تحليل المعادلة التربيعية

طرق تحليل المعادلة التربيعية

يمكن تعريف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تظهر بالصيغة العامّة الآتية:^[١]

• أس² ب س ج = 0؛ حيث إنّ:
  • أ، ب، ج عبارة عن أعداد، قد تكون موجبة أو سالبة ويمكن للأعداد (ب، ج) أن تساوي صفراً، ويُطلق على العدد أ مُعامل س²، ب مُعامل س، ج الحدّ الثابت، وأعلى قيمة ممكنة لأس المتغيّر س في المعادلة التربيعية هو 2، وتُعدّ العبارات الآتية أمثلة على العبارات التربيعيّة:^[١]
    • س²-7س 11.
    • 4س² 3س-1.
    • س² 8س.
    • 3س² 2.

أما بالنسبة لعمليّة تحليل المعادلة التربيعية إلى العوامل فهي تتمثل في جعل المعادلة التربيعيّة تبدو على شكل حاصل ضرب حدّين أو أكثر وبأبسط صورة، والأمثلة الآتية توضح عمليّة تحليل العوامل:^[٢]

• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: 2س² 10س على الشكل الآتي: 2س(س 5)؛ حيثُ تمّ أخذ 2س كعامل مُشترك، فأصبحت العبارة التربيعة تساوي حاصل ضرب الحدّ 2س بالحدّ (س 5).
• يُمكن تمثيل المعادلة التربيعيّة: س²-16 على الشكل الآتي: (س-4)(س 4).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول حلّ المُعادلة التربيعيّة يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حل معادلة من الدرجة الثانية، طرق حل المعادلات الجبرية.

طريقة التخمين

يتم من خلال هذه الطريقة تحليل المعادلات التربيعية عندما تكون على الصورة القياسيّة: أس² ب س ج=0 عن طريق إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، وفي بعض الحالات قد تكون المُعادلة التربيعيّة أكثر تعقيداً مما يتطلب استخدام طرق أخرى تتمثل باستخدام الصيغة العامّة، أو إكمال المُربع، وفيما يأتي توضيح لاستخدام طريقة التخمين لتحليل المعادلة التربيعية:^[٣]

• تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ=1 يكون على النحو الآتي:^[٤]
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي ج.
  • كتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س ك)(س ل)؛ حيثُ يُمثل ك، ل العددين اللذين تمّ إيجادهما في الخطوة السابقة؛ فمثلاً إذا كان العددان هما: 1، -2 فإن المعادلة التربيعيّة تُكتب على النحو الآتي: (س 1)(س-2).
• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² س-6=0، أولاً يتمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 1، وناتج ضربهما يساوي -6، وهما: -2، 3، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي (س ك)(س ل)، وذلك كما يأتي: س² س-6=(س-2)(س 3)=0.^[٤]

• تحليل المعادلة التربيعيّة عندما يكون أ≠1 يكون على النحو الآتي:^[٤]
  • إيجاد حاصل ضرب أ×ج.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي ب، وناتج ضربهما يساوي أ×ج، ولنفترض أنهما العددان ك،ل.
  • كتابة العددين مكان ب على شكل مجموع عددين مضروبين في س؛ أي استبدال الحد (ب س)، بـ (ك ل)س، لتصبح المعادلة على شكل: أس² (ك ل)س ج=0، ثم على شكل: أس² ك س ل س ج=0، بعد فك الأقواس.
  • تحليل أول حدّين، وهما: (أس² ك س)، وذلك بأخذ العامل المشترك بينهما، ثمّ تحليل آخر حدّين، وهما: (ل س ج)، وذلك أيضاً بأخذ العامل المشترك بينهما.
  • أخذ عامل مُشترك لكتابة المُعادلة التربيعيّة على صورة حاصل ضرب حدّين.
• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 4س² 15س 9=0، أولاً يتمّ إيجاد حاصل ضرب 4×9=36، ثمّ تخمين العددين اللذين يساوي حاصل جمعهما 15، وناتج ضربهما يساوي 36، وهما 3، 12، ثمّ كتابة المُعادلة التربيعيّة على النحو الآتي: 4س² 3س 12س 9=0، بعدها يتمّ تحليل أول حدّين؛ حيثُ يُؤخذ س كعامل مشترك، وآخر حدّين؛ حيثُ يؤخذ العدد 3 كعامل مُشترك، ثمّ تُكتب على الصورة الآتية: س(4س 3) 3(4س 3)=0، ثمّ يتمّ أخذ الحد (4س 3) كعامل مُشترك وتُكتب المُعادلة على النحو الآتي: (4س 3)(س 3)=0.^[٤]

الفرق بين مربعين

يُمثّل الفرق بين مربعين حاصل طرح مربع عدد أو متغير من مربع عدد أو متغير آخر، وهي حالة خاصة من المعادلات التربيعية، وصورتها العامة هي: أ²-ب²؛ مثل: س²-36، ولتحليلها يمكن كتابتها على النحو الآتي:^[٥]

• أ²-ب²=(أ ب)(أ-ب)؛حيث:
  • أ: الجذر التربيعي للحد الأول.
  • ب: الجذر التربيعي للحد الثاني.
• فمثلاً لتحليل المعادلة: س²-16، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: س²-16=(س-4)(س 4)، ولتحليل 4س²-36، يمكن كتابتها بسهولة بعد أخذ الجذر التربيعي للحد الأول، وللحد الثاني على شكل: (2س-6)(2س 6)=0

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.

الصيغة العامة

تُستخدم الصيغة العامّة عندما تفشل الطرق السابقة في تحليل المُعادلة التربيعيّة وتكون الصيغة العامُة على الشكل الآتي:^[٦]

• س= (-ب ±(ب²-4أج)√)/2أ.

وتُستخدم هذه الصيغة للحصول على إجابتين؛ الأولى (س ) والثانية (س-)، وهذا ما تُشير إليه إشارة ±، تستخدم لكتابة المُعادلة على صورة: أ(س-س-)(س-س ).^[٦]

• فمثلاً لتحليل المُعادلة التربيعيّة التالية: 6س² 5س-6 يتمّ تعويض أ=6، ب=5، ج=6-، في قانون الصيغة العامّة لينتج أنّ: س= (-5 ±(5²-4×6×6-)√)/(2×6)، ومنه: س=-5±12/13، فبالتالي: س-=18/12-=3/2-، س = 8/12 =2/3، ثمّ يتمّ تعويض هاتين القيمتين وكتابة المعادلة التربيعية على الصورة: أ(س-س-)(س-س )، لينتج أن: 6س² 5س-6=6(س 3/2)(س-2/3)، ثمّ يمكن كتابة المعادلة بصورة أخرى لينتج أن: 6س² 5س-6=6(س 3/2)(س-2/3)=2×(س 3/2)×3×(س-2/3)=(3س-2)(2س 3).^[٦]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول تحليل المُعادلات يُمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل كثيرات الحدود.

أمثلة على تحليل المعادلة التربيعية

• المثال الأول: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 5س 6=0 ؟^[٧]
• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 5، وناتج ضربهما يساوي 6، وهما 2، 3.
  • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 2)(س 3)=0.

• المثال الثاني: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية إلى عواملها: س² س-12=0 ؟^[٧]
• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 1، وناتج ضربهما يساوي -12، وهما -3، 4.
  • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س-3)(س 4)=0.

• المثال الثالث: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 7س 10=0 ؟^[٧]
• الحلّ:
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 7، وناتج ضربهما يساوي 10، وهما 2، 5.
  • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 2)(س 5)=0.

• المثال الرابع: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: س² 17س-30=-102 ؟^[٧]
• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بإضافة 102 لطرفي المُعادلة لينتج أنّ: س² 17س 72=0.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 17، وناتج ضربهما يساوي 72، وهما 8،9.
  • ومنه تُكتب المُعادلة التربيعيّة على صورة: (س 8)(س 9)=0.

• المثال الخامس: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 3س²=5-14س ؟^[٨]
• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بطرح (5) من طرفيّ المُعادلة لينتج: 3س²-5=-14س، ثمّ إضافة 14س لطرفيّ المُعادلة لينتج: 3س² 14س-5=0.
  • إيجاد حاصل ضرب 3×-5=-15.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي 14، وناتج ضربهما يساوي -15، وهما 15، -1.
  • تعويض العددين مكان 14 في المُعادلة لينتج أنّ: 3س² (15-1)س-5=0، ومنه: 3س² 15س-س-5=0.
  • تحليل أول حدّين بأخذ 3س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ -1 كعامل مُشترك كالآتي: 3س(س 5)-(س 5)=0
  • أخذ (س 5) كعامل مُشترك لينتج أنّ: 3س² 14س-5=(س 5)(3س-1)=0.

• المثال السادس: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 10س²-11س-6=0 ؟^[٨]
• الحلّ:
  • إيجاد حاصل ضرب 10×-6=-60.
  • إيجاد رقمين حاصل جمعهما يساوي -11، وناتج ضربهما يساوي -60، وهما -15، 4.
  • تعويض الرقمين مكان -11 في المُعادلة لينتج أنّ: 10س² (4-15)س-6=0، ومنه:10س²-15س 4س-6=0.
  • تحليل أول حدّين بأخذ 5س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ 2 كعامل مُشترك كالآتي: 5س(2س-3) 2(2س-3)=0، **أخذ (2س-3) كعامل مشترك لينتج أن: 10س²-11س-6=(2س-3)(5س 2)=0 وهي الصيغة النهائيّة.

• المثال السابع: حلل المُعادلة التربيعيّة الآتية: 2(س² 1)=5س باستخدام طريقة التخمين ؟^[٩]
• الحلّ:
  • كتابة المُعادلة على الصورة القياسيّة بإدخال 2 داخل القوس لينتج: 2س² 2=5س، ثمّ طرح 5س من طرفيّ المُعادلة لينتج: 2س²-5س 2=0.
  • إيجاد حاصل ضرب 2×2=4.
  • إيجاد عددين حاصل جمعهما يساوي -5، وناتج ضربهما يساوي 4، وهما -1، -4.
  • تعويض العددين مكان -5 في المُعادلة لينتج أنّ: 2س² (-4-1)س 2=0، ومنه: 2س²-4س-س 2=0.
  • تحليل أول حدّين بأخذ 2س كعامل مُشترك، ثمّ تحليل آخر حدّين بأخذ -1 كعامل مُشترك كالتالي: 2س(س-2)-(س-2)=0.
  • أخذ (س-2) كعامل مُشترك لينتج أنّ: 2س²-5س 2=(س-2)(2س-1)=0.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} “Factorising quadratics”, www.mathcentre.ac.uk,7-8-2003، Retrieved 31-3-2020. Edited.
2. ↑ “Solving a Quadratic Equation: Factorisation”, www.toppr.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
3. ↑ “Factoring Quadratics”, www.chegg.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت ث} “Solving Quadratic Equations by Factoring”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
5. ↑ “Difference Of Squares”, www.brilliant.org, Retrieved 31-3-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} “factoring-quadratics”, www.mathsisfun.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب ت ث} “How to factor the quadratic equation”, www.varsitytutors.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “solve a quadratic equation by factoring”, www.onemathematicalcat.org, Retrieved 31-3-2020. Edited.
9. ↑ “Quadratic Equations by Factoring”, www.math-only-math.com, Retrieved 31-3-2020. Edited.