هل تستعمل طريقة الحذف بالجمع عندما يكون أحد المتغيرين معكوسا للآخر
تستعمل طريقة الحذف بالجمع عندما يكون أحد المتغيرين معكوسا للآخر
العبارة صحيحة، بالفعل تستعمل طريقة الحذف بالجمع عندما يكون أحد المتغيرين معكوسا للآخر
تُعتبر طريقة الحذف (بالانجليزية: The elimination method) واحدة من الطرق المُستخدمة لحل المعادلات الخطية من مُتغيرين ويتم ذلك عن طريق:
- إضافة المعادلات إلى بعضها البعض للحصول على معادلة من مُتغير واحد.
- طرح المعادلات من بعضها البعض للحصول على مُعادلة من مُتغير واحد.
إضافة المعادلات إلى بعضها البعض: يتم استخدام الحالة الأولى من طريقة الحذف (الحذف بالجمع) في حالة كان أحد المُتغيرين معكوسًا للآخر في المعادلة الأخرى بمعنى عكس اشارته ومساويُا له في القيمة العددية.
طرح المعادلات من بعضها البعض: يتم استخدام الحالة الثانية من طريقة الحذف (الحذف بالطرح) في حالة كان أحد المُتغيرين مُساويًا للآخر.
ولتبسيط الأمر دعنا نصل إلى طريقة سهلة لايجاد المُتغيرين س و ص رياضيًا:
- قم بتحديد المُتغيرين المُتشابهين في القمية العددية في المعادلات.
- انظر إلى إشارة المُتغيرين المٌتشابهين لتحديد الطريقة المُثلى لحل المسألة الرياضية.
- في حالة كان احد المُتغيرين مُعاكسًا لإشارة المُتغير الآخر قم بالحذف عن طريق الجمع لتصل إلى قيمة أحد المُتغيرين
- في كان احد المُتغيرين مُشابهًا لإشارة المُتغير الآخر قم بالحذف عن طريق الطرح لتصل إلى قيمة أحد المُتغيرين.
- قم بالتعويض عن قيمة المُتغير المعلوم في احدى المعادلات المطروحة للوصول إلى قيمة المُتغير الأخر.
- قم بالتأكد من صحة القيم المُستنتجة عن طريق التعويض ف المعادلتين للتأكد من تساوي طرفي المُعادلة. [1][2]
تطبيق عملي على طريقة الحذف بالجمع عندما يكون أحد المتغيرين معكوسا للآخر
السؤال: انظر إلى المعادلتين التاليتين و إوجد قيم المُتغييرين س و ص [1][2]
- المعادلة الأولى: 3 ص + 2 س = 6
- المعادلة الثانية: 5 ص – 2 س = 10
المُعطيات: بالنظر إلى المعادلتين السابقتين يُمكننا ملاحظة مايأتي:
- المعادلتين من النوع الخطي.
- تحتوي المعادلتين على متغيرين هما س و ص.
- يوجد في المعادلة الأولى مُتغير معكوس لمتغير في المعادلة الثاني بمعنى انه مُتغير مساوي للآخر في القيمة مع اشارة عكسية.
الحل:
يُمكننا الوصول إلى المُتغيرين بواسطة استخدام طريقة الحذف بالجمع عن طريق اتباع الخطوات التالية:
- بجمع طرفي المعادلة الأولى إلى طرفي المعادلة الثانية نحصل على معادلة من مُتغير واحد
3 ص + 2 س + (5 ص – 2 س ) = 3 ص + 2س + 5ص – 2س =6+10 = 16
∴ 8 ص = 16 ⇐ (بقسمة طرفي المعادلة على 8 )
∴ ص = 2
- بالتعوض عن قيمة ص في المعادلة الأولى أو الثانية يُمكننا الحصول على قيمة المُتغير س
⇓
3 ص + 2 س = 6 ⇐ (بالتعويض عن قيمة ص = 2)
⇓
∴ (3× 2) + 2س = 6
⇓
6 + 2 س = 6 ⇐ (بطرح 6 من طرفي المعادلة)
⇓
6 – 6 + 2 س = 6 – 6
⇓
2 س = صفر (بقسمة طرفي المعادلة على 2)
∴ س = صفر
تطبيق عملي على طريقة الحذف بالطرح عندما يكون أحد المتغيرين مُساويًا للأخر
السؤال: انظر إلى المعادلتين التاليتين و إوجد قيم المُتغييرين س و ص [1][2]
- المعادلة الأولى: 3 س + ص = 9
- المعادلة الثانية: 5 س + 4ص = 22
المُعطيات: بالنظر إلى المعادلتين السابقتين يُمكننا ملاحظة مايأتي:
- المعادلتين من النوع الخطي.
- تحتوي المعادلتين على متغيرين هما س و ص.
- يُمكن جعل المُتغير ص في المعادلة الأولى مساوي للمُتغير ص في المعادلة الثانية عن طريق ضرب طرفي المعادلة الأولى في 4 وبالتالي الحصول على مُتغيرين مُتساويين في القيمة والإشارة.
الحل:
يُمكننا الوصول إلى المُتغيرين بواسطة استخدام طريقة الحذف بالجمع عن طريق اتباع الخطوات التالية:
- بضرب طرفي المُعادلة الأولى في 4
⇓
4 × (3 س + ص) = 9 × 4
⇓
12 س + 4 ص = 36
⇓
تتحول المعادلتين عقب عملية الضرب الحادثة في المعادلة رقم 1 إلى:
المعادلة الأولى: 12 س + 4 ص = 36
المعادلة الثانية: 5 س + 4ص = 22
- بطرح طرفي المعادلة الأولى من طرفي المعادلة الثانية نحصل على معادلة من مُتغير واحد
12 س + 4 ص – (5 س + 4ص) = 36 – 22
⇓
12 س + 4 ص – 5 س – 4 ص = 14 (نحذف قيمة المُتغير ص لتعاكسهما في الإشارة نحصل على معادلة من مُتغير واحد)
⇓
12 س – 5س = 14
⇓
∴ 7 س =14 ⇐ (بقسمة طرفي المعادلة على7 )
∴ س = 2
- بالتعوض عن قيمة س في المعادلة الأولى أو الثانية يُمكننا الحصول على قيمة المُتغير ص
⇓
5 س + 4ص = 22 ⇐ (بالتعويض عن قيمة س = 2)
⇓
∴ (5× 2) +4 ص = 22
⇓
10 +4 ص = 22 ⇐ (بطرح 10 من طرفي المعادلة)
⇓
10 – 10 +4 ص = 22 – 10
⇓
∴ 4 ص = 22 – 10
⇓
4 ص = 12 (بقسمة طرفي المعادلة على 4)
∴ ص = 3
كيف يُمكن التأكد من صحة قيم المُتغيرين المُستنتجين رياضيًا
عن طريق تطبيق القيم المُستنتجة لكلًا من س و ص على طرف المعادلة الأيمن والتأكد من الوصول إلى: قيمة الطرف الأيسر به.
ولتبسيط الأمر دعنا ننظر إلى المثال المشروح سلفًا
- المعادلة الأولى: 3 س + ص = 9
- المعادلة الثانية: 5 س + 4ص = 22
وللتأكد من صحة القيم المُستنتجة لكلًا من س و ص يُمكن تطبيقها على كلا المعادلتين في حالة:
- ص = 3
- س = 2
بتطبيق القيم المُستنتجة على الطرف الأيمن من المعادلة الأولى
⇓
3 س + ص = (3 × 2) + 3 = 6 + 3 = 9 (الطرف الأيسر من المعادلة الأولى)
بتطبيق القيم المُستنتجة على الطرف الأيمن من المعادلة الثانية
⇓
5 س + 4 ص = (5× 2) + (4 × 3) = 10 + 12 = 22 (الطرف الأيسر من المعادلة الثانية)
وللحصول على المزيد من الأسئلة الدراسية المُتعلقة بطريقة الحذف بالجمع يُرجى الضغط على هذا الرابط [1][2]
المحتويات المرئية المُتاحة إلكترونيًا لدراسة الحذف بالجمع
نقدم لكم فيما يأتي مجموعة مختارة من الفيديوهات والمواقع التعليمية المُبسطة لدراسةالحذف بالجمع بشكل تعمقي أكثر باللغة العربية:
- أولًا، فيديو يوضح حل نظام من معادلتين خطيتين بالحذف باستعمال الجمع أو الطرح مُقدمًا من أحد أساتذة الرياضيات.
- ثالثًا، سلسلة الفيديوهات التعليمية المُقدمة عن طريقة حل المعادلات الجبرية بواسطة الحذف بالجمع عندما يكون أحد المتغيرين معكوسًا للآخر على منصة خان أكاديمي العربية.