خصائص الشبه منحرف

خصائص شبه المنحرف

يُعرف شبه المنحرف (بالإنجليزية: Trapezoid) بأنه شكل رباعي فيه ضلعان متوازيان فقط، يُعرف كل منهما بقاعدة شبه المنحرف، وهذا على عكس متوازي الأضلاع الذي يكون فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان، ويتميز شبه المنحرف بالخصائص الآتية:^[١]

• قاعدتا شبه المنحرف متوازيتان.
• الزوايا المتجاورة؛ أي زوايا القاعدة العلوية، والسفلية في شبه المنحرف متكاملة؛ أي مجموعها 180 درجة.
• مجموع الزوايا في شبه المنحرف 360 درجة كما هو حال أي شكل رباعي.
• يحتوي شبه المنحرف على أربعة رؤوس تعرف بزوايا شبه المنحرف.^[٢]
• يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف (الخط المتوسط) عن طريق إيجاد الوسيط لقاعدتي شبه المنحرف، أي: طول الخط المتوسط=طول القاعدتين المتوازيتين/2.^[٢]
• قطرا شبه المنحرف يتقاطعان في نقطة واحدة، وهذه النقطة تقع على استقامة واحدة مع نقطة المنتصف للأضلاع المقابلة.^[٣]
• يحتوي شبه المنحرف على أربعة أضلاع غير متساوية، وكما ذُكر سابقاً: اثنان منهما متوازيين، واثنان غير متوازيين.^[٤]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن شبه المنحرف.

أما شبه المنحرف متساوي الساقين فيتميز بالعديد من الخصائص الخاصة به، وهي:^[٥]

• ضلعا شبه المنحرف الغير متوازيين متساويان في الطول.
• زوايا القاعدة السفلية متطابقة؛ أي متساوية في القياس، وكذلك الحال بالنسبة لزوايا القاعدة العلوية.
• أقطاره متطابقة، أي متساوية في الطول.
• أي من زوايا القاعدة العلوية في شبه المنحرف تعتبر زاوية متكاملة مع أي من زوايا القاعدة السفلية؛ أي تصنع معها زاوية قياسها 180 درجة.

أنواع شبه المنحرف

هناك عدة أنواع لشبه المنحرف، وهي:^[٦]

• شبه المنحرف مختلف الأضلاع (بالإنجليزية: Scalene trapezoid): وهو شبه المنحرف الذي تكون أضلاعه الأربعة غير متساوية؛ حيث تكون قاعدتاه متوازيتين، ولكنهما مختلفتان في الطول، أما ساقيه فهما غير متوازيين، وغير متساويين.
• شبه المنحرف متساوي الساقين (بالإنجليزية: Isosceles trapezoid): وهو الذي تكون ساقاه متساويتين، ولكنهما غير متوازيتين، وقاعدتاه متوازيتان، وغير متساويتين.
• شبه المنحرف قائم الزاوية (بالإنجليزية: Right trapezoid): وهو الذي يحتوي على زاويتين قائمتين تقعان بين القاعدتين، وإحدى الساقين.
• شبه المنحرف منفرج الزاوية (بالإنجليزية: Obtuse trapezoid): هو الذي يحتوي على زاوية منفرجة بين القاعدة، وإحدى الساقين، وزاوية منفرجة تعني زاوية أكبر من 180 درجة.
• شبه المنحرف حاد الزوايا (بالإنجليزية: Acute trapezoid): وهو الذي تكون زاويتاه المحصورتان بين القاعدة الأطول وبين الساقين أقل من 90 درجة، أي حادتان.

أمثلة متنوعة على خصائص شبه المنحرف

• المثال الأول: شبه منحرف أ ب جـ د طول قاعدتيه (أب)، و(جـ د) 12سم، و18سم على التوالي، وطول الخط الواصل (ع و) بين منتصف ضلعيه غير المتوازيين (ب جـ)، و (أد) هو 2ص – 1، فما هي قيمة ص؟^[٧]
  • الحل: يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف عن طريق حساب طول الخط المتوسط لشبه المنحرف، وهو يساوي: الخط المتوسط =مجموع طلوي القاعدتين/2= (12 18)/2= 30/2= 15سم.
  • يمكن إيجاد قيمة ص كما يأتي: 2ص – 1 = 15، ومنه 2ص = 16، ومنه: ص= 8.

• المثال الثاني: شبه منحرف (د هـ و ي) طول قاعدتيه (د هـ)، و (و ي) 21سم، و27سم على التوالي، وطول الخط الواصل (أ ب) بين منتصف ضلعيه غير المتوازيين ( هـ و)، و (د ي) هو 5س – 1، فما هي قيمة س؟^[٨]
  • الحل: يمكن إيجاد قيمة الخط الواصل بين منتصف الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف عن طريق حساب طول الخط الوسيط لقاعدتي شبه المنحرف، وهو يساوي: الخط المتوسط =مجموع طلوي القاعدتين/2= (21 27)/2= 48/2= 24سم
  • يمكن إيجاد قيمة س كما يلي: 5س – 1 = 24، ومنه 5س = 25، وعليه: س = 5.

• المثال الثالث: شبه منحرف (ن هـ و ي) متساوي الساقين فيه قيمة الزاوية (ي) 64 درجة، وقيمة الزاوية (هـ) 4 (3ص 2)، فما هي قيمة ص؟^[٨]
  • الحل: يمكن إيجاد قيمة ص باتباع الخطوات الآتية:
  • بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن طول زوايا القاعدة العلوية (ن هـ) متساوي، وطول زوايا القاعدة السفلية (و ي) متساوٍ أيضاً، وبالتالي فإن قياس الزاوية (و) يساوي 64 درجة، وقياس الزاوية (ن) يساوي 4 (3ص 2).
  • من المعلوم أن مجموع قياس زوايا أي شكل رباعي يساوي 360 درجة، وبالتالي فإنه يمكن باستخدام هذه المعلومة إيجاد قيمة الزاويتين المجهولتين ن و هـ، وذلك كما يلي:
    • قياس ن قياس هـ قياس و قياس ي=360، ولنفرض أن قيمة الزاويتين المجهولتين تساوي س، وهما الزاويتان (ن)، (هـ) ينتج أن: س س 64 64= 360، ومنه: 2س = 232، وعليه: س = 116 درجة، وهو قياس كل من الزاويتين (ن)، (هـ).
  • بعد إيجاد قيمة الزاويتين (ن) و (هـ) يمكن إيجاد قيمة المتغير ص، وذلك كما يلي: 4(3ص 2)= 116، ومنه 12 ص 8 = 116، ومنه: 12 ص = 108، وعليه: ص= 9.

• المثال الرابع: شبه منحرف متساوي الساقين أ ب جـ د، فيه قياس الزاوية (ب) 115 درجة، فما هو قياس الزاوية (د)، علما أن الضلعين جـ ب، و د أ متساويان في القياس؟^[٩]
  • الحل: بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن الزاوية ب تساوي الزاوية أ، والزاوية جـ تساوي الزاوية د، وبالتالي فإن الزاوية (أ) قياسها 115 درجة.
  • بما أن كل زاويتين متجاورتين في شبه المنحرف متكاملتان؛ أي مجموعها 180 درجة، وبالتالي فإن يمكن إيجاد قياس الزاوية د كما يأتي:
    • قياس الزاوية أ قياس الزاوية د = 180، ومنه 115 ∠أدجـ = 180، علما أن الإشارة ∠ تعني قياس الزاوية.
    • وعليه ∠ أدجـ = 65 درجة.

• المثال الخامس: شبه منحرف ل م ن هـ فيه قياس القاعدة العلوية (ل م) يساوي 5سم، والساق الأولى (ل ن) يساوي 3سم، والقاعدة السفلية (ن هـ) يساوي 7سم، فما هو طول الضلع (م هـ) علما أن زاويتي القاعدة العلوية (ل) و (م) متطابقتان، وأن قاعدتي شبه المنحرف (ن هـ) و (ل م) متوازيتان؟^[٩]
  • الحل: بما أن زاويتي القاعدة السفلية متطابقتان، فإن شبه المنحرف هذا متساوي الساقين، وبالتالي فإن الضلعين غير المتوازيين (ل ن)، و (م هـ) متساويان في القياس، وبالتالي فإن طول الضلع (م هـ) في هذا الشكل يساوي 3سم.

• المثال السادس: شبه منحرف أ ب جـ د فيه طول الضلع أد 4سم، وقطراه (أجـ)، و (دب) متطابقان، وقاعدتاه (أب)، و (جـ د) متوازيتان فما هو طول الضلع (ب جـ)؟^[٩]
  • الحل: بما أن قطرا شبه المنحرف هذا متساويين في القياس فإن شبه المنحرف متساوي الساقين، وبالتالي فإن الضلعين غير المتوازيين أ ب، و د جـ متساويان في الطول، وبالتالي فإن طول الضلع (ب جـ) يساوي 4 سم.

• المثال السابع: شبه منحرف (ف ل د ي) فيه قياس القاعدة العلوية (ف ل) 4سم، وإحدى الساقين (ل د) 6سم، والقاعدة السفلية (د ي) 10سم، و الساق الاخرى (ي ف) 8سم، والضلع س ص يشكّل خط الوسط لشبه المنحرف هذا، ويصل بين الضلعين غير المتوازيين (ي ف)، و (دل)؛ حيث تقع النقطة س على منتصف الضلع (ي ف)، وتقع النقطة ص على الجهة المقابلة على منتصف الضلع (د ل)، فما هو قياس الضلع س ي؟^[٩]
  • الحل: يشكل الضّلع (س ص) الوسيط في شبه المنحرف؛ حيث إنه يقسم الضلعين غير المتوازيين إلى جزأين متساويين تماماً، وبالتالي فإن الضلع (س ي) يساوي منتصف الضلع (ي ف)، ويساوي 4سم.

• المثال الثامن: شبه منحرف (أ ب جـ د) متساوي الساقين فيه قياس الزاوية (ج) 72 درجة، وقياس الزاوية (أ) س درجة، فما هي قيمة الزاوية س؟^[١٠]
  • الحل: بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن زوايا القاعدة العلوية، وزوايا القاعدة السفلية متطابقة أي أن قياس الزاوية (د) يساوي قياس الزاوية (جـ)، ويساوي 72 درجة، وقياس الزاوية (أ) يساوي قياس الزاوية (ب) وهو س درجة.
  • بما أن مجموع زوايا الشكل الرباعي 360 درجة، وبالتالي فإن 72 72 س س = 360، ومنه 2س = 216، وعليه: س = 108 درجة؛ أي أن قياس الزاوية أ= قياس الزاوية ب=108 درجة.

• المثال التاسع: شبه منحرف متساوي الساقين (أ ب جـ د) فيه قياس الزاوية جـ 35 درجة، والزاوية أ، والزاوية ب متطابقتان، فما هو قياس الزاوية أ؟^[١٠]
  • الحل: بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين فإن الزوايا المتجاورة متكاملة؛ أي مجموعهما 180 درجة، وبالتالي: إن الزاوية جـ، والزاوية ب متكاملتان، وقياس الزاوية ب يساوي 180 – 35= 145درجة.
    • قياس الزاوية أ يساوي قياس الزاوية ب ويساوي 145 درجة.

• المثال العاشر: شبه منحرف (أ ب جـ د) متساوي الساقين، فيه قياس الزاوية (ب): 120 درجة، والزاوية د: ص، والزاوية جـ: س، فما هو مجموع قياس س، وص؟^[١٠]
  • الحل: بما أن شبه المنحرف متساوي الساقين إذاً فزوايا القاعدة العلوية أ،ب متساوية، وكذلك الأمر بالنسبة لزوايا القاعدة السفلية جـ،د، وبالتالي فإن:
    • الزاوية أ مساوية للزاوية ب، وتساوي 120 درجة.
    • والزاوية س مساوية للزاوية ص.
  • يمكن إيجاد مجموع قيمتي س، وص كما يأتي:
    • 360=120 120 س ص، ومنه: س ص = 360 – 120 – 120= 120 درجة.

• المثال الحادي عشر: شبه المنحرف (أب ج د) متساوي الساقين، فيه طول القاعدة العلوية (أب) 7سم، والزاوية جـ=75 درجة، تم فيه إنزال العمودين أص، ب س من الزاويتين (أ)، (ب) نحو القاعدة (جـ د)، فإذا كان طول (س جـ) 3سم، جد قياس الزاوية (د)، والضلع (دص)، والقاعدة السفلية (دجـ) والمستقيم المتوسط لشبه المنحرف هذا.^[١١]
  • الحل:
  • حساب الزاوية (د): قياس الزاوية (د)= قياس الزاوية (جـ)=75 درجة؛ وفق خصائص شبه المنحرف متساوي الساقين، والذي فيه زوايا القاعدة العلوية متساوية وكذلك السفلية.
  • حساب (دص): حساب طول الضلع (أد) والذي يساوي الضلع (ب جـ) باستخدام قانون جيب تمام الزاوية؛ حيث جتا(جـ)=المجاور/الوتر، جتا(75)=3/(أد)=0.26، ومنه: (أد)=11.54سم= (ب جـ)، ثم حساب طول (دص) باستخدام جيب تمام الزاوية (د)؛ حيث جتا(د)= دص/أد=جتا(75)=دص/11.54، ومنه دص=3سم.
  • حساب القاعدة (دجـ)=دص ص س س جـ=3 7 3=13سم.
  • المستقيم المتوسط=مجموع طولي القاعدتين/2=(13 7)/2=10سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قوانين شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين شبه المنحرف.

فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته

للتعرف حول المزيد شاهد الفيديو:^[١٢]

المراجع

1. ↑ “Isosceles Trapezoid: Definition, Properties & Formula”, study.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Properties of a Trapezoid”, www.moomoomath.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
3. ↑ “Trapezoids”, byjus.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
4. ↑ “Area Of Trapezium”, byjus.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
5. ↑ “The Properties of Trapezoids and Isosceles Trapezoids”, www.dummies.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
6. ↑ “What Is a Trapezoid? (Definition & Properties)”, www.tutors.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
7. ↑ “Properties of Trapezium and Kite”, www.toppr.com, Retrieved 27-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “Properties of Trapezoids and Kites”, www.wyzant.com, Retrieved 27-3-2020. Edited.
9. ^ ^{أ ب ت ث} “2.12 Trapezoid Properties”, www.ck12.org, Retrieved 27-3-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب ت} “How to find an angle in a trapezoid”, www.varsitytutors.com, Retrieved 27-3-2020. Edited.
11. ↑ “The Trapezoid “, www.math.uh.edu, Retrieved 30-3-2020. Edited.
12. ↑ فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته.