قانون متوازي الأضلاع

تعريف متوازي الأضلاع وخصائصه

يمكن تعريف متوازي الأضلاع (بالإنجليزية: Parallelogram) بأنّه شكل مغلق رباعيّ الأضلاع فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان ومتساويان، وهو يتميز بالخصائص الآتية:^[١][٢]

• كل ضلعين متقابلين فيه متساويان.
• كل زاويتين متقابلتين فيه متساويتان.
• أقطار متوازي الأضلاع تنصف بعضها عند نقطة التقاطع بين الأقطار.
• كل زاويتين متجاورتين فيه متكاملتان؛ أي مجموعهما 180°.^[٣]
• إذا كانت إحدى زوايا متوازي الأضلاع قائمة، فجميع الزوايا المتبقيّة فيه قائمة أيضاً.
• أقطار متوازي الأضلاع تقسمه إلى مثلثين متطابقين.

لمعرفة المزيد عن خصائص متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص متوازي الأضلاع.

يجدر بالذكر هنا أنه يمكن رسم متوازي الاضلاع ببساطة عن طريق رسم خط أفقيّ مستقيم باستخدام المسطرة، ثم رسم خط مساوٍ له في الطول فوقه، مع الحرص على إزاحة بداية الخط الثاني قليلاً عن بداية الخط الأول، ثم رسم خط واصل بين نهاية الخط الأول ونهاية الثاني، ورسم خط آخر بين بداية الخط الأول وبداية الثاني.^[٤]

قوانين أقطار متوازي الأضلاع

يمكن تعريف قطري متوازي الاضلاع بأنّهما الخطان المستقيمان الواصلان بين كل زاويتين متقابلتين فيه، أما عن طولهما فيمكن قياسه باستخدام القانون الآتي:^[٥]

• طول القطر(ق،ل)=الجذر التربيعي (أ² ب²-2×أ×ب×جتا(أَ)).
• أما القانون الذي يربط بين طول أضلاع متوازي الأضلاع، وبين طول أقطاره فهو: ق² ل²=2×(أ² ب²).^[٦]
• حيث:
  • ق: طول القطر الأول.
  • ل: طول القطر الثاني.
  • أ: طول الضلع الأول لمتوازي الأضلاع.
  • ب:طول الضلع الثاني لمتوازي الأضلاع.
  • أَ: الزاوية المحصورة بين الضلعين أ، ب، والمقابلة للقطر المطلوب حساب طوله.

ولتوضيح ما سبق نفترض أن هناك متوازي أضلاع طول أحد أضلاعه 12سم، وطول ضلعه الآخر 5سم، وطول أحد قطريه 14سم، ولإيجاد طول قطره الآخر نستخدم القانون السابق، وهو: ق² ل²=2×(أ² ب²)=ق² 14²=2×(12² 5²)، ومنه ينتج أن طول القطر الثاني= الجذر التربيعي(142) سم.^[٦]

قوانين مساحة متوازي الأضلاع

يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع بعدة طرق:^[٧]

• الطريقة الأولى: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول القاعدة والارتفاع، والقانون هو:
  • المساحة = طول القاعدة × الارتفاع،^[٨] ويجدر بالذكر أن ارتفاع متوازي الأضلاع يجب أن يكون عمودياً على القاعدة، وهو يمثل طول الخط المستقيم الواصل بين القاعدة والضلع المقابل لها،^[٩] ويمكن حساب الارتفاع عن طريق اتباع القانون الآتي: الارتفاع= طول الضلع الجانبيّ× جا (الزاوية المجاورة له أو المكمّلة لها).^[١٠]
• الطريقة الثانية: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم ضلعا متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون هو:
  • المساحة = الضلع الأول×الضلع الثاني×جا (أي زاوية من زوايا متوازي الأضلاع)، حيث تكون كل زاويتين متجاورتين متكاملتين في متوازي الأضلاع؛ أي مجموعهما 180°، وجا (الزاوية) = جا (180-الزاوية)؛ أي جيب الزاوية المكمّلة لها.
• الطريقة الثالثة: تستخدم هذه الطريقة إذا عُلم طول قطري متوازي الأضلاع والزاوية المحصورة بينهما، والقانون هو:
  • المساحة = 1/2×(القطر الأول×القطر الثاني×جا (الزاوية المحصورة بين القطرين))،

ومن الأمثلة على حساب مساحة متوازي الأضلاع ما يأتي:^[٨]

• المثال الأول: متوازي أضلاع طول قاعدته 10 وارتفاعه 8 ما مساحته؟
  • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع فإن المساحة=8×10=80 وحدة مربعة.
• المثال الثاني: متوازي أضلاع طول قاعدته 3 وارتفاعه 6 ما مساحته؟
  • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع فإن المساحة=6×3=18وحدة مربعة.

لمعرفة المزيد عن مساحة متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة متوازي الأضلاع.

قوانين محيط متوازي الأضلاع

يعبر محيط الشكل الهندسي بشكل عام عن المسافة المحيطة به من الخارج، ويساوي محيط متوازي الأضلاع كغيره من الأشكال الهندسية مجموع أطوال أضلاعه الأربعة، لذلك يمكن التعبير عنه باستخدام القانون الآتي: محيط متوازي الأضلاع (أب ج د) =أ ب ج د، أو محيط متوازي الأضلاع (أب ج د) = 2× (طول القاعدة أو الضلع العلوي طول أحد الجانبين)؛ حيث أ،ب،ج،د هي أطوال أضلاع متوازي الأضلاع، ويمكن توضيح ذلك باستخدام المثال الآتي:^[٣][٢]

• متوازي أضلاع طول ضلعيه: 10سم، 6 سم، ما محيطه؟
  • بما أن كل ضلعين متقابلين في متوازي الأضلاع متساويين؛ فإن طول الضلعين الآخرين هو: 10سم و6 سم، وبالتالي فإن محيط متوازي الأضلاع= 10 6 10 6=32سم

من القوانين الأخرى التي يمكن استخدامها لحساب محيط متوازي الأضلاع:^[٧]

• المحيط=2×أ (أ²×4-²ل×2 ²ق×2)√؛ حيث:
  • أ: طول أحد الأضلاع.
  • ق، ل: طول قطري متوازي الأضلاع.
• المحيط=2×(أ ع/جا(أَ)؛ حيث:
  • أ: طول أحد الأضلاع.
  • ع: ارتفاع متوازي الأضلاع.
  • أَ: أية زاوية من زوايا متوازي الأضلاع.

لمعرفة المزيد عن محيط متوازي الأضلاع يمكنك قراءة المقال الآتي: ما محيط متوازي الاضلاع.

أمثلة متنوعة على متوازي الأضلاع

• المثال الأول: متوازي أضلاع مساحته 24 سنتميتراً مربعاً، وطول قاعدته 4سم، جد ارتفاعه.^[٩]
  • الحل: بتطبيق قانون مساحة متوازي الأضلاع فإن المساحة= القاعدة×الارتفاع=24=4×الارتفاع، ومنه الارتفاع=6سم.

• المثال الثاني:إذا كان طول الضلع الأول من متوازي الأضلاع 35سم، وطول الضلع الثاني 82سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 37 درجة، جد طول القطر المقابل لهذه الزاوية.^[٥]
  • الحل: بتطبيق قانون طول القطر ينتج أن: طول القطر=الجذر التربيعيّ (أ² ب²-2×أ×ب×جتا(أَ))=الجذر التربيعي (82² 35²-2×82×35×جتا(37))=58سم.

• المثال الثالث: ‘إذا كان طول الضلع الأول من متوازي الأضلاع 12سم، وطول الضلع الثاني 40سم، وقياس الزاوية المحصورة بينهما 45 درجة، جد طول القطر المقابل لهذه الزاوية.^[٥]
  • الحل: بتطبيق قانون طول القطر ينتج أن: طول القطر=الجذر التربيعي (أ² ب²-2×أ×ب×جتا(أَ))=الجذر التربيعي (40² 12²-2×40×12×جتا(45))=32.6سم.

• المثال الرابع: في متوازي الأضلاع (أ ب ج د)، يبلغ طول الضلع (أب) = 6س-10، وطول الضلع الموازي له (ج د)=3س 5، أما الضلع (أ ج) فيبلغ طوله 4س-5، جد طول هذا الضلع بالأرقام.^[١١]
  • الحل: وفقاً لخواص متوازي الأضلاع فإن كل ضلعين متوازيين فيه متساويين، وعليه، أب=ج د= 6س-10=3س 5، ومنه س=5، ومنه أ ج=4س-5=4×5-5=15.

• المثال الخامس: في متوازي الأضلاع (أ ب ج د)، يبلغ قياس الزاوية أ=2س 12، والزاوية ج المجاورة لها=5س، جد قياس الزاويتين (أ، ج) بالدرجات.^[١١]
  • الحل: وفقاً لخواص متوازي الأضلاع فإن كل زاويتين متجاورتين متكاملتان، أي مجموعها 180 درجة، ومنه مجموع قياس الزاوية أ قياس الزاوية ج=180=2س 12 5س، ومنه س=24، وعليه قياس الزاوية أ=2س 12=2×24 12=60درجة، وقياس الزاوية د=5×24=120درجة.

• المثال السادس: يبلغ محيط متوازي الأضلاع 56سم، ونسبة طول كل ضلعين متجاورين فيه إلى بعضهما هي 4:3، جد طول كل ضلع من أضلاعه.^[١٢]
  • الحل: لحل هذا السؤال نفترض أن طول أضلاعه هي: 4س، 3س، وبعد تطبيق قانون محيط متوازي الاضلاع=2× (أ ب)= 2× (4س 3س)=56، ومنه 56=14س، س=4، وعليه طول أحد الضلعين المتقابلين=4س=4×4=16سم، أما طول الضلعين الآخرين المتقابلين=3س=3×4=12سم.

• المثال السابع: متوازي الأضلاع (أ ب ج د) يشكل الضلع (أد) قاعدته، أما ضلعه العلوي فهو (ب ج)، ويبلغ طول الضلع أب=15سم، وارتفاعه=12سم، جد قياس الزاوية د، مع العلم بأنّها زاوية حادة.^[١٣]
  • الحل: يتطلب حل السؤال إسقاط عمود من النقطة ج نحو القاعدة لتشكيل المثلث (ج ن د) قائم الزاوية في ن، ووتره هو (ج د)، وبناء على ذلك يمكن الاستعانة بقانون جيب الزاوية لإيجاد قياس الزاوية د؛ حيث جا (د)=المقابل (الارتفاع)/الوتر=12/15=0.8، ومنه د=53.1 درجة.

• المثال الثامن: يتقاطع القطران (أد)،و (ج ب) لمتوازي الأضلاع (أ ب ج د) الذي يشكّل الضلع ج د قاعدته في النقطة ي، ويبلغ طول أي= 41سم، ي د= 4س² 5، جد قيمة س.^[١٤]
  • الحل: وفقاً لخواص متوازي الأضلاع فإنّ قطراه ينصّف كلّ منهم الآخر، وعليه أي=ي د= 41=4س² 5، ومنه س=3.

• المثال التاسع: إذا كان هناك متوازي الأضلاع أب ج د قاعدته (ب ج)، وكانت النقطة (و) نقطة تقاطع قطريه (أج)، (ب د)، وكان طول (ب و)=4سم، وطول (أج) يزيد بمقدار 5 عن طول القطر (ب د)، جد طول (وج).^[١٥]
  • الحل:
    • وفقاً لخواص متوازي الأضلاع فإنّ قطراه ينصّف كلّ منهم الآخر، وعليه (ب و)=(ود)=4سم، طول (ب د)=(ب و) (ود)=8سم، ولأن طول القطر (أج) يزيد بمقدار 5سم عن طول القطر (ب د)؛ فإن طول (أج)=(ب د) 5=8 5=13سم.
    • ولأن طول (وج) يعادل نصف طول (أج) وفقاً لخواص متوازي الأضلاع؛ فإن أج=2×(وج)=2×(وج)=13، ومنه وج=6.5سم.

المراجع

1. ↑ Raghav Aggarwal (31-3-2018), “Properties of Parallelogram, Rhombus, Rectangle and Square”، www.toppr.com, Retrieved 8-2-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Parallelogram”, byjus.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “Parallelograms: Area and Perimeter”, www.varsitytutors.com, Retrieved 8-2-2019. Edited.
4. ↑ “What Is a Parallelogram?”, www.tutors.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} “Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Example Question #1 : How To Find The Length Of The Diagonal Of A Parallelogram”, www.varsitytutors.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Parallelogram. Formulas and Properties of a Parallelogram”, onlinemschool.com, Retrieved 16-2-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “Area of parallelograms”, www.khanacademy.org, Retrieved 8-2-2019. Edited.
9. ^ ^{أ ب} “Area of a Parallelogram”, www.mathgoodies.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
10. ↑ “Parallelogram”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.
11. ^ ^{أ ب} “Sample Problems Involving Quadrilaterals”, mathbitsnotebook.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
12. ↑ “Problems on Parallelogram”, www.math-only-math.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
13. ↑ “Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
14. ↑ “Properties of Parallelograms”, www.wyzant.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
15. ↑ “Examples”, www.teachoo.com, Retrieved 13-2-2020. Edited.