قانون المساحة الجانبية للأسطوانة

قانون المساحة الجانبية للإسطوانة

يمكن تعريف الأسطوانة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد مغلق، ويتكون من قاعدتين دائريتين، ومستطيل مُلتف حول القاعدة الدائرية، ويقع بين القاعدتين، وتجدر الإشارة إلى أن قاعدتي الأسطوانة متطابقتان، ومتوازيتان،^[١] وتعرف المساحة الجانبية للأسطوانة (بالإنجليزية: Cylinder Lateral Surface Area) بأنها مساحة جميع الوجوه باستثناء القاعدتين العلوية، والسفلية، أي أن المساحة الجانبية للأسطوانة هي مساحة السطح الذي يربط القاعدتين ببعضهما،^[٢] ولفهم المساحة الجانبية يمكن تخيّل علبة لحفظ الخضراوات أسطوانية الشكل، وفارغة من الداخل وعند إزالة القطعتين العلوية، والسفلية منها، وإزالة الملصق المحيط بها فإنه يمكن ملاحظة أن شكل هذا الملصق هو عبارة عن مستطيل، وهو يمثّل المساحة الجانبية للأسطوانة،^[٣] وبالتالي فإن المساحة الجانبية تساوي مساحة هذا المستطيل، ومساحة المستطيل كما هو معروف تساوي الطول×العرض، حيث:^[١]

• عرض المستطيل: يمثل محيط القاعدة دائرية الشكل، ويساوي 2×نق×π؛ حيث نق: هو نصف قطر الأسطوانة.
• طول المستطيل: يمثل الارتفاع، وهو المسافة العمودية بين قاعدتي الاسطوانة، ويرمز له بالرمز ع.
• وبالتالي فإن: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع حيث:
  • ع: ارتفاع الأسطوانة.
  • نق: نف قطر الأسطوانة.
  • π : الثابت باي، وهو ثابت عددي قيمته 3.14.

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة الإسطوانة.

أمثلة متنوعة حول المساحة الجانبية للإسطوانة

• المثال الأول: ما هي المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 7 سم، وارتفاعها 10 سم؟^[٤]
  • الحل: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
  • الخطوة الأولى: حساب محيط القاعدة كما يلي:
    • محيط القاعدة = 2×π×نق = 2×π×7، ومنه:
    • محيط القاعدة = π14 سم.
  • الخطوة الثانية: حساب المساحة عن طريق ضرب محيط القاعدة في الارتفاع كما يلي:
    • المساحة الجانبية = π×14×10، ومنه:
    • المساحة الجانبية = π140 سم .

• المثال الثاني: إذا كانت المساحة الجانبية لأسطوانة 500سم²، وارتفاعها 10سم، فما هو نصف قطر قاعدتها؟^[١]
  • الحل: بتعويض القيمة في قانون: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع، ينتج أن:
    • 500 = 2×3.14×نق×10، ومنه: 500 = 62.8 × نق، ومنه: نق = 500 / 62.8= 7.96 سم.

• المثال الثالث: ما هي المساحة الجانبية لأسطوانة نصف قطر قاعدتها 3 سم، وارتفاعها 9 سم؟^[٥]
  • الحل: المساحة الجانبية للأسطوانة = 2×π×نق×ع، ومنه: المساحة الجانبية = 2×π×3×9، ومنه:
  • المساحة الجانبية = π54، أو:
  • المساحة الجانبية = 54×3.14 = 169.56 سم². (حيث قيمة π تساوي 3.14)

• المثال الرابع: أسطوانة ارتفاعها 41 سم، ومساحتها الجانبية π512.5 سم²، فما هي مساحة قاعدتيها الدائريتين؟^[٤]
  • الحل:
  • بما أن القاعدة دائرية الشكل فإن مساحة القاعدة = π×نق²، ولحسابها يجب إيجاد قيمة نصف القطر، وهي كما يلي:
  • حساب قيمة نصف القطر من خلال المساحة الجانبية، وذلك كما يلي:
    • المساحة الجانبية = محيط الدائرة × الارتفاع= 2×π×نق×ع، ومنه:
    • π 512.5 تساوي 2×π×نق×41، وبقسمة الطرفين على 82 π؛ فإن نق = 6.25 سم.
  • بعد حساب نصف القطر يمكن حساب مساحة القاعدة كما يلي:
    • مساحة القاعدة =π×نق² = 3.14×6.25² = 122.66 سم².
    • بما أن الأسطوانة تحتوي على قاعدتين فإن مساحة القاعدتين = 2×122.66 = 245.32 سم².

• المثال الخامس: علبة صابون أسطوانية الشكل قطر غطائها هو 5 سم، وارتفاعها 12 سم يراد وضع ملصق عليها بحيث يغطي كامل العلبة الأسطوانية باستثناء القاعدتين، فإذا كانت تكلفة هذا الملصق هي 0.00125 دولار لكل سم²، فما هي تكلفة هذا الملصق؟^[٤]
  • الحل: يراد تغليف العلبة الأسطوانية كاملة باستثناء القاعدتين، وهذا يمثل المساحة الجانبية، وبالتالي فإن التكلفة = المساحة الجانبية للأسطوانة × تكلفة السنتيمتر المربع الواحد، وعليه:
  • يمكن إيجاد المساحة الجانبية كما يلي:
    • المساحة الجانبية = 2×π×نق×ع = 2×3.14×5×12 = 376.8 سم²؛ (وذلك لأن القطر = 2×نق)
  • بعد إيجاد المساحة الجانبية يمكن إيجاد التكلفة كما يأتي:
    • التكلفة = 376.8 سم² × 0.00125 دولار/ سم² = 0.471 دولار.

• المثال السادس: أسطوانة مساحة كل قاعدة من قاعدتيها π16 سم²، وارتفاعها 7سم، فما هي مساحتها الجانبية؟^[٤]
  • الحل: المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع
  • الخطوة الأولى: هي حساب نصف قطر القاعدة، وذلك من خلال مساحة القاعدة الدائرية كما يلي:
    • مساحة القاعدة = π×نق²، ومنه:
    • π ×16 تساوي π × نق²، ومنه: نق = 4 سم.
  • الخطوة الثانية: بعد حساب نصف القطر يمكن إيجاد محيط القاعدة الدائرية كما يلي:
    • محيط القاعدة = 2×π×نق = 2×3.14×4، ومنه:
    • محيط القاعدة = 25.12 سم.
  • الخطوة الثالثة: حساب المساحة الجانبية كما يلي:
    • المساحة الجانبية = 3.14×8×7= 175.84 سم².

• المثال السابع: أسطوانة مساحتها الجانبية 4400 سم²، ومحيط قاعدتها 110سم، فما هو ارتفاعها، وقطرها؟^[٦]
  • الحل: يمكن إيجاد القطر من محيط القاعدة كما يلي:
    • المحيط = 2×π×نق، ومنه:
    • 110 = 2 × (22/7) × نق، ومنه: نق = 17.5 سم.
    • القطر = 2×نق، ويساوي 2×17.5 = 35سم.
  • حياب الارتفاع من قانون المساحة الجانبية كما يلي:
    • المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع، ومنه:
    • 4400 = 110×الارتفاع، ومنه: الارتفاع = 4400 / 110= 40سم.

• المثال الثامن: منزل يرتكز على ركائز أسطوانية الشكل عددها اثنتا عشرة ركيزة، ونصف قطرها 50سم، وارتفاعها 3.5م، فما هي تكلفة طلاء المساحة الجانبية لهذه الركائز إذا كانت تكلفة المتر المربع الواحد 20 دولار؟^[٦]
  • الحل: التكلفة الكلية لطلاء الركائز = عدد الركائز×المساحة الجانبية للركيزة الواحدة×تكلفة المتر المربع الواحد لطلاء الركيزة:
  • أولاً حساب المساحة الجانبية للركيزة = 2×π×نق×ع = 2×(22/7)×0.5×3.5؛ حيث (نصف القطر = 50/100 سم = 0.5م، وذلك للتحويل من وحدة سم إلى وحدة م)، ومنه: المساحة الجانبية = 11م².
    • المساحة الجانبية لجميع الركائز الأسطوانية = 12×11 = 132م².
  • التكلفة الكلية لطلاء الركائز = 132×20 = 2,640 دولار.

• المثال التاسع: إذا كان حجم أسطوانة 308 سم³، وارتفاعها 8سم فجد أ) نصف قطرها (نق) و ب) مساحتها الجانبية؟^[٧]
  • الحل:
  • حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة× الارتفاع= π×نق²×ع، ومنه يمكن إيجاد نصف القطر كما يلي:
    • 308 = π×نق²×8، وبقسمة الطرفين على (8π) ينتج أن: نق²= 12.26، ومنه نصف القطر= 3.5سم.
  • مساحة الأسطوانة الجانبية = 2×π×نق×ع، ويمكن إيجادها كما يلي:
    • المساحة الجانبية = 2×(22/7)×3.5×8= 176سم².

لمزيد من المعلومات حول مساحة وحجم الأسطوانة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة وحجم الأسطوانة.

فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها

للتعرف على هذا الشكل الهندسي وكيفية حساب مساحته وحجمه شاهد الفيديو الآتي:^[٨]

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} “Cylinder”, www.toppr.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
2. ↑ “How To Find The Surface Area Of A Cylinder”, tutors.com, Retrieved 6-4-2020. Edited.
3. ↑ “Finding the Volume and Surface Area of a Cylinder”, courses.lumenlearning.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث} “How to find the surface area of a cylinder”, www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
5. ↑ “Surface Area of a Cylinder”, www.varsitytutors.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “LATERAL SURFACE AREA”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 7-4-2020. Edited.
7. ↑ “Right Circular Cylinder”, www.math-only-math.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
8. ↑ ‘فيديو عن مساحة الأسطوانة وحجمها.