تحليل مجموع مكعبين
نظرة عامة حول تحليل مجموع مكعبين
يمكن تعريف مجموع المكعبين (بالإنجليزية: Sum of Cubes) بأنه كثير حدود يكون على الصورة: أ³ ب³؛[١] حيث يكون على شكل حدين، تقصل بينهما إشارة جمع، وكل حد منهما مرفوع للقوة الثالثة، وتجدر الإشارة إلى أن الحدين هنا لهما نفس الإشارة بعكس الفرق بين مكعبين.[٢]
لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل الفرق بين مكعبين.
كيفية تحليل مجموع مكعبين
يمكن تحليل مجموع المكعبين باستخدام الصيغة الآتية:
- س³ ص³= (س ص)( س²- س ص ص²)؛ حيث س هو الحد الأول، وص هو الحد الثاني.[٣] ولشرح ذلك نوضح الخطوات التي يمكن من خلالها طريقة تحليل كثير الحدود الآتي إلى عوامله الأولية: س³ 27، وهي:[٤]
- الخطوة الأولى: كتابة قوسين بحيث يكون هناك قوس صغير، وقوس أكبر منه؛ وذلك لأن القوس الأصغر سيضم حدين، والقوس الأكبر سيضم ثلاثة حدود كما يلي:
( )( ). - الخطوة الثانية: حساب الجذر التكعيبي لكل من الحدين، وكتابته في القوس الأول كما يلي: (س 3)( ).
- الخطوة الثالثة: حساب مربع كل من العددين الموجودين في القوس الأول، وكتابته في أول جزء، وآخر جزء من القوس الثاني كما يلي:
( س 3)(س² 9). - الخطوة الرابعة: إيجاد الحد الأوسط من القوس الثاني، وهو يساوي حاصل ضرب الحدين الأول في الثاني الموجودين في القوس الأول، كما يلي:
(س 3)(س² 3س 9). - الخطوة الخامسة: وضع الإشارات المناسبة؛ حيث يتم وضع الإشارات بتطبيق قاعدة (نفس، عكس، دائماً موجب)، وتعني ما يلي:[٥]
- نفس: تعني أن القوس الأول تكون إشارته نفس إشارة كثير الحدود.
- عكس: تعني أن القوس الثاني تكون الإشارة الأولى فيه عكس إشارة كثير الحدود.
- دائماً موجب: تعني أن الإشارة الثانية في القوس الثاني تكون موجبة دائماً.
- وبالتالي فإن تحليل كثير الحدود هنا: س³ 27= (س 3)(س² – 3س 9)
أمثلة حول تحليل مجموع مكعبين
- المثال الأول: حلل ما يلي إلى عوامله الأولية: 27س³ 1.[٦]
- الحل: باستخدام الصيغة: س³ ص³= (س ص)( س²- س ص ص²)، وتطبيقها على كثير الحدود السابق ينتج أن:
- القوس الأول يساوي مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (3س 1).
- بتطبيق الصيغة على القوس الثاني فإنه يساوي (9س²- 3س 1).
- وبالتالي فإن العوامل الأولية لكثير الحدود: 27س³ 1، هي: (3س 1)(9س²- 3س 1).
- الحل: باستخدام الصيغة: س³ ص³= (س ص)( س²- س ص ص²)، وتطبيقها على كثير الحدود السابق ينتج أن:
- ملاحظة: العدد 1 يعتبر عنصراً محايداً لعملية الضرب، وبالتالي فإن الجذر التكعيبي له يساوي 1.[٦]
- المثال الثاني: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ 125.[١]
- الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
- س³ 125 = (س 5)(س² – 5س 25).
- المثال الثالث: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 2س³ 128ص³.[١]
- الحل: يُلاحظ أن الحدين الأول، والثاني في كثير الحدود هذا لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإنه يجب إيجاد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين واستخراجه قبل تطبيق قانون تحليل مجموع المكعبين، وبالتالي فإن: العامل المشترك الأكبر للحدين 2س³ 128ص³ هو العدد 2، وباستخراجه يصبح كثير الحدود كما يأتي: 2(س³ 64ص³).
- بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) على (س³ 64ص³)، ينتج أن:
- (س³ 64ص³)=(س 4ص)(س²-4س ص 16ص²)، أما عوامل 2س³ 128ص³ فهي: 2(س 4ص)(س²-4س ص 16ص²).
- المثال الرابع: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 64س³ 125.[٧]
- الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
- 64س³ 125 = (4س 5)(16س² – 20س 25).
- ملاحظة: القوس الثاني يمثل كثير حدود من الدرجة الثانية، وهو لا يحلل أبداً، ولا يُمكن تبسيطه أكثر من ذلك.
- المثال الخامس: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 5س³ 625.[٨]
- الحل: يُلاحظ أن الحدين الأول، والثاني في كثير الحدود هذا لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإنه يجب إيجاد العامل المشترك الأكبر لهذين الحدين واستخراجه قبل تطبيق قانون تحليل مجموع المكعبين، وبالتالي فإن: العامل المشترك الأكبر للحدين 5س³ 625 هو العدد 5، وباستخراجه يصبح كثير الحدود كما يأتي: 5(س³ 125).
- بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) على (س³ 125)، ينتج أن:
- 5(س³ 125)=5(س 5)(س²-5س 25).
- المثال السادس: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ 8ص³.[٩]
- الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين على صورة أ³ ب³، تكون فيه أ = س، وب = 2ص، ويمكن تحليله إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة: س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²)، لينتج أن:
- العامل الأول: (س 2ص)
- العامل الثاني: (س² – 2 س ص 4ص²)
- وبالتالي فإن عوامل س³ 8ص³ هي: (س 2ص)(س² – 2 س ص 4ص²).
- الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين على صورة أ³ ب³، تكون فيه أ = س، وب = 2ص، ويمكن تحليله إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة: س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²)، لينتج أن:
- المثال السابع: حلل ما يلي إلى عوامله الأولية: 16م³ 54ن³.[٩]
- الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين، ولكن الحد الأول، والثاني فيه لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإن الخطوة الأولى هي إخراج عامل مشترك كما يلي:
- 16م³ 54ن³=2(8م³ 27ن³)، ثم تحليل (8م³ 27ن³) باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين: س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²)، كما يلي:
- العامل الأول: (2م 3ن)
- العامل الثاني: (4م² – 6م ن 9ن²)
- وبالتالي فإن عوامل 16م³ 54ن³ هي: 2 (2م 3ن)(4م² – 6م ن 9ن²).
- الحل: كثير الحدود هذا يمثّل مجموع مكعبين، ولكن الحد الأول، والثاني فيه لا يشكلان مكعباً كاملاً، وبالتالي فإن الخطوة الأولى هي إخراج عامل مشترك كما يلي:
- المثال الثامن: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 3س5 3س².[١٠]
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 3س² كعامل مشترك كما يلي:
- 3س5 3س²=3س²(س³ 1).
- تحليل (س³ 1) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
- العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (س 1).
- العامل الثاني: ( س²- س 1).
- مما سبق عوامل الاقتران 3س5 3س² هي: 3س²(س 1)( س²- س 1) .
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 3س² كعامل مشترك كما يلي:
- المثال التاسع: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 54س7 16س.[١٠]
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 2س كعامل مشترك كما يلي:
- 54س7 16س=2س(27س6 8س).
- تحليل (27س6 8س) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
- العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (3س² 2).
- العامل الثاني: (9س4– 6س² 4).
- مما سبق عوامل الاقتران 54س7 16س هي: 2س(3س² 2)(9س4– 6س² 4).
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج 2س كعامل مشترك كما يلي:
- المثال العاشر: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: س³ ص³.[١١]
- الحل: بتطبيق صيغة تحليل مجموع المكعبين (س ص)( س²- س ص ص²) فإنه يمكن إيجاد العوامل كما يلي:
- س³ ص³= (س ص)(س² – س ص ص²).
- المثال الحادي عشر: حلّل ما يلي إلى عوامله الأولية: 3س6 81ص6.[٤]
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج العدد (3) كعامل مشترك كما يلي:
- 3س6 81ص6=3(س6 27ص6 ).
- تحليل (س6 27ص6) إلى عوامله الأولية باستخدام الصيغة العامة لمجموع المكعبين س³ ص³=(س ص)( س²- س ص ص²) كما يلي:
- العامل الأول: هو مجموع الجذر التكعيبي لكلا الحدين، ويساوي (س² 3ص²).
- العامل الثاني: ( س4– 3س² ص² 9ص4).
- مما سبق عوامل الاقتران 3س5 3س² هي: 3(س² 3ص²)( س4– 3س² ص² 9ص4).
- الحل: يلاحظ أن كلا الحدين لا يشكلان مكعباً كاملاً، ويمكن تحويله إلى مكعب كامل بإخراج العدد (3) كعامل مشترك كما يلي:
لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.
لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.
المراجع
- ^ أ ب ت “Sum or Difference of Cubes”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ↑ “Factoring the Sum of Cubes: Formula & Examples”, study.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ↑ “Sum and Difference of Cubes”, flexbooks.ck12.org, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ^ أ ب “Factoring Polynomials”, www.algebralab.org, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ↑ “factoring a sum or difference of two cubes”, planetmath.org, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ^ أ ب “Sums and Differences of Cubes”, www.purplemath.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ↑ “The Sum and Difference of Cubes”, www.intmath.com, Retrieved 1-4-2020. Edited.
- ↑ “Factoring the Sum and Difference of Two Cubes”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب “Special Cases: Cubes”, www.montereyinstitute.org, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ^ أ ب “Sum of Cubes”, www.csun.edu, Retrieved 2-4-2020. Edited.
- ↑ “Factoring Sums of Cubes Practice Problems”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.