قانون مساحة المثلث متساوي الساقين

قانون حساب مساحة المثلث متساوي الساقين

يمكن تعريف المثلث متساوي الساقين بأنه المثلث الذي يحتوي على ضلعين على الأقل من أضلاعه متساويين في الطول،^[١] ويمكن إيجاد مساحة المثلث متساوي الساقين من خلال مجموعة من القوانين، هي:

• القانون الأول: يمكن حساب مساحة المثلث متساوي الساقين من خلال القانون العام لمساحة المثلث، وهو:
  • مساحة المثلث متساوي الساقين = 1/2×القاعدة×الارتفاع، وبالرموز: م= 1/2×ق×ع؛ حيث:^[٢]
    • م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
    • ق: طول قاعدة المثلث.
    • ع: ارتفاع المثلث.

• القانون الثاني: عند معرفة طول قاعدة المثلث، وطول أحد الضلعين المتساويين فإنه يمكن إيجاد المساحة كما يلي:
  • مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² – طول القاعدة²)/4، وبالرموز: م= ق× الجذر التربيعي (4×ل² – ق²)/4، حيث:^[٣]
    • م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
    • ق: طول قاعدة المثلث.
    • ل: طول أحد الضلعين المتساويين

• القانون الثالث: عند معرفة طول قاعدة المثلث، وقياس إحدى زاويتي القاعدة المتساويين فإنه يمكن إيجاد المساحة كما يلي:
  • مساحة المثلث متساوي الساقين = (طول القاعدة²× ظا (زاوية القاعدة))/ 4، وبالرموز: م=(ب² × ظاθ) / 4، حيث:^[٣]
    • م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
    • ق: طول قاعدة المثلث.
    • θ: قياس إحدى زاويتي القاعدة المتساويتين.

• القانون الرابع: عند معرفة طول أحد الضلعين المتساويين (ل)، وقياس زاوية رأس المثلث، فإنه يمكن إيجاد المساحة كما يلي:
  • مساحة المثلث متساوي الساقين= مربع طول إحدى الساقين المتساويين×جا (زاوية الرأس) /2، وبالرموز: م =1/2×ل²×جاα؛ حيث:^[٣]
    • م: مساحة المثلث متساوي الساقين.
    • ل: طول أحد الضلعين المتساويين
    • α: قياس زاوية رأس المثلث.

لمزيد من المعلومات حول المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص المثلث متساوي الساقين.

أمثلة على حساب مساحة المثلث متساوي الساقين

أمثلة عامة على حساب المساحة

• المثال الأول: ما هي مساحة المثلث متساوي الساقين الذي طول قاعدته 4سم، وارتفاعه 6سم؟^[٢]
  • الحل: مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع= 1/2 × 4 × 6= 12سم².

• المثال الثاني: مثلث متساوي الساقين قائم الزاوية، وطول الوتر فيه يساوي 2√18 سم، فما هي مساحته؟^[٤]
  • الحل:
  • قياس زوايا المثلث 90 – 45 – 45؛ لأنه متساوي الساقين وقائم الزاوية، وهي حالة خاصة من المثلثات يكون فيها ارتفاع المثلث يساوي طول قاعدته، ويمكن إيجاد قيمتهما كما يلي:
    • باستخدام نظرية فيثاغورس فإن: الوتر²=طول القاعدة² الارتفاع²، ومنه: الوتر²=2×طول القاعدة² ، (2√18)² = 2×طول القاعدة²، وبقسمة الطرفين على 2، ينتج أن: الارتفاع = طول القاعدة = 18 سم.
  • تعويض القيم في قانون مساحة المثلث = 1/2 × طول القاعدة × الارتفاع، لينتج أن: مساحة المثلث = 1/2×18×18= 162 سم ².

• المثال الثالث: ما هي مساحة المثلث متساوي الساقين الذي طول أحد ضلعيه المتساويين يساوي 10م، وطول قاعدته 12م؟^[٥]
  • الحل: بالتعويض في قانون مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول أحد الساقيين المتساويين² – طول القاعدة²)/4، يمكن إيجادها كما يلي:
    • مساحة المثلث = 12× (4×10² – 12²)√/4 = 48م².

• المثال الرابع: ما هي مساحة المثلث متساوي الساقين الذي طول قاعدته 12سم، وارتفاعه 17سم؟^[٦]
  • الحل: بالتعويض في قانون مساحة المثلث= 1/2×طول القاعدة×الارتفاع، ينتج أن:
    • مساحة المثلث = 1/2×12×17= 102سم².

أمثلة على حساب مساحة المثلث وحساب ارتفاعه

• المثال الأول: مثلث متساوي الساقين طول أحد الضلعين المتساويين فيه 12سم، وطول قاعدته 7سم، فما هي مساحته، وارتفاعه؟^[٦]
  • الحل:
  • يمكن حساب الارتفاع بتطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك لأن الارتفاع (ع) يشكل العمود القائم الواصل من رأس المثلث إلى منتصف القاعدة؛ بحيث يكون الارتفاع، ومنتصف القاعدة ضلعي القائمة، وأحد الضلعين المتساويين يمثل الوتر، ومنه:
    • ع = (ل² – (ب/2)²)√= (12²-(7/2)²)√= 11.478سم.
  • بعد حساب الارتفاع يمكن حساب مساحة المثلث كما يلي:
    • مساحة المثلث متساوي الساقين = (طول القاعدة × الارتفاع)/2 = (7 × 11.478)/2 = 40.173 سم².
  • يمكن كذلك حساب المساحة بطريقة أخرى دون الحاجة إلى الارتفاع تتمثل بتعويض القيم في القانون: مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول أحد الساقيين المتساويين² – طول القاعدة²)/4، ومنه:
    • مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول أحد الساقيين المتساويين² – طول القاعدة²)/4 = 7 × الجذر التربيعي (4×12² -7²)/4 = 40.173 سم²، وهي مساوية للقيمة السابقة.

• المثال الثاني: ما هو ارتفاع، ومساحة المثلث متساوي الساقين الذي طول ضلعيه المتساويين 5سم، وطول قاعدته 9سم؟^[٧]
  • الحل:
  • يمكن حساب الارتفاع بتطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك لأن الارتفاع (ع) يشكل العمود القائم الواصل من رأس المثلث إلى منتصف القاعدة؛ بحيث يكون الارتفاع، ومنتصف القاعدة ضلعي القائمة، وأحد الضلعين المتساويين يمثل الوتر، ومنه:
    • ع = (ل² – (ب/2)²)√= (5²-(9/2)²)√= 2.18سم.
  • بعد حساب الارتفاع يمكن حساب مساحة المثلث كما يلي:
    • مساحة المثلث متساوي الساقين = (طول القاعدة × الارتفاع)/2 = (9 × 2.18)/2 = 9.8 سم².
    • مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول أحد الساقيين المتساويين² – طول القاعدة²)/4 = 9 × الجذر التربيعي (4×5² -9²)/4 = 9.8 سم²، وهي مساوية للقيمة السابقة.

لمزيد من المعلومات حول ارتفاع المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: ارتفاع مثلث متساوي الساقين.

أمثلة على حساب طول الأضلاع عند معرفة المساحة

• المثال الأول: ما هو طول قاعدة المثلث متساوي الساقين الذي مساحته 243سم²، وارتفاعه 27سم؟^[٦]
  • الحل: مساحة المثلث متساوي الساقين = (1/2) × طول القاعدة × الارتفاع، ومنه:
    • 243 = طول القاعدة × 27 /2، ومنه: طول القاعدة = (243×2)/27، وعليه: طول القاعدة = 18سم.

• المثال الثاني: إذا كانت مساحة المثلث متساوي الساقين 60سم²، وطول أحد ضلعيه المتساويين 13سم، فما هو طول قاعدة المثلث؟^[٨]
  • الحل:
  • بالتعويض في القانون: مساحة المثلث = مربع طول إحدى الساقين المتساويين×جا (زاوية الرأس) /2، ومنه: 60 = 13²×جا (زاوية الرأس) /2 ، وبحل المعادلة ينتج أن: زاوية الرأس= 45.2 درجة.
  • حساب قياس زوايا القاعدة المتساوية من خلال حقيقة أن مجموع زوايا المثلث =180 درجة، ومنه: 180- 45.2 = 2×(زاوية القاعدة)، ومنه ينتج أن قياس كل زاوية من زوايا القاعدة= 67.4 درجة.
  • بالتعويض في القانون: مساحة المثلث = (طول القاعدة²× ظا (زاوية القاعدة))/ 4، ينتج أن: 60 = (طول القاعدة²× ظا (67.4))/ 4 ، ومنه: 240/ ظا (67.4) = طول القاعدة²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: طول القاعدة= 10 سم.

• المثال الثالث: ما هو طول أحد ضلعي المثلث المتساويين، إذا كانت مساحته تساوي 20 وحدة مربعة، وطول قاعدته 10 وحدات؟^[٩]
  • الحل: مساحة المثلث = (1/2)× طول القاعدة×الارتفاع، ومنها:
    • 20 = (1/2) × 10 × الارتفاع، ومنه: الارتفاع = 4 وحدة.
  • باستخدام نظرية فيثاغورس فإنه يمكن إيجاد طول الضلع، وذلك لأن الارتفاع الذي يشكل العمود المقام من رأس المثلث إلى منتصف القاعدة يشكّل مثلثاً قائم الزاوية، الوتر فيه هو طول الضلع، والارتفاع ومنتصف القاعدة هما ضلعي القائمة، وذلك كما يلي:
    • ل² = (ب/2)² ع²، ومنه: طول الساقين المتساويتين = (10/2)² 4²√ = 41√ وحدة.
  • يمكن حل السؤال كذلك بطريقة أخرى تتمثل باستخدام القانون: مساحة المثلث = طول القاعدة × الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² – طول القاعدة²)/4؛ حيث:
    • 20 = 10× الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² -10²)/4، ومنه: 8 = الجذر التربيعي (4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² -10²)، وبتربيع الطرفين ينتج أن: 64 = 4×طول إحدى الساقيين المتساويتين² -10²، وبحل المعادلة ينتج أن: طول الساقين المتساويين= 41√ وحدة قياس.

• المثال الرابع: ما هي طول قاعدة المثلث متساوي الساقين الذي طول ضلعه الجانبي 5سم، ومساحته 6سم²؟^[٩]
  • الحل:
  • بالتعويض في القانون: مساحة المثلث = مربع طول إحدى الساقين المتساويين×جا (زاوية الرأس) /2، ومنه: 6 = 5²×جا (زاوية الرأس) /2 ، وبحل المعادلة ينتج أن: زاوية الرأس= 28.6 درجة.
  • حساب قياس زوايا القاعدة المتساوية من خلال حقيقة أن مجموع زوايا المثلث =180 درجة، ومنه: 180- 28.6 = 2×(زاوية القاعدة)، ومنه ينتج أن قياس كل زاوية من زوايا القاعدة= 75.66 درجة.
  • بالتعويض في القانون: مساحة المثلث = (طول القاعدة²× ظا (زاوية القاعدة))/ 4، ينتج أن: 6= (طول القاعدة²× ظا (75.66))/ 4 ، ومنه: 24/ ظا (75.66) = طول القاعدة²، وبأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج أن: طول القاعدة= 2.48سم.

لمزيد من المعلومات حول محيط المثلث متساوي الساقين يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط المثلث متساوي الساقين.

المراجع

1. ↑ “Isosceles Triangle”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Isosceles Triangle”, byjus.com, Retrieved 8-4-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} “Properties of Isosceles Triangles”, brilliant.org, Retrieved 9-4-2020. Edited.
4. ↑ “How to find the area of a 45/45/90 right isosceles triangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.
5. ↑ “Area of a Triangle”, www.web-formulas.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} “Area Of Isosceles Triangle”, byjus.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.
7. ↑ “Area of Isosceles Triangle Formula”, www.toppr.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.
8. ↑ “area of an isosceles triangle”, www.topperlearning.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب} “Problems on Isosceles Triangles with Detailed Solutions”, www.analyzemath.com, Retrieved 9-4-2020. Edited.