نظرة عامة حول نظام المعادلتين

المقصود بحل جملة معادلتين هو حل النظام المكوّن من معادلتين خطيتين تضمّ كل منهما متغيرين، وذلك بإيجاد قيم المتغيرين اللذين يحققان كِلتا المعادلتين معاً، ويمكن توضيح ذلك بأن قيم المتغيرين التي تمثّل حلّاً لمعادلة واحدة من المعادلتين ولا تحقّق المعادلة الثانية، لا تعدّ حلاً للنظام بأكمله، ويجدر بالذكر هنا أنّ حل نظام المعادلتين يمكن أنْ يكون على إحدى الصور الآتية:^[١]

لنظام المعادلتين حل وحيد، أي أنّ هناك زوجاً واحداً يحقق كلتا المعادلتين (س،ص)، وهو يمثّل نقطة تقاطع الخطين عند رسم المعادلتين.
لا يوجد للنظام حل؛ وذلك إذا كان الخطان اللذان يمثلان المعادلتين لا يلتقيان أبداً؛ أي أن المعادلتين تمثلان خطين متوازيين.
عدد لا نهائي من الحلول، وذلك إذا كان الخطان اللذان يمثلان المعادلتين يقعان فوق بعضهما البعض تماماً؛ أي متطابقان.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

طرق حل جملة معادلتين

طريقة الحذف

لحل نظام المعادلات باستخدام طريقة الحذف (بالإنجليزية: Elimination)، يمكن اتباع الآتي:^[٢]

كتابة المعادلتين بالشكل القياسي عن طريق وضع المتغيرات المتشابهة فوق بعضها البعض، وذلك كما يلي:

المعادلتان:

2س – 3= -5ص

-2ص= -3س 1

يمكن ترتيبهما لتصبحا كما يلي:

5ص 2س = 3.

-2ص 3س = 1.

اختيار متغير واحد لحذفه، وللقيام بذلك يجب توحيد معاملات هذا المتغير في كلتا المعادلتين أولاً، بحيث يكونا متساويين في القيمة ومختلفين في الإشارة، وذلك كما يلي:

لحذف المتغير ص يجب ضرب المعادلة الأولى بـ (2)، والمعادلة الثانية بـ (5)، لتصبح المعادلتان كما يلي:

10ص 4س = 6.

-10ص 15س = 5.

جمع المعادلتين معاً للتخلص من المتغير الذي تمّ اختياره سابقاً، ولتبقى لدينا معادلة واحدة بمتغير واحد يسهل حلّها، وذلك كما يلي:

19 س =11.

حل المعادلة لحساب قيمة المتغير المتبقي، وذلك كما يلي:

س= 11/19.

تعويض القيمة السابقة في إحدى المعادلتين اللتين تضمان كلا المتغيرين، وذلك كما يلي:

2×(11/19) 5ص= 3، ومنه: ص= 7/19.

التحقق من الحل عن طريق تعويض قيم س، وص في المعادلتين السابقتين الأصليتين.

طريقة التعويض

لحل نظام المعادلات باستخدام طريقة التعويض (بالإنجليزية: Substitution) يجب اتباع الآتي:^[٣]

جعل أحد المتغيرين موضع القانون في إحدى المعادلات، وذلك كما يلي:

لحل المعادلتين الآتيتين:

3س 4ص= -5.

2س – 3ص= 8.

يمكن وضع س موضع القانون في المعادلة الثانية لتصبح:

س=4 3/2ص

تعويض قيمة المتغير من المعادلة التي تم وضعه موضع القانون فيها في موقعه في المعادلة الأخرى، وذلك كما يلي:
تعويض قيمة (س) من المعادلة الثانية مكان موقعه في المعادلة الأولى، لتصبح:

3(3/2ص 4) 4ص = -5، (9/2)ص 12 4ص= -5، (17/2)×ص= -17، ومنه: ص= -2.

تعويض قيمة المتغير التي تم إيجادها في أي من المعادلتين لحساب قيمة المتغير الثاني، وذلك كما يلي:

تعويض قيمة (ص) في المعادلة الثانية:

س=4 3/2ص = 4 3/2×(-2) = 1.

التحقق من الحل عن طريق تعويض قيم س، وص في المعادلتين السابقتين الأصليتين.

طريقة حل معادلتين بالرسم البياني

يُمكن حل النظام المكوّن من معادلتين باستخدام الرسم البياني؛ حيث يتمّ رسم كِلتا المعادلتين على نفس الرسم البياني، ويكون الحل هو نقطة تقاطع المنحنيين معاً، وفي حال عدم تقاطع المنحنيين فإن ذلك يعني عدم وجود حل لذلك النظام.^[٤]

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة التربيعية.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة .

أمثلة على حل جملة معادلتين

المثال الأول: جد حل المعادلتين الآتيتين: 2س-3ص= -2، 4س ص=24.^[٥]
- الحل: لحل المعادلتين بالتعويض يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - جعل س موضع القانون في المعادلة الأولى، لتصبح المعادلة الأولى كما يلي: س= 3/2ص-1.
  - تعويض قيمة س التي تم الحصول عليها من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية، لتصبح المعادلة كما يلي: 4×(3/2ص-1) ص=24، فك الأقواس وتبسيط المعادلة لتصبح: 6ص-4 ص=24، 7ص=28، ومنه: ص= 4.
  - تعويض قيمة ص التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى لحساب قيمة س، وذلك كما يلي: س= 3/2ص-1 = 3/2×(4)-1 = 5.
  - حل نظام المعادلتين هو: س=5، ص=4.

المثال الثاني: جد حل المعادلتين الآتيتين: 7س 2ص = 16، -21س-6ص = 24.^[٦]
- الحل: لحل المعادلتين بالتعويض يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - جعل ص موضع القانون في المعادلة الأولى، لتصبح المعادلة الأولى كما يلي: ص=8-7/2س.
  - تعويض قيمة ص التي تم الحصول عليها من المعادلة الأولى في المعادلة الثانية، لتصبح المعادلة كما يلي: 21س-6×(8-7/2س) = 24، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة تصبح: 21س-48 21س=24، -48=24، وهو جواب غير منطقي يدل على أن نظام المعادلات هذا لا حل له؛ أي أن الخطان الممثلان له لا يتقاطعان.

المثال الثالث: جد حل المعادلتين الآتيتين: -7س-2ص= -13، س-2ص =11.^[٧]
- الحل: لحل المعادلتين بالتعويض يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - جعل س موضع القانون في المعادلة الثانية، لتصبح المعادلة كما يلي: س = 11 2ص.
  - تعويض قيمة س التي تم الحصول عليها من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى، لتصبح المعادلة كما يلي: -7×(11 2ص)-2ص= -13، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة تصبح: -77-14ص-2ص=-13، -16ص= 64، ومنه: ص= -4.
  - تعويض قيمة ص التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى لحساب قيمة س، وذلك كما يلي: س = 11 2ص = 11 2×(-4)= 3.
  - حل نظام المعادلتين هو: س=3، ص=-4.

المثال الرابع: جد حل المعادلتين الآتيتين: -3س-4ص=2، 5س 5ص=-5.^[٧]
- الحل: لحل المعادلتين بالحذف يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - تبسيط المعادلة الثانية عن طريق قسمتها على (5) لتصبح: س ص=-1.
  - ضرب المعادلة الثانية بـ (4) للتخلص من المتغير (ص) عند جمع المعادلتين، لتصبح المعادلة: 4س 4ص= -4.
  - جمع المعادلتين معاً للحصول على: -3س 4س=-2، س=-2.
  - تعويض قيمة س في المعادلة الثانية للحصول على قيمة ص: -2 ص = -1، ص=1.
  - حل نظام المعادلتين هو: س=-2، ص=1.

المثال الخامس: جد حل المعادلتين الآتيتين: 3س 2ص = 16، 7س ص=19.^[٨]
- الحل: لحل المعادلتين بالحذف يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - ضرب المعادلة الثانية بـ (-2) للتخلص من المتغير (ص) عند جمع المعادلتين، لتصبح المعادلة: -14س-2ص=-38.
  - جمع المعادلتين معاً للحصول على: -11س=-22، س=2.
  - تعويض قيمة س في المعادلة الثانية للحصول على قيمة ص: 7×(2) ص=19، ص=5.
    - حل نظام المعادلتين هو: س=2، ص=5.

المثال السادس: جد حل المعادلتين الآتيتين: 5س-2ص=10، 4س-6ص=3.^[٩]
- الحل: لحل المعادلتين بالحذف يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - ضرب المعادلة الأولى بـ (3-) للتخلص من المتغير (ص) عند جمع المعادلتين، لتصبح المعادلة: -15س 6ص=-30.
  - جمع المعادلتين معاً للحصول على: -11س=-27، س= 27/11.
  - تعويض قيمة س في المعادلة الثانية للحصول على قيمة ص: 4×(27/11)-6ص=3، -6ص=3-(108/11)، -6ص= -75/11، ص= 75/66 = 25/22.
    - حل نظام المعادلتين هو: س=27/11، ص=25/11.

المثال السابع: جد حل المعادلتين الآتيتين: 7س-3ص =31، 9س-5ص = 41.^[١٠]
- الحل:
- لحل المعادلتين بالحذف يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - ضرب المعادلة الأولى بـ (5)، والمعادلة الثانية بـ (-3) للتخلص من المتغير (ص) عند جمع المعادلتين، لتصبح المعادلتان: 35س-15ص=155، -27س 15ص=-123.
- جمع المعادلتين معاً للحصول على: 8س=32، س=4.
  - تعويض قيمة س في المعادلة الثانية للحصول على قيمة ص: 9×(4)-5ص=41، -5ص=5، ص=-1.
    - حل نظام المعادلتين هو: س=4، ص=-1.
- لحل المعادلتين بالتعويض يجب اتباع الخطوات الآتية:
  - جعل س موضع القانون في المعادلة الثانية، لتصبح المعادلة كما يلي: س= 41/9 5/9ص.
  - تعويض قيمة س التي تم الحصول عليها من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى، لتصبح المعادلة الأولى كما يلي: 7×(41/9 5/9ص)-3ص= 31، وبفك الأقواس وتبسيط المعادلة تصبح: 287/9 35/9ص-3ص=31، ومنه: 8/9ص= -8/9، ص= -1.
  - تعويض قيمة ص التي تم الحصول عليها في المعادلة الأولى لحساب قيمة س، وذلك كما يلي: س = 41/9 5/9ص = 41/9 5/9×(-1) = 4.
  - حل نظام المعادلتين هو: س=4، ص=-1.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقالة الآتية: طرق حل المعادلات الجبرية.

المراجع

↑ “Solving Systems of Linear Equations in Two Variables”, www.wtamu.edu, Retrieved 6-3-2019. Edited.
↑ “Linear Equations: Solutions Using Elimination with Two Variables”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 6-3-2019. Edited.
↑ “Linear Equations: Solutions Using Substitution with Two Variables”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 6-3-2019. Edited.
↑ “Solving systems of equations in two variables”, www.mathplanet.com, Retrieved 6-3-2019. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations:”, www.purplemath.com, Retrieved 20-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations:”, www.purplemath.com, Retrieved 21-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Systems of equations with substitution”, www.khanacademy.org, Retrieved 21-4-2020. Edited.
↑ “Solving Systems of Linear Equations Using Substitution”, www.varsitytutors.com, Retrieved 21-4-2020. Edited.
↑ “Solve equations using substitution method:”, www.toppr.com, Retrieved 21-4-2020. Edited.
↑ “Substitution Method”, www.math-only-math.com, Retrieved 21-4-2020. Edited.