خصائص الدائرة

خصائص الدائرة

يُمكن تعريف الدائرة (بالإنجليزية: Sphere) على أنها الشكل الهندسي الناتج من مجموعة من النقاط التي تقع على مسافة ثابتة من نقطة معينة ثابتة تُعرف عادة باسم مركز الدائرة،^[١] وللدائرة نصف قطر بٌمكن تعريفه على أنه المسافة من مركز الدائرة إلى أيّة نقطة على محيطها ويُرمز له بالرمز (نق)، أما القطر فهو الخط الواصل بين نقطتين على محيط الدائرة بشرط مروره من المركز، وهو أطول وتر في الدائرة ويُرمز به بالرمز (ق)، والقطر ونصف القطر مترابطان حيث إن القطر يعادل ضعف نصف القطر تماماً، ق=2نق.^[٢]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن الدائرة ومحيطها.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قطر الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حساب قطر الدائرة.

خصائص الخطوط المتعلقة بالدائرة

من أشهر الخطوط المتعلقة بالدائرة وخصائصها ما يأتي:^[١]

• الوتر: (بالإنجليزية: Chord) هو القطعة المستقيمة الواصلة بين نقطتين على حدود الدائرة، ويقسم الخط العمودي الساقط من مركز الدائرة الوتر إلى نصفين متساويين، ومن أهمّ خصائص الوتر أيضاً في الدائرة ما يأتي:^[٣]
  • أقواس الدائرة الواحدة تتساوى إذا تساوت قياسات أوتارها؛ فمثلاً إذا كان أ ب، جـ د أوتار في دائرة ما، وكان أ ب = جـ د، فإن: القوس أ ب = القوس جـ د
  • عند توازي الأوتار فإن الأقواس المحصورة بينهما تكون متساوية؛ فمثلاً إذا كان أ ب يوازي جـ د، إذن: القوس أ د = القوس ب جـ.
  • عند تقاطع وترين أ ب ، جـ د عند النقطة (و) فإنّ ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي: أو×وب=جـ و×ود.
  • الأوتار ذات الأطوال المتساوية تبعد نفس المسافة عن المركز.
  • كلما زاد طول الوتر أصبح أقرب لمركز الدائرة.
  • الأوتار ذات الطول المتساوي تقابل زوايا مركزية مُتساوية أيضاً، وفي المقابل الزوايا المركزية المتساوية تقابلها أوتار متساوية أيضاً.^[٤]
• المماس: (بالإنجليزية: Tangent) هو الخط الذي يمسّ الدائرة في أية نقطة، ويتعامد نصف القطر مع المماس في النقطة التي يمسّ فيها الدائرة، ويتميز أيضاً بالخصائص الآتية:
  • إذا رُسم مماسان من النقطة الخارجيّة (ع) ليمسا دائرة ما مركزها م عند النقطتين (ق)، (ل)؛ فإنّ:^[٥]
    • ع ق=ع ل.
    • الزاوية ع م ق=الزاوية ع م ل.
    • الزاوية م ع ق=الزاوية م ع ل.
  • عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة الوتر أب.^[٦]
  • أقصر مسافة من مركز الدائرة إلى المماس هي نصف قطر الدائرة.

لمزيد من المعلومات حول خصائص الدائرة والأشكال الهندسيّة الأخرى يُمكنك قراءة المقال الآتي: الأشكال الهندسية وخواصها، بحث عن الأشكال الهندسية.

خصائص الزوايا المتعلقة بالدائرة

• الزاوية المحيطيّة: (بالإنجليزية: Inscribed Angle) هي الزاوية التي تتشكّل من التقاء وترين على محيط الدائرة، ومن خصائصها:^[١][٢]
  • تتساوى الزوايا المرسومة على نفس القوس في قياسها.
  • الزاوية المحيطية لنصف الدائرة تساوي 90° في قياسها.
  • الزوايا المحيطيّة المقابلة لنفس الوتر وعلى جهتين متقابلتين منه يكون مجموعهما مُساوياً لـِ 180°.^[٣]
  • كلما زاد قياس الزاوية المحيطيّة كان طول القوس المقابل لها أكبر.
  • تتساوى الزوايا المقابلة لنفس القوس في قياسها.
• الزاوية المركزية: (بالإنجليزية: Central Angle)، هي الزاوية التي يكون رأسها على مركز الدائرة، ويكون نهاية كل من أضلاعها على محيط الدائرة، ومن خصائصها:^[١]
  • قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس.
  • تتساوى الأقواس التي تُكوّن زوايا مركزية مُتساوية.
  • كلما زاد قياس الزاوية المركزيّة كان طول القوس المقابل لها أكبر.
  • إذا كانت الزاوية المركزية= 180°=π، فإن القوس المتشكّل بهذه الزاوية يمثّل نصف محيط الدائرة.
  • إذا كانت الزاوية المركزية= 360°=2π، فإن القوس المتشكّل بهذه الزاوية يمثّل محيط الدائرة كاملاً.
  • تتساوى الزوايا المقابلة لنفس القوس في قياسها.

لمزيد من المعلومات حول قطر الدائرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب قطر الدائرة، ما هو قانون نصف قطر الدائرة.

خصائص عامة للدائرة

من الخصائص العامّة للدائرة ما يأتي:^[٧]

• تتطابق الدوائر إذا كان نصف قطرها مُتساوٍ.
• قطر الدائرة هو أطول وتر في الدائرة.
• تقل المسافة العمودية بين مركز الدائرة والوتر كلما زاد طول الوتر.
• عند رسم مماسيّن عند نهايتيّ قطر الدائرة فإنّهما مُتوازيان.
• المُثلث الذي يتشكّل من نصفيّ قطر الدائرة، والوتر الواصل بين طرفيهما يكون مُثلثاً مُتساوي الساقين.
• إذا قُسم المُحيط لأيّ دائرة على قطرها فإنّ الناتج يكون دائماً قيمة ثابتة تُدعى باي (بالإنجليزية: pi)، وتساوي تقريباً 3.142.^[٨]

أمثلة على خصائص الدائرة

• المثال الأول: تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= 4وحدات، وطول وب= 6 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=3 وحدات، فجد طول ود؟^[٢]
  • الحل:
  • من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: ود×3=4×6، وبقسمة الطرفين على 3 ينتج أنّ: ود=8 وحدات.

• المثال الثاني: دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 50°، فما قياس الزاوية أ م ب؟^[٦]
  • الحل:
  • وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب=50°.
  • وفق الخاصية: قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ فإن الزاوية المركزية أ م ب المقابلة للوتر (أب)= 2×الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر (أب)، لينتج أن: الزاوية (أ م ب)= 2×50°= 100°.

• المثال الثالث: زاوية محيطيّة وزاوية مركزيّة تقابلان نفس القوس، فإذا كان قياس الزاوية المحيطيّة= 62°، فما قياس الزاوية المركزيّة؟^[٤]
  • الحل:
  • بما أنّ قياس الزاوية المركزيّة = ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس ينتج أنّ: الزاوية المركزيّة =2×62°= 124°.

• المثال الرابع: دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية أ م ب= 90°، وقياس الزاوية أم جـ= 110°، فما قياس الزاوية ب أ جـ؟^[٩]
  • الحل:
  • بما أن الزاوية أ م ب الزاوية أ م جـ الزاوية جـ م ب= 360°، ينتج أن 90° 110° الزاوية جـ م ب= 360°، ومنه الزاوية جـ م ب= 160°.
  • وبما أنّ الزاوية جـ م ب= 2×الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج أن 160°=2× الزاوية ب أ جـ، وبقسمة الطرفين على 2 ينتج أنّ: الزاوية ب أ جـ= 80°.

• المثال الخامس: دائرة مركزها النقطة م، فيها الوتران أب، أجـ، وقياس الزاوية ب أ جـ = 50°، فما قياس الزاوية م ب جـ؟^[٩]
  • الحل:
  • الزاوية ب م جـ = 2× الزاوية ب أ جـ، وفق الخاصية قياس الزاوية المركزيّة يساوي ضعف قياس الزاوية المُحيطيّة المرسومة على نفس القوس؛ لينتج منه أن الزاوية ب م جـ = 2×50°= 100°.
  • في المثلث المتساوي الساقين م ب جـ ، م ب = م جـ؛ لأنهما يمثلان أنصاف أقطار في الدائرة، وعليه فإنّ الزاوية م ب جـ = الزاوية م جـ ب.
  • وبما أنّ مجموع زوايا المثلث يساوي 180°، ينتج أنّ: م ب جـ الزاوية م جـ ب الزاوية ب م ج =180°، ومنه: م ب جـ الزاوية م جـ ب 100°= 180°، وعليه فإنّ: م ب جـ الزاوية م جـ ب=80°، بالتالي: 2× الزاوية م ب جـ = 80°، ومنه الزاوية م ب جـ = 40°.

• المثال السادس: دائرة مركزها و، فيها الأوتار: أب، ب جـ، والنقطة د ناتجة عن تقاطع نصف القطر و جـ مع الوتر أ ب وهو عمودي عليه، والزاوية و أ ب =20°، الزاوية و جـ ب = 55°، فما قياس الزاوية ب و جـ والزاوية أ و جـ؟^[٩]
  • الحل:
  • نفرض أنّ الزاوية ب و جـ = س، والزاوية أ و جـ = ص
  • الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°؛ لأنهما تمثلان زوايا القاعدة للمثلث متساوي الساقين (أوب).
  • من المثلث و أ د، والمثلث و ب د، و أ = وب لأنهما أنصاف أقطار في الدائرة، ود = ود لأنه ضلع مُشترك بين المثلثين، الزاوية و ب أ = الزاوية و أ ب = 20°، والزاوية ودب=الزاوية ودأ؛ لأن نصف القطر عمودي على الوتر أب، ومنه المثلث و أ د يطابق المثلث و ب د، ومنه ينتج أنّ: س = ص.
  • في المثلث و د أ يكون مجموع الزاوية أ و د الزاوية و أ د الزاوية و د أ = 180°، ومنه: ص 90° 20°= 180°، بالتالي: ص = 70°، ومنه: س = ص = 70°.

• المثال السابع: تقاطع وتران أب، جـ د عند النقطة (و)، حيثُ يُقسّم كل منهما الآخر إلى جُزئين، وفي الوتر الأول كان طول أو= (س 4) وحدات، وطول وب= 10 وحدات، بينما في الوتر الثاني كان طول جـ و=(س 1) وحدات، وطول ود=15 وحدة؟^[٢]
  • الحل:
  • من خاصيّة تقاطع الأوتار ينتج أنّ: ناتج ضرب أجزاء الوتر الأول يساوي ناتج ضرب أجزاء الوتر الثاني ببعضها؛ أي أن: 10×(س 4)=(15)×(س 1)، وبتبسيط المعادلة ينتج أن: 10س 40=15س 15، 5س=25، وبقسمة الطرفين على 5 ينتج أنّ: س=5 وحدات.

• المثال الثامن: دائرة مركزها م فيها المماس دأ يمُسّ الدائرة في النقطة أ ويلتقي مع الوتر أب في النقطة أ، فإذا كان قياس الزاوية ب أ د= 40°، والزاوية ب أ جـ= 65°، علماً أن جـ نقطة تقع على محيط الدائرة، في الجهة المقابلة للوتر أب، فما قياس الزاوية أ ب جـ؟^[٦]
  • الحل:
  • وفق الخاصية: عند التقاء المماس دأ الذي يمُسّ الدائرة في النقطة أ مع الوتر أب فإنّ الزاوية المحصورة بينهما تساوي الزاوية المُحيطيّة أجـ ب المقابلة للوتر أب، وعليه فإن قياس الزاوية المحيطية المقابلة للوتر أب، وهي (أجـ ب)=40°.
  • في المثلث أب جـ الزاوية ب أ جـ معلومة وتساوي 65°، والزاوية أجـ ب تساوي 40°، وبما أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180°؛ فإن الزاوية أب جـ=180-65-40=75°.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة القطاع الدائري يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة القطاع الدائري.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول طول قوس الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون طول قوس الدائرة.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث} Asif M (18-6-2019), “Properties of Circle | Circle Formulas – Area and Perimeter”، www.e-gmat.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث} Hemang Agarwal, Cheolho Han, Tran Quoc Dat, “Circles”، www.brilliant.org, Retrieved 26-3-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “Circle, disk, segment, sector. Formulas, characterizations and properties of circle”, www.onlinemschool.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “Chord of Circle: Theorems, Properties, Definitions, Videos”, www.toppr.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
5. ↑ “Properties_of_circle”, www.ghs.edu.hk, Retrieved 26-3-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} “Alternate Segment Theorem”, www.brilliant.org, Retrieved 26-3-2020. Edited.
7. ↑ “Properties of Circle”, www.byjus.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
8. ↑ “circle”, www.mathopenref.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب ت} veerendra (16-9-2016), “properties-of-circles”، www.aplustopper.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.