قانون طول قوس الدائرة

تعريف قوس الدائرة

يمكن تعريف قوس الدائرة بأنه جزء من محيط الدائرة، أما طول القوس (بالإنجليزية: Arc Length) فيعبّر عن طول ذلك الجزء، ويتناسب طردياً مع طول نصف قطر تلك الدائرة،^[١] أما الصيغ الرياضية المستخدمة لقياس طول قوس الدائرة فهي:^[٢]

• عندما تُعطى الزاوية بالراديان، فيمكن استخدام الصيغة الآتية: طول القوس= نق×θ؛ حيث:
  • نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة من مركزها إلى محيطها.
  • θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس ومقاسة بالراديان، ويجدر بالذكر هنا أن: 360درجة= 2πراديان.
  • π: الثابت باي، وقيمته تساوي 3.14.
• عندما تُعطى الزاوية بالدرجات، فيمكن استخدام الصيغة الآتية: طول القوس=(2×π×نق×θ)/ 360؛ حيث:
  • نق: نصف قطر الدائرة، وهو المسافة من مركزها إلى محيطها.
  • θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس ومقاسة بالدرجات.
  • π: الثابت باي، وقيمته تساوي 3.14.

لمزيد من المعلومات حول الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: بحث عن الدائرة ومحيطها.
لمزيد من المعلومات حول خصائص الدائرة يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الدائرة.

أمثلة متنوعة على حساب طول قوس الدائرة

حساب طول قوس الدائرة باستخدام الزاوية بالدرجات

• المثال الأول: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية 40 درجة في دائرة نصف قطرها 8سم.^[٢]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360= 2×40×3.14×8/360، ومنها طول القوس= 5.58سم.

• المثال الثاني: احسب طول القوس أب المقابل للزاوية المركزية ٤٥ درجة في دائرة نصف قطرها ١٢ وحدة.^[٣]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360= 2×45×3.14×12/360، ومنها طول القوس= 9.42 وحدة.

• المثال الثالث: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 4سم، جد قياس هذه الزاوية بالدرجات إذا كان نصف قطر الدائرة 5سم.^[٤]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن: 4=2×3.14×5×(360/θ)، ومنه °θ= 45.85.

• المثال الرابع: إذا تقاطع القطر أج مع القطر ب د في النقطة ي، وكان قياس الزاوية أي د 150°، جد مجموع طولي القوسين دج، أب إذا كان طول نصف قطر الدائرة 12سم.^[٥]
  • الحل:
  • أولاً يجب حساب قياس الزاوية المركزية ج ي د المقابلة للقوس ج د، والتي تتساوى في قياسها مع الزاوية المركزية ب ي أ، عن طريق طرح قيمة الزاوية أي د من 180درجة؛ حيث الزاوية أي د تقع على استقامة واحدة مع الزاوية ج ي د، ومنه قياس الزاوية ج ي د=180-150=°30.
  • ثانياً استخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، لينتج أن طول القوس أب=طول القوس دج=2×3.14×12×30/360، ومنه طول القوس أب=طول القوس دج=6.28سم.
  • حساب مجموع طول القوسين أب، ج د ، لينتج أن: طول القوس أب طول القوس ج د=6.28 6.28=12.56سم.

• المثال الخامس: إذا كان محيط الدائرة يساوي 54سم، جد القوس أب إذا كان قياس الزاوية المركزية المقابلة له 120 درجة.^[٦]
  • الحل: محيط الدائرة= 2×π×نق=54، وباستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، وتعويض قيمة 54= 2×π×نق فيه ينتج أن: طول القوس=54×120/360=18سم.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط الدائرة يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هو قانون محيط الدائرة، قانون محيط نصف الدائرة، قانون محيط ربع الدائرة.

• المثال السّادس: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 44سم، جد قياس هذه الزاوية بالدرجات إذا كان نصف قطر الدائرة 15.28سم.^[٧]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن: 44=2×3.14×15.28×(360/θ)، ومنه °θ=165

• المثال السابع: إذا كان طول القوس المقابل للزاوية المركزية يساوي 10.5سم، جد قياس نصف قطر الدائرة إذا كان قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس °150.^[٧]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن: 10.5=2×3.14×نق×(150/360)، ومنه نق=4سم.

• المثال الثامن: إذا كان طول قطر الدائرة 40سم، وكان طول الوتر (ب ج) فيها 20سم، جد قياس القوس الأصغر (ب ج) المقابل للوتر (ب ج)، إذا كان مركز الدائرة هو أ.^[٨]
  • الحل:
  • أولاً: يتطلب حل هذا السؤال حساب قياس الزاوية المركزية (ب أ ج) المقابلة للوتر والقوس (ب ج)، وهو الأمر الذي يتطلب رسم القطعة المستقيمة أب، والقطعة أج، ليتكوّن لدينا المثلث (أب ج)؛ الذي فيه الضلع أب=أج=40/2=20سم، حيث يشكل من أب، أج نصف قطر للدائرة، والضلع ب ج=20؛ حسب معطيات السؤال.
  • ثانياً: يتضح مما سبق أن المثلث أب ج هو مثلث متساوي الأضلاع، فيه قياس كل زاوية 60درجة حسب خصائص المثلث متساوي الأضلاع، وبما أن الزاوية (ب أ ج) تشكل إحدى زوايا هذا المثلث فإن قياسها= 60 درجة.
  • ثالثاً: باستخدام القانون: طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن طول القوس (ب ج)=2×3.14×60×20 /360= 20.9سم.

• المثال التاسع: إذا كان طول القوس أب في الدائرة الأولى يساوي طول القوس دو في الدائرة الثانية، وكان قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس أب يساوي 60درجة، أما قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس دو فيساوي 75درجة، جد النسبة بين نصفي قطري الدائرتين.^[٨]
  • الحل: باستخدام القانون: طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن:
    • طول القوس أب=2×3.14×60×نق(1) /360.
    • طول القوس دو=2×3.14×75×نق (2)/360.
  • من خلال معرفة حقيقة أن طول القوس أب=طول القوس دو ينتج أن: 2×3.14×60×نق (1) /360=2×3.14×75×نق (2)/360، ومنه نق(1)/نق(2)=75/60=5/4=1.25، وهي النسبة بين نصفي قطري الدائرتين.

حساب طول قوس الدائرة باستخدام الزاوية بالراديان

• المثال الأول: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية (4/π7) راديان في دائرة نصف قطرها 20سم.^[١]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=نق×θ
  • طول القوس=(4/π7)×20، ومنها طول القوس= π35سم.

• المثال الثاني: احسب طول القوس المقابل للزاوية المركزية إذا كان قياسها (2.094) راديان في دائرة نصف قطرها 5سم.^[٩]
  • الحل: باستخدام قانون طول القوس=نق×θ
  • طول القوس=5×2.094، ومنها طول القوس= 10.47سم.

• المثال الثالث: احسب قياس الزاوية المركزية المقابلة للقوس أب الذي يبلغ طوله 2م، إذا كان قياسها نصف قطر الدائرة 5م.^[١٠]
  • الحل:
  • باستخدام قانون طول القوس=نق×θ، ينتج أن: 2=5×θ، ومنه قياس الزاوية المركزية= 0.4راديان.
  • باستخدام قانون طول القوس=2×π×θ×نق/360، ينتج أن قياس هذه الزاوية بالدرجات: 2=2×3.14×5×(θ/360)، ومنه قياس الزاوية المركزية=22.92درجة.

• المثال الرابع: إذا كانت المسافة المقطوعة من قبل البندول عند وصوله إلى النقطة ب تساوي 10سم من نقطة انطلاقه، وكانت حركته ضمن دائرة نصف قطرها 75سم، جد زاوية ميلان البندول عن نقطة البداية عند تلك النقطة.^[٨]
  • الحل: باستخدام القانون: طول القوس=نق×θ، ينتج أن 10=75×θ، ومنه زاوية ميلان البندول عند النقطة ب= 0.133راديان.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة القطاع الدائري يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة القطاع الدائري.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} Donna Roberts, “Arc Length and Radian Measure”، mathbitsnotebook.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Arc Length Formula”, byjus.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
3. ↑ Mark Ryan، “HOW TO DETERMINE THE LENGTH OF AN ARC”، www.dummies.com، Retrieved 31-10-2017. Edited.
4. ↑ “Arc Length”, www.themathpage.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
5. ↑ “Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
6. ↑ “Arc Of A Circle”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Circumference and Arc Length”, static.bigideasmath.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب ت} “Arc Length”, www.teachoo.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
9. ↑ Paul Evans (13-5-2015), “Arc length, how to calculate”، theengineeringmindset.com, Retrieved 15-3-2020. Edited.
10. ↑ “Arc Length”, math.libretexts.org, Retrieved 15-3-2020. Edited.