مفهوم الطرح في الرياضيات

بواسطةفوري

نظرة عامة حول عملية الطرح

يمكن تعريف عملية الطرح (بالإنجليزية: Subtract) بأنها عملية رياضية يمكن من خلال التعبير عن عملية إزالة عدد معيّن من الأشياء على أرض الواقع من مجموعة تضم عدداً أكبر منها، ممّا يؤدي بالتالي إلى الحصول على عدد أقل من الأشياء في تلك المجموعة،[١] فمثلاً يمكن التعبير عن عملية أكل ثلاث برتقالات من أصل خمس برتقالات موجودة ليتبقى برتقالتان فقط عن طريق عملية الطرح على شكل: 5 برتقالات – 3 برتقالات = 2 (برتقالتان)،[٢] ويمكن تمثيل عملية الضرب باستخدام العلاقة الآتية:

  • س – ص = ل، حيث:
    • س: هو العدد المطروح منه.
    • ص: هو العدد المطروح.
    • ل: هو ناتج عملية الطرح.
    • (-): هو رمز عملية الطرح، لتُقرأ العبارة السابقة على النحو الآتي: العدد س ناقص العدد ص يساوي العدد ل.

وتجدر الإشارة هنا إلى الأمور الآتية المهمة المتعلقة بعملية الطرح:[٣]

  • عملية الطرح هي عملية عكسية لعملية الجمع.
  • عند طرح عدد من عدد آخر أصغر منه فإن هذا يؤدي إلى الحصول على نتيجة سالبة الإشارة؛ مثل: 2 – 3 = -1؛ حيث تتم العملية بحساب الفرق بين العددين، ثم وضع الإشارة السالبة.
  • عند طرح عددين متماثلين من بعضهما فإن هذا يؤدي إلى الحصول على العدد صفر في نتيجة المسألة؛ مثل: 19-19=0.[٤]
  • إن أي عملية جمع يمكن تحويلها إلى عملية طرح، والمثال الآتي يوضح ذلك:[٢]
    • عملية الجمع 3 2 = 5 يمكن أن تتحول إلى عملية طرح بطريقتين هما: 5-3=2، أو 5-2=3؛ حيث أصبح ناتج عملية الجمع هو المطروح منه، ومثّل كل من العددين الآخرين المطروح والناتج.
  • عملية الطرح لا تعتبر عملية تبديلية، وذلك على عكس عملية الجمع، والمثالان الآتيان يوضحان ذلك:[٢]
    • 3 2=5، و 3 2=5، وهذا يعني أن الجمع عملية تبديلية، وذلك لأن النتيجة كانت نفسها في الحالتين؛ أي أن نتيجة المسألة لم تختلف باختلاف ترتيب الأعداد.
    • 3-5=2، ولكنّ 3-5=-2، وهذا يعني أن الطرح عملية غير تبديلية؛ لأن النتيجة اختلفت باختلاف ترتيب الأعداد.

ولتوضيح مفهوم الطرح بشكل أكبر يمكن الاستعانة بالمثالين الآتيين:

  • صندوق يحتوي على 5 تفاحات، وعند أخذ حبتين من التفاح يتبقى فيه ثلاث حبات من التفاح، وعله يمكن تمثيل هذه العملية باستخدام الطرح كما يلي: 5-2= 3.[٥]
  • كان في الحافلة 25 شخصاً، وعند توقفها نزل منها ثلاثة أشخاص، وعليه يمكن التعبير عن عدد الأشخاص الذين تبقوا في الحافلة باستخدام عملية الطرح كما يلي: عدد الأشخاص الذين تبقوا في الحافلة = 25 – 3= 22 شخص.[٦]

لمزيد من المعلومات حول خصائص عملية الطرح يمكنك قراءة المقال الآتي: ماهي خصائص الجمع والطرح.

لمزيد من المعلومات حول عملية الجمع يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الجمع .

طرق إجراء عملية الطرح

يمكن إجراء عملية الطرح بعدة طرق، ومنها:[٢]

  • الرسم وتمثيل المسألة: وذلك باستخدام الرسم لتمثيل المسألة، وذلك كما يلي:
    • يمكن إجراء عملية طرح 5 – 3 كما يلي:
      • رسم 5 دوائر OOOOO.
      • أخذ ثلاث دوائر من الدوائر السابقة ليتبقى منها دائرتان فقط OO.
      • وبالتالي فإن ناتج طرح العدد 3 من 5 يساوي 2، وذلك بعدّ الدوائر المتبقية.

  • خط الأعداد: استخدام خط الأعداد لإجراء عملية الطرح، وذلك كما يلي:
    • يمكن إجراء عملية طرح 5 – 3 باستخدام خط الأعداد كما يلي:
      • الوقوف عند العدد المطروح منه على خط الأعداد، وهو في هذه الحالة العدد 5.
      • التحرك ثلاث خطوات إلى اليسار وهي قيمة المطروح، لنصل في هذه الحالة إلى العدد 2، وهو ناتج المسألة.
      • وبالتالي فإن عملية طرح 5-3=2، وهو العدد الذي تم الوصول إليه في الخطوة السابقة.

  • طرح الأعداد الكبيرة: عند طرح أعداد تتكون من منزلتين أو أكثر فإن ذلك يتطلب القيام بالخطوات الآتية:
    • كتابة الأعداد بشكل عمودي فوق بعضها، وذلك بكتابة المطروح منه في الأعلى، والمطروح في الأسفل، مع مراعاة ترتيب المنازل فوق بعضها تماماً؛ أي كتابة الآحاد تحت الآحاد، والعشرات تحت العشرات، وهكذا حتى نهاية المنازل، ثم وضع خط أفقي أسفل العددين.
7 3
–

5 2
——-
    • بدء عملية الطرح من الأعداد المكتوبة على اليمين، وذلك بطرح منزلة الآحاد من منزلة الآحاد، ومنزلة العشرات من منزلة العشرت؛ أي طرح كل عدد من الطروح من المنزلة التي تقابله في المطروح منه، وكابة النتيجة تحتهما مباشرة تحت الخط الأفقي، ففي هذا المثال يجب طرح العدد 5 من منزلة الآحاد من العدد 7، وكتابة النتيجة وهي (2) تحتهما مباشرة، وطرح العدد 2 من العدد 3 وكتابة النتيجة وهي (1) تحتهما مباشرة، وذلك كما يلي:
7 3
–

5 2
——-
2 1
    • في بعض الأحيان وعند طرح عدد يتكون من أكثر من منزلة عددية من عدد آخر يمكن ملاحظة أن المطروح يكون أكبر من المطروح منه في القيمة، ولحل ذلك يجب الاستلاف من العدد الأقرب له من ناحية اليسار وغير المساوي للصفر، وإضافة 10 إلى العدد المستلِف، وطرح 1 من العدد الذي تم الاستلاف منه، وذلك كما يلي:[٢]
7 5
–

9 2
——-
    • ففي هذه المسألة يمكن ملاحظة أن العدد 7 في منزلة الآحاد أقل من العدد 9، وبالتالي لحل المسألة يتم استلاف عدد واحد من العدد (5) لتصبح قيمة العدد (7) تساوي (17)، وتصبح قيمة العدد (5) تساوي (4)، ثم إكمال الحل بنفس الطريقة السابقة: (17-9) يساوي (8) وكتابة الناتج تحتهما مباشرة، و(4-2) يساوي (2)، وكتابة الناتج تحتهما مباشرة، وبالتالي تصبح النتيجة 28، وذلك كما يلي:
7 5
–

9 2
——-
8 2

لمزيد من المعلومات حول كيفية تدريس الطرح يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف أعلم طفلي الجمع والطرح.

طرح الأعداد المختلفة في الإشارة

تعتبر مراعاة الإشارات عند إجراء عملية الطرح من الأمور المهمة؛ حيث يجب مراعاة إشارة كل من المطروح، والمطروح منه، حيث يؤدي وجود إشارتي الطرح بجانب بعضهما (- -) إلى تحويل هذه الإشارات إلى إشارة جمع، وذلك كما في الحالات الآتية:

  • إذا كانت إشارة المطروح سالبة وإشارة المطروح منه موجبة، فإن ذلك يؤدي إلى تحويل المسألة إلى عملية جمع؛ وذلك كما يلي:[٧]
    • 7 – (-3)= ؟، تصبح 7 3= 10.
  • إذا كانت إشارة المطروح والمطروح منه متماثلة، فإن حل المسألة يكون بطرح العدد الأصغر من العدد الأكبر، ووضع إشارتهما في النتيجة، وذلك كما يلي:
    • (-50) – (-20)=؟، تصبح -50 20 = -30.
    • (-20) – (-30)=؟، تصبح -20 30 = 10.
    • 20 – 10 = 10.
  • إذا كانت إشارة المطروح موجبة وإشارة المطروح منه سالبة، فيجب حينها جمع العددين معاً، ووضع الإشارة السالبة في النتيجة، وذلك كما يلي:
    • (-50) – (20)= -70.

طرح الكسور

يشترط لإجراء عملية طرح الكسور أن تكون المقامات متساوية، ويمكن توضيح طريقة طرح الكسور كما يلي:[٨]

  • إذا كانت المقامات متساوية: فإنه يتم إيجاد الفرق بين بسط كل من الكسرين، ووضع المقام كما هو في النتيجة، والمثال الآتي يوضح ذلك:
    • مثال: (5/4) – (5/2) = (4-2)/ 5 = 5/2، يُلاحظ من المثال أنه تم إيجاد الفرق بين العددين في البسط، وإبقاء المقام كما هو.
  • إذا كانت المقامات غير متساوية: فإنه يجب توحيد المقامات لتصبح متساوية، ويتم ذلك عن طريق ضرب كل من البسط، والمقام في كل كسر بعدد معيّن، بحيث تصبح قيمة المقام في كل من الكسرين متساوية، وذلك يتم عادة عن طريق البحث عن المضاعف المشترك الأصغر بين العددين في كل مقام، والمثال الآتي يوضح ذلك:
    • 7/6 – 3/2 =؟، في هذا المثال إن المقامان (7، 3) غير متساويين، وبالتالي يجب التفكير في طريقة لجعلهما متساويين، وذلك عن طريق العثور على المشترك الأصغر بينهما، وهو في هذه الحالة العدد (21)؛ وعليه يجب في الكسر الأول (7/6) ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد (3)، (6×3)/(7×3) فيصبح الكسر (21/18)، وفي الكسر الثاني (3/2) يجب ضرب كل من البسط، والمقام بالعدد (7)، (2×7)/ (3×7) فيصبح الكسر (21/14).
    • بعد توحيد المقامات يمكن إجراء عملية الطرح كما في الحالة الأولى، وذلك كما يلي: 21/18 – 21/14 = (18-4) / 21 = 21/4.

لمزيد من المعلومات حول المضاعف المشترك الأصغر يمكنك قراءة المقال الآتي: طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

أمثلة متنوعة حول عملية الطرح

هناك العديد من الكلمات المفتاحية في السؤال التي يُستدل منها على حدوث عملية الطرح، ومنها: (كم العدد المتبقي؟)، أو (كم نحتاج إضافة إلى العدد الموجود؟)، أو (ما هو الفرق؟)، أو (تم أخذ)، أو أية كلمات أخرى تدل على أن العدد قل، أو نَقص.[٩]

  • المثال الأول: ما هو ناتج ما يأتي: أ) 17-8. ب) 8053-397. جـ) 4-5. د) 386-54. هـ) 94-78. و)3053-737. ز) 935-521. ي) 9/8-9/4. ع) 2/1-5/1.؟
    • أ) 17 – 8 = 9.[١٠]
    • ب) 8053 – 397 = 7656، وتم حل هذا المسألة عن طريق طرح كل منزلة عددية من المنزلة المقابلة لها مع الاستلاف من العدد الذي بجانبه في حال كان المطروح أكبر من المطروح منه، وذلك كما يلي:[١٠]
      • منزلة الآحاد : 3-7، وهذا يؤدي إلى نتيجة سالبة، وبالتالي يمكن للعدد 3 الاستلاف من العدد الذي بجانبه وهو العدد 5، ليصبح العدد 5 يساوي 4، ويصبح العدد 3 يساوي 13، وبالتالي 13-7= 6.
      • منزلة العشرات: 4-9، وهذا يؤدي إلى نتيجة سالبة، وبالتالي يجب للعدد 4 الاستلاف من العدد الذي بجانبه وهو العدد 0، إلا أن العدد صفر لا يمكنه إقراضه، وعليه يجب للعدد صفر الاستلاف من العدد 8 ليصبح العدد 8 يساوي 7، والعدد 0 يساوي 10، ثم يمكن للعدد 4 الاستلاف منه ليصبح العدد 10 يساوي 9، والعدد 4 يساوي 14، وبالتالي 14-9= 5.
      • منزلة المئات: 9-3=6.
      • منزلة الآلاف: 7 فقط.
      • وبالتالي تصبح النتيجة 7656.
    • جـ) 4 – 5 = -1، وذلك لأن المطروح (5) أكبر من المطروح منه (4)، ولا يوجد عدد بجانبه للاستلاف منه.[١١]
    • د) 386 – 54=؟، ويمكن بيان طريقة الحل على النحو الآتي:[١١]
      • منزلة الآحاد : 6-4 = 2.
      • منزلة العشرات: 8-5 = 3.
      • منزلة المئات: 3 فقط.
      • وبالتالي تصبح النتيجة 332.
    • هـ) 94 – 78= ؟، ويمكن بيان طريقة الحل على النحو الآتي:[١٢]
      • منزلة الآحاد: 4 – 9، وهذا لا يجوز ويؤدي إلى نتيجة سالبة، وبالتالي يمكن للعدد 4 الاستلاف من العدد الذي بجانبه وهو العدد 9، فيصبح العدد 9 يساوي 8، ويصبح العدد 4 يساوي 14، وبالتالي 14-8 = 6.
      • منزلة العشرات: 8-7 = 1.
      • وبالتالي تصبح النتيجة 16.
    • و) 3053-737 = 2316، ويمكن بيان النتيجة على النحو الآتي:[١٢]
      • منزلة الآحاد: 3-7، وهو لا يجوز وبالتالي يتم الاستلاف من العدد 5 فيصبح 4، ويصبح العدد 3 يساوي 13، وبالتالي 13-7 = 6.
      • منزلة العشرات: 4-3 = 1.
      • منزلة المئات: 0-7، وهو لا يجوز وبالتالي يتم الاستلاف من العدد 3، فيصبح 2، ويصبح العدد 0 يساوي 10، 10-7= 3.
      • منزلة الآلاف: الرقم 2 فقط.
      • وبالتالي فإن النتيجة 2316.
    • ز) 935 – 521 = 414، ويمكن بيان طريقة الحل كما يأتي:[١٣]
      • منزلة الآحاد: 5 – 1 = 4.
      • منزلة العشرات: 3 – 2 = 1
      • منزلة المئات: 9 – 5 = 4
      • وبالتالي تصبح النتيجة 414.
    • ي)9/8 – 9/4 = (8-4)/9= 9/4.[١٣]
    • ع) 2/1 – 5/1، لإجراء عملية الطرح فإننا نحتاج إلى توحيد المقامات كما يلي:[١٤]
      • العثور على العامل المشترك الأصغر بين (2،5)، وهو العدد (10)، وعليه يجب ضرب بسط ومقام الكسر الأول بالعدد (5)، وبسط ومقام الكسر الثاني بالعدد (2)، وذلك كما يلي:
      • (1×5)/(2×5) – (1×2)/(5×2) = 10/5 – 10/2 = (2-5)/10= 10/3.

  • المثال الثاني: يمتلك قصي 12 حجراً ، ويمتلك عدي 9 أحجار، فكم تزيد الأحجار التي يمتلكها قصي عن الأحجار التي يمتلكها عدي؟[١٥]
    • الحل: الفرق بين أحجار عدي وقصي هو: 12-9= 3 أحجار، وبالتالي يمكن القول إن قصي يمتلك 3 أحجار أكثر من عدي.

  • المثال الثالث: يمتلك أحمد 10 دولار، ويمتلك خالد 21 دولار، فكم تزيد النقود التي يمتلكها خالد عن النقود التي يمتلكها أحمد؟ [١٥]
    • الحل: يمكن معرفة كم تزيد نقود خالد عن أحمد من خلال حساب الفرق بين بين كمية النقود التي يمتلكها كل منهما، وذلك كما يلي: 21-10= 11دولار، وهذا يعني أن النقود التي يمتلكها خالد تزيد بمقدار 11 دولار عن النقود التي يمتلكها أحمد.

  • المثال الرابع: يمتلك أحمد 12 لعبة، ويمتلك خالد عدداً من الألعاب يقل عن عدد ألعاب خالد بمقدار 7 لعب، فكم عدد اللعب التي يمتلكها خالد؟[١٥]
    • الحل: عدد اللعب التي يمتلكها خالد = 12-7 = 5 لعب.

  • المثال الخامس: يتقاضى أحمد راتباً شهرياً مقداره 755 دولار، ويدفع إيجاراً شهرياً لمنزله مقداره 180 دولار، فكم عدد النقود المتبقية لدى أحمد بعد دفع الإيجار؟[٤]
    • الحل:
    • عدد النقود المتبقية لدى أحمد = راتبه الشهر – قيمة الإيجار المنزلي الشهري = 755-180 = 575 دولار، ويمكن توضيح طريقة الحصول على النتيجة كما يلي:
      • منزلة الآحاد: 5 – 0 = 5.
      • منزلة العشرات: 5 – 8، وهذا لا يجوز، وبالتالي يتم الاستلاف من العدد 7 فيصبح 6، ويصبح العدد 5 يساوي 15، وبالتالي: 15-8 = 7.
      • منزلة المئات: 6 – 1 = 5.

  • المثال السادس: رأى شخص تسعة عصافير على غصن شجرة، وبعد ذلك طار منها ثلاثة عصافير، ثم طار اثنان من العصافير أيضاً، فكم عدد العصافير المتبقية على الشجرة؟[١٣]
    • الحل: عدد العصافير المتبقية بعد طيران الثلاثة عصافير في المرة الأولى: 9 – 3 = 6 عصافير.
    • عدد العصافير المتبقية بعد طيران العصفورين أيضاً في المرة الثانية: 6-2 = 4 عصافير.
    • وبالتالي فإن عدد العصافير المتبقية على الشجرة يساوي 4 عصافير.

  • المثال السابع: يذهب أحمد إلى الجامعة أيام الإثنين، والأربعاء، والسبت، أما باقي الأيام فهو يذهب إلى العمل، فكم تزيد الأيام التي يذهب بها أحمد إلى العمل عن الأيام التي يذهب بها إلى الجامعة؟[١٦]
    • الحل: يذهب أحمد إلى الجامعة ثلاثة أيام في الأسبوع، وبما أن عدد أيام الأسبوع 7 أيام فإن عدد الأيام التي يذهب بها إلى العمل: 7-3= 4 أيام.
    • الفرق بين عدد الأيام = عدد الأيام التي يذهب بها إلى العمل – عدد الأيام التي يذهب بها إلى الجامعة، ويساوي 4-3 = 1 يوم، وهذا يعني أن عدد أيام ذهابه إلى العمل تزيد يوماً واحداً عن أيام ذهابه إلى الجامعة..

  • المثال الثامن: تمتلك منى 181دولار، اشترت منها قفازات بقيمة 12 دولار، ثم اشترت حذاءً بقيمة 87 دولار، فكم عدد النقود المتبقية لدى منى؟[١٦]
    • الحل:
      • عدد النقود المتبقية بعد شراء القفازات = 181-12= 169 دولار.
      • عدد النقود المتبقية بعد شراء الحذاء = 169-87 = 82 دولار، وهو المبلغ الذي تبقى مع منى.

  • المثال التاسع: يمتلك محمد 20 قطعة من الحلوى، فإذا قدّم قطعة حلوى واحدة لكل صديق من أصدقائه الذين يبلغ عددهم اثني عشر شخصاً، كما أكل قطعة واحدة من هذه الحلوى، فكم عدد قطع الحلوى المتبقية لدى محمد؟[١٦]
    • الحل:
      • عدد قطع الحلوى المتبقية بعد أن أطعم أصدقاءه= 20-12 = 8 قطع.
    • عدد قطع الحلوى المتبقية في النهاية= 8-1= 7 قطع.

لمزيد من المعلومات حول عملية الجمع يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الجمع .

المراجع

  1. ↑ “Subtract – Definition with Examples”, www.splashlearn.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  2. ^ أ ب ت ث ج “What is Subtraction in Math? – Definition, Methods & Examples”, study.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  3. ↑ “Subtraction”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  4. ^ أ ب “Subtraction”, www.skillsyouneed.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  5. ↑ “Subtraction”, www.mathsisfun.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  6. ↑ “Subtraction”, www.cuemath.com, Retrieved 17-4-2020. Edited.
  7. ↑ “Subtraction”, www.nwcg.gov, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  8. ↑ “Subtracting Fractions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  9. ↑ “Subtraction”, www.nwcg.gov, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  10. ^ أ ب “Subtraction”, www.mathsteacher.com.au, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  11. ^ أ ب “How to Subtract Numbers”, www.dummies.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  12. ^ أ ب “Subtraction: Whole Numbers”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  13. ^ أ ب ت “How to subtract”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  14. ↑ “How to subtract”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.
  15. ^ أ ب ت “Subtraction”, www.mathopolis.com, Retrieved 18-4-2020 (page 5). Edited.
  16. ^ أ ب ت “How to subtract”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-4-2020. Edited.