجة كثير الحدود:[١]
    • المثال الأول: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 5س4 3س3 9س2:
      • الحل: درجة الحد 5س4 هي4، ودرجة الحد 3س3 هي 3، ودرجة الحد 9س2 هي 2، وعليه يعد الحد 5س4 الحد ذا الدرجة الأعلى هنا؛ وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الرابعة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
    • المثال الثاني: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 6ص3 3س ص 9.
      • الحل: درجة الحد 6ص3 هي 3، ودرجة الحد 3س ص هي 2، ودرجة الحد 9 هي صفر، وعليه يعد الحد 6ص3 الحد ذا الدرجة الأعلى هنا، وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الثالثة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.

يجدر بالذكر هنا أن كثير الحدود ذا الدرجة الصفرية يُعرف باسم الثابت، ولأنّ قيمة الثابت لا تتغير فهو يستخدم لوصف الكميات غير المتغيرة، ويُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الأولى بكثير الحدود الخطي، وهو يُستخدم لوصف الكميات التي تتغير بمعدل ثابت، ويُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالبعد الواحد مثل الطول، كما يُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الثانية باسم كثير الحدود التربيعي، وهو يستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالأبعاد الثنائية؛ مثل المساحة، ويُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الثالثة بكثير الحدود التكعيبي، ويُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية ثلاثية الأبعاد مثل الحجم.[٢]

الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود

تكتب كثيرات الحدود بالطريقة القياسية عن طريق كتابة الحدود ذات الدرجة الأعلى أولاً، ثم ترتيبها تنازلياً حتى الوصول إلى الحد ذي الدرجة الأقل، ويوضّح المثال الآتي طريقة كتابة كثيرات الحدود بالطريقة القياسية:[٤]

  • اكتب كثير الحدود الآتي بالشكل القياسي: 3س2-7 4س3 س6.
    • الحل: الحد ذو الدرجة الأعلى هو س6، لذلك فهو يُكتب أولاً، ثمّ 4س3، ثمّ 3س2، ثمّ الثابت، وبالتالي يكتب كثير الحدود هذا بالشكل الآتي: س6 4س3 3س2-7.

العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

جمع وطرح كثيرات الحدود

تُجمع كثيرات الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، وهي الحدود التي تمتلك المتغيرات والأسس ذاتها، ومن الممكن لمعاملاتها أن تختلف عن بعضها؛ فمثلاً تعد س، و7س، و-2س حدوداً متشابهة إلا أنّها تمتلك معاملات مختلفة، بينما تعد الحدود الآتية حدوداً مختلفة: 2س، 2س ص، 2ص، 2س2، 4 كما تُطرح كثيرات الحدود أيضاً بالطريقة نفسها.[٢]

  • المثال الأول: احسب ناتج جمع 2س2 6س 5 و 3س2-2س-1.[٥]
    • الحل:
      • أولاً: كتابة المسألة بالشكل الآتي: 2س2 6س 5 3س2-2س-1.
      • ثانياً: ترتيب المسألة بوضع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض: (2س2 3س2) ( 6س-2س) (5-1).
      • ثالثاً: جمع الحدود المتشابهة لينتج ما يلي: (2 3)س2 (6-2)س (5-1)=5س2 4س 4.
  • المثال الثاني: جد ناتج طرح: (5ص² 2س ص -9) – (2ص² 2س ص – 3).<[٥]
    • الحل:
      • تُطرح كثيرات الحدود عن طريق إزالة الأقواس أولاً، ثمّ توزيع إشارة الطرح على القوس الذي يليها لتغيّر كل إشارة فيه، ثمّ جمع الحدود المتشابهة، وذلك كما يلي.
      • 5ص² 2س ص -9 -2ص² -2س ص 3 = 5ص²-2ص² 2س ص-2 س ص -9 3 = (5-2)ص² 0-6 = 3ص²-6.

ضرب كثيرات الحدود

يمكن ضرب كثيرات الحدود عن طريق توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، ثمّ جمع الحدود المتشابهة إن أمكن ذلك، وعند ضرب الحدين ببعضهما البعض؛ فيجب أولاً ضرب المعاملات ببعضها ثمّ جمع الأسس، ويوضح المثال الآتي طريقة ضرب كثيرات الحدود ببعضها:[٦]

  • جد ناتج (3س-4ص)×(5س-2ص).
    • توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، وهنا يجب توزيع: 3س، و4ص، ومنه ينتج أن: 15س2-6س ص-20س ص 8ص2.
    • جمع الحدود المتشابهة مع بعضها: 15س2-26س ص 8ص2.

أمثلة متنوعة حول كثيرات الحدود

  • المثال الأول: جد ناتج ما يلي:[٦][٧]
    • (3س 2)×(4س²-7س 5).
    • (4س-5)×(2س² 3س-6).
    • (3س²-6س س ص) (2س³-5س²-3ص) (7س 8ص).
    • (2س²-4ص 7س ص-6ص²) – (-3س² 5ص-4س ص ص²).
  • الحل:
    • (3س 2)×(4س²-7س 5) = 12س³-21س² 15س 8س²-14س 10 = 12س³-21س² 8س² 15س-14س 10 = 12س³- 13س² س 10.
    • (4س-5)×(2س² 3س-6) = 8س³ 12س²-24س-10س²-15س 30 = 8س³ 12س²-10س²-24س-15س 30 = 8س³ 2س² -39س 30.
    • (3س²-6س س ص) (2س³-5س²-3ص) (7س 8ص) = 2س³ 3س²-5س² -6س 7س س ص 8ص -3ص = 2س³ -2س² س س ص 5ص.
    • (2س²-4ص 7س ص-6ص²) – (-3س² 5ص-4س ص ص²) = 2س² 3س² -4ص-5ص 7س ص 4س ص -6ص²-ص² = 5س² -9ص 11س ص -7ص².

  • المثال الثاني: إذا كانت أ = 4س4 -3س³ س²-5س 11، ب = -3س4 6س³-8س² 4س-3، جد ناتج أ-2×ب.[٧]
    • الحل:
    • حساب 2×ب أولاً = 2×(-3س4 6س³-8س² 4س-3) = -6س4 12س³-16س² 8س-6.
    • حساب أ-2ب = 4س4 -3س³ س²-5س 11 – (-6س4 12س³-16س² 8س-6) = 4س4 6س4-3س³-12س³ س² 16س²-5س-8س 11 6 = 10س4-15س³ 17س²-13س 17

  • المثال الثالث: جد درجة كل كثير حدود من الآتي:
    • 7س² 3س-2س4 8س6-7.
    • 6س³ 3س ص 9.
    • 4س² 3س 9.
    • 3س4-4س³ص 6س²ص³ 7ص4 2.[٨]
  • الحل:
    • 7س² 3س-2س4 8س6-7.
      • 7س²، درجته هي (2)، 3س درجته هي (1)، -2س4 درجته هي(4)، 8س6 درجته هي (6)، -7 درجته هي (0).
      • درجة كثير الحدود هذا هي (6)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة السادسة.
    • 6س³ 3س ص 9.
      • 6س³ درجته هي (3)، 3 س ص درجته هي (2)، 9 درجته هي (0).
      • درجة كثير الحدود هذا هي (3)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثالثة.
    • 4س² 3س 9.
      • 4س² درجته هي (2)، 3 س درجته هي (1)، 9 درجته هي (0).
      • درجة كثير الحدود هذا هي (2)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثانية.
    • 3س4-4س³ص 6س²ص³ 7ص4 2.
      • 3س4 درجته هي (4)، 4س³ص درجته هي (4)، 6س²ص³ درجته هي (5)، -7ص4 درجته هي (4)، 2 درجته هي (0).
      • درجة كثير الحدود هذا هي (5)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الخامسة.

  • المثال الرابع: كم عدد الحدود المكوّنة لكثير الحدود الآتي: 3س5-2س³-4س 7.[٨]
  • الحل: الحدود المكونة له هي:
    • 3س5، -2س³، -4س، 7، وعددها هو (4).

  • المثال الخامس: اكتب كثير الحدود الآتي بالصورة القياسية: 7س²-4س5 12 3س³-2س 2س4.
  • الحل: -4س5 2س4 3س³ 7س²-2س 12.

  • المثال السادس: جد قيمة أ، ب، إذا كان س² أس 24 = (س-4)(س-ب).[٩]
  • الحل:
    • حساب حاصل ضرب (س-4)(س-ب) = س²-ب س-4س 4ب = س² أس 24، وعليه:
    • أ = -ب-4 المعادلة الأولى، و 4ب = 24 المعادلة الثانية، ومن المعادلة الثانية: ب =6، وبتعويض قيمتها في المعادلة الأولى ينتج أن: أ= -6-4 = -10.

المراجع

  1. ^ أ ب ت Brenda Meery، Jen Kershaw (11-8-2016)، “Polynomials”، www.ck12.org، Retrieved 22-11-2017. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج Andy Hayes، Mehul Arora، Hobart Pao، and others ، “Polynomials”، www.brilliant.org، Retrieved 21-11-2017. Edited.
  3. ↑ “Polynomials “، www.wou.edu، Retrieved 22-11-2017. Edited.
  4. ↑ “Polynomials”، www.mathsisfun.com، Retrieved 21-11-2017. Edited.
  5. ^ أ ب “Adding and Subtracting Polynomials”، www.mathsisfun.com، Retrieved 21-11-2017. Edited.
  6. ^ أ ب “Here are the steps required for Multiplying Polynomials:”, www.mesacc.edu, Retrieved 13-5-2020. Edited.
  7. ^ أ ب “Adding and Subtracting Polynomials”, www.mathopolis.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.
  8. ^ أ ب “Polynomials “, www.mathopolis.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.
  9. ↑ ” Polynomials”, www.varsitytutors.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.