قانون محيط شبه المنحرف

نظرة عامة حول محيط شبه المنحرف

لمعرفة كيفية إيجاد محيط شبه المنحرف فإنه ينبغي التطرّق إلى مفهوم كل من شبه المنحرف، ومحيط شبه المنحرف أولاً، وذلك كما يأتي:^[١]

• شبه المنحرف: هو شكل رباعي فيه ضلعان متقابلان، ومتوازيان.
• محيط شبه المنحرف: هو المسافة المحيطة بشبه المنحرف، أو بمعنى آخر هو مجموع أطوال أضلاع شبه المنحرف.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن شبه المنحرف.
لمزيد من المعلومات والأمثلة حول خصائص شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الشبه منحرف.

قوانين حساب محيط شبه المنحرف

يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف عن طريق مجموعة من القوانين، وهي:^[١]

• القانون الأول: محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه كما ذُكر سابقاً، وبالرموز: محيط شبه المنحرف = أ ب جـ د؛ حيث:
  • أ، ب،ج،د: أضلاع شبه المنحرف.
• فمثلاً لو كان هناك شبه المنحرف أ ب جـ د، أطوال أضلاعه 5سم 3سم، 7سم، 2سم على التوالي، فإن محيطه هو: 2 5 3 7= 17سم.
• القانون الثاني: محيط شبه المنحرف= القاعدة العلوية القاعدة السفلية الارتفاع×((1/جا زاوية القاعدة اليمنى) (1/جا زاوية القاعدة اليسرى))، وبالرموز: محيط شبه المنحرف= أ ب ع×((1/جاس) (1/جاص))، حيث:^[٢]
  • أ، وب: هما قياس الضلعين المتقابلين، والمتوازيين في شبه المنحرف.
  • ع: ارتفاع شبه المنحرف
  • س، ص: هما الزاويتان المحصورتان بين القاعدة السفلية، والضلعين غير المتوازيين.
• محيط شبه المنحرف متساوي الساقين: يمكن حساب محيط شبه المنحرف متساوي الساقين باستخدام القانون الخاص الآتي: محيط شبه المنحرف= أ ب 2جـ، حيث:^[٣]
  • أ، وب: هي طول الضلعين المتوازيين في شبه المنحرف.
  • جـ: هي طول هي طول أحد الضلعين غير المتوازيين في شبه المنحرف، والمتساويين في الطول.
• محيط شبه المنحرف القائم: وهو شبه منحرف فيه زاويتان قائمتان، ويمكن إيجاد محيط شبه المنحرف القائم من خلال العلاقة الآتية:
• المحيط = أ ع₁ ع₂ الجذر التربيعي للقيمة (أ² (ع₂ – ع₁)²؛ حيث:^[٤]
  • أ: هي طول أحد أضلاع شبه المنحرف، وهو الضلع القائم على الضلعين الآخرين.
  • ع₁: طول أحد الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف (الضلع الأول).
  • ع₂: طول أحد الضلعين المتوازيين لشبه المنحرف (الضلع الثاني).

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط شبه المنحرف القائم يمكنك قراءة المقال الآتي: محيط شبه المنحرف القائم.

يمكن أيضاً حساب محيط شبه المنحرف باستخدام كل من نظرية فيثاغورس، والقانون العام لمحيط شبه المنحرف، في حال معرفة الارتفاع، وطول القاعدة العلوية، وطولي الضلعين غير المتوازيين؛ فمثلاً لو كان هناك شبه منحرف ارتفاعه 9سم، وطول قاعدته العلوية 6سم، وطول ضلعيه 6سم، والضلع الآخر 6سم فما هو محيطه:^[٥]

• لحل هذا السؤال يتم تقسيم شبه المنحرف إلى مثلثين قائمي الزاوية، ومستطيل، عن طريق رسم عمود من الزاويتين العلويتيتن لشبه المنحرف، وإسقاطهما نحو القاعدة، وبالتالي فإن جزءاً من القاعدة السفلية يساوي في طوله القاعدة العلوية، ويساوي 6سم، أما الجزأين الآخرين من القاعدة السفلية، والذي يمثّل كل منهما قاعدة المثلث قائم الزاوية، فيمكن حسابهما عن طريق تطبيق نظرية فيثاغورس، وذلك باستخدام طول كل من الضلعين غير المتوازيين في كل جهة من شبه المنحرف، والارتفاع؛ حيث: مربع الضلع الاول غير المتوازي لشبه المنحرف=مربع الارتفاع مربع قاعدة المثلث قائم الزاوية؛ ليكون قياسهما بعد تطبيق النظرية: قياس القاعدة الأولى للمثلث القائم الأول= الجذر التربيعي للرقم 45، وقياس القاعدة الثانية للمثلث القائم الثاني=الجذر التربيعي للرقم 45، وبالتالي فإن القاعدة السفلية كاملة= 45√2 6.
• بعد إيجاد طول القاعدة السفلية يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف باستخدام قاعدة مجموع أطوال أضلاعه، وذلك كما يأتي:
  • محيط شبه المنحرف= طول ضلعي شبه المنحرف طول القاعدة العلوية طول القاعدة السفلية، ومنه: محيط شبه المنحرف= (45√2 6) 6 6 6=24 45√2سم.

ملاحظة: يمكن في بعض الأحيان الاستعانة بقوانين جيب الزاوية وجيب تمامها، في حال معرفة قياس زوايا شبه المنحرف، لحساب طول الأضلاع المجهولة ثم حساب قيمة المحيط باستخدام القانون العام لشبه المنحرف.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قوانين شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين شبه المنحرف.

أمثلة متنوعة حول محيط شبه المنحرف

• المثال الاول: شبه منحرف أ ب جـ د، طول ضلعيه 4سم، و7سم، وطول قاعدتيه العلوية، والسفلية 12سم، و15سم، على الترتيب، فما هو محيطه؟^[٦]
  • الحل: محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أضلاعه الأربعة= 4 7 12 15= 38سم.

• المثال الثاني: شبه منحرف طول أضلاعه 5سم، و12سم، و4سم، و15سم، فما هو محيطه؟^[٧]
  • الحل: محيط شبه المنحرف = مجموع أطوال أضلاعه، ومنه محيط شبه المنحرف = 5 12 4 15= 36سم.

• المثال الثالث: شبه منحرف أ ب جـ د، قائم الزاوية في د،ج، وقاعدته (ب ج) فيه طول (أد) 13سم، و (ب جـ) 19سم، و(أب)، تم إسقاط العمود (أ و) من الرأس أ إلى القاعدة (ب ج) فانقسم شبه المنحرف إلى المثلث القائم (أوب)، قائم الزاوية في (و)، والمربع (أوج د)، فما هو محيط شبه المنحرف؟^[٨]
  • الحل: محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة أي: أد ب جـ جـ د أب، وجميع الأطوال موجودة ما عدا الضلع ج د.
  • يمكن إيجاد طول الضلع (ج د) عن طريق حساب طول الضلع (أو) الذي يساويه حسب خصائص المربع؛ وذلك لأنهما يشكلان ضلعين من أضلاع المربع، والمربع جميع أضلاعه متساوية.
  • حساب طول الضلع (أو) الذي يشكّل أحد ضلعي المثلث القائم عن طريق نظرية فيثاغورس، وذلك بعد حساب طول الضلع (ب و) الذي يشكل الضلع الثاني للمثلث القائم، وهو يساوي 19-13=6سم، ، أما الضلع الآخر فهو (أب) والذي يشكّل وتر المثلث (أوب)؛ فحسب نظرية فيثاغورس: أب²=ب و² أو²، ومنه 10²=6² أو، ومنه أو=8سم.
  • بعد إيجاد الضلع أد يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف، ويساوي مجموع أطول أضلاعه=8 13 10 19، ويساوي 50سم.

• المثال الرابع: شبه منحرف (د هـ و ي)، قاعدته (ي و)، فيه طول (د هـ) 52سم، و(دي) 34سم ، و (ي و) 94سم، تم إسقاط العمود (هـ س) الذي يبلغ طوله 16 من الرأس (هـ) إلى القاعدة (ي و)، فتشكّل المثلث القائم ( هـ س و)، قائم الزاوية في (س)، فما هو محيط شبه المنحرف؟^[٨]
  • الحل: محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه الأربعة ، وهي: د هـ هـ و ي و د ي، وجميع الأطوال موجودة ما عدا الضلع (هـ و).
  • إسقاط عمود من الزاوية د إلى القاعدة (ي و)، لتشكيل المثلث قائم الزاوية (دع ي) قائم الزاوية في ع، وذلك لحساب طول الضلع (ي ع)، وعليه وحسب نظرية فيثاغورس: دي²=ي ع² دع²، ومنه 34²=ي ع² 16²، ومنه (ي ع)=30سم تقريباً، ثم حساب طول الضلع (س و) الذي يشكّل أحد أضلاع المثلث القائم، وهو: 94-30-52=12سم.
  • تطبيق نظرية فيثاغورس على المثلث (هـ س و) بعد أن أصبحت قيمة ضلعين من ضلعيه معروفة، لحساب قيمة (هـ و)، وعليه: هـ و²=هـ س² س و²، ومنه: هـ و²=16² 12²= 20سم.
  • بعد إيجاد الضلع (هـ و) يمكن إيجاد محيط شبه المنحرف، ويساوي مجموع أطوال أضلاعه: 20 52 34 94=200سم.

• المثال الخامس: شبه منحرف متساوي الساقين يحتوي على قاعدتين متوازيتين القاعدة الكبرى أكبر بأربع مرات من القاعدة الصغرى التي قياسها 2.5سم، أما الضلعين الآخرين في شبه المنحرف المتساويين في الطول، وغير المتوازيين فطول كل منهما 4.5سم، فما هو محيط شبه المنحرف؟^[٨]
  • الحل: محيط شبه المنحرف متساوي الساقين = طول القاعدة الكبرى طول القاعدة الصغرى 2×جــ؛ حيث جـ: أحد أضلاع شبه المنحرف متساوي الساقين غير المتوازيين.
  • طول القاعدة الكبرى = 4×طول القاعدة الصغرى، ومنه: طول القاعدة الكبرى=4×2.5= 10سم.
  • حساب محيط شبه المنحرف=2.5 10 (2×4.5)= 21.5سم.

• المثال السادس: يمتلك شخص عقار أرضي على شكل شبه منحرف متساوي الساقين، ويريد أن يحيط هذا العقار بسياج، فما هو طول السياج علما أن طول قاعدتي العقار 13.7م، و4.5م، وطول أحد الضلعين غير المتوازيين 7.3م؟^[٨]
  • الحل: يمكن إيجاد طول السياج عن طريق إيجاد محيط شبه المنحرف، وذلك كما يأتي:
  • محيط شبه المنحرف متساوي الساقين = طول القاعدة(1) طول القاعدة(2) 2×جــ؛ حيث جـ: أحد أضلاع شبه المنحرف متساوي الساقين غير المتوازي)، ومنه: محيط شبه المنحرف = 13.7 4.5 (2×7.3)=32.8م

• المثال السابع: إذا كان محيط شبه المنحرف متساوي الساقين 110م، وطول قاعدتيه 40م، و 30م، فما هو طول الضلعين المتساويين في الطول، وغير المتوازيين؟^[٩]
  • الحل: يمكن إيجاد طول الضلعين عن طريق تطبيق قانون محيط شبه المنحرف متساوي الساقين، وذلك كما يلي:
  • محيط شبه المنحرف متساوي الساقين = طول القاعدة (1) طول القاعدة (2) 2×جــ؛ حيث جـ: أحد أضلاع شبه المنحرف متساوي الساقين غير المتوازي)، ومنه: 110=40 30 2×جـ، وبحل هذه المعادلة فإن جـ تساوي 20م، وهو طول الساقين غير المتوازيتين.

• المثال الثامن: شبه منحرف طول ضلعيه غير المتوازيين 6سم، و5سم، ومساحته 20سم²، وارتفاعه 4سم، فما هو محيطه؟^[١٠]
  • الحل: حساب مجموع طول القاعدتين باستخدام قانون مساحة شبه المنحرف= 1/2×(القاعدة الأولى القاعدة الثانية)×الارتفاع، وعليه: 20= 1/2×(القاعدة الأولى القاعدة الثانية)×4، ومنه (القاعدة الأولى القاعدة الثانية)= 10سم.
  • حساب محيط شبه المنحرف وفق القانون: محيط شبه المنحرف=مجموع أطوال أضلاعه=6 5 10= 21سم.

• المثال التاسع: شبه منحرف متساوي الساقين (أ ب جـ د)، قاعدته (ج د)، وطول الضلع (أب) 8 وحدات، وقياس الزاويتين جـ، ود 45 درجة، أُسقط عمود ( ب س) طوله 4 من الرأس ب، وعمود آخر (أع) إلى القاعدة (جـ د)، فتشكّل المثلث (ب س د) قائم الزاوية في (س)، والمثلث (أع ج) قائم الزاوية في (ع)، فما هو محيط شبه المنحرف؟^[١١]
  • الحل: محيط شبه المنحرف يساوي مجموع أطوال أضلاعه، وبالتالي فإنه يجب إيجاد أطوال بقية الأضلاع، وهي طول القاعدة (جـ د)، وطول الضلعين المتساويين (أجـ)، و(ب د).
  • باستخدام الاقترانات المثلثية يمكن إيجاد طول الضلعين (أج) وهو يساوي (ب د)، وذلك باستخدام القانون: جا(45)=الارتفاع (ب س)/(ب د)، ومنه جا(45)= 4/(ب د)، ومنه (ب د)= 5.63سم=(أج).
  • أما القاعدة جـ د، فيمكن إيجادها عن طريق حساب طول الضلعين (س د)، (ج ع)، باستخدام الاقترانات المثلثية أيضاً؛ حيث: ظا(45)=(س د)/الارتفاع (ب س)=(ج ع)/الارتفاع (ب س) ، وعليه (س د)=4سم=(ج ع)، ثم حساب الطول الكلي للقاعدة (ج د)= 4 4 8= 16سم.
  • حساب محيط شبه المنحرف= 8 16 2(5.63)= 35.3سم تقريباً.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة شبه المنحرف يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة الشبه المنحرف.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة شبه المنحرف القائم يمكنك قراءة المقال الآتي: مساحة شبه المنحرف القائم.

فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته

للتعرف حول المزيد شاهد الفيديو:^[١٢]

المراجع

1. ^ ^{أ ب} “How to Find the Perimeter of a Trapezoid”, study.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
2. ↑ “Area and Perimeter of a Trapezoid”, www.efunda.com, Retrieved 25-3-2020. Edited.
3. ↑ “Isosceles Trapezoid”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
4. ↑ “Right Trapezoid”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
5. ↑ “How to Find the Perimeter of a Trapezoid”, www.wikihow.com, Retrieved 26 -3-2020. Edited.
6. ↑ “Perimeter of a Trapezoid Formula”, byjus.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
7. ↑ “Trapezoid”, www.mathsisfun.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب ت ث} “How to find the perimeter of a trapezoid”, www.varsitytutors.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
9. ↑ “Trapezoid Problems”, www.superprof.co.uk, Retrieved 26-3-2020. Edited.
10. ↑ “perimeter-of-a-trapezoid-formula”, www.vedantu.com, Retrieved 26-3-2020. Edited.
11. ↑ “Area and Perimeter of Trapezoids”, resources.saylor.org, Retrieved 26-3-2020 (page 3). Edited.
12. ↑ فيديو عن شبه المنحرف خصائصه ومساحته.