مشتقات الدوال المثلثية

جيب التمام sin x.
جيب التمام cos x.
الظل tan x.
ظل التمام cot x.
القاطع sec x.
secant cosec x.

تُعتبر عملية إيجاد مشتقات الدوال المثلثية عملية اقتران للدوال والتي تُعرف باسم تمايز الدوال المثلثية، أو بمعنى آخر اشتقاق الدوال المثلثية وهي عبارة عن عملية إيجاد معدل تغير للدالة بالنسبة للمتغير الأصلي، حيث تحتوي الدوال المثلثية الستة على صيغ مميزة يمكن استخدامها في الكثير من المسائل التطبيقية للمشتقات الرياضية المختلفة، فتتضمن الوظائف المثلثية الأساسية الستة للدوال وهم مشتقات الدوال المثلثية.

جيب التمام (sin x)، وجيب التمام (cos x)، والظل (tan x)، وظل التمام (cot x)، والقاطع (sec x)، وsecant (cosec x)، والتي من خلالها يمكن التمييز بين الدوال المثلثية المختلفة والمساعدة في عدة مجالات مختلفة مثل مجالات مختلفة مثل الإلكترونيات وبرمجة الحاسب الآلي ونمذجة الدوال الدورية المختلفة والكثير من التطبيقات الأخرى.

تُعرف تلك العملية أيضًا بعملية التمايز بين الدوال المثلثية، وفي علم المثلثات يُعرف التمايز بين الدوال على أنه عملية رياضية يتم استخدامها من أجل تحديد مُعدل تغير الدوال المثلثية وكل ما يتعلق بالزاوية المتغيرة، حيث يمكن التفريق بين الدوال المثلثية باستخدام تلك المشتقات sin x وcos x، ويكون ذلك من خلال تطبيق قاعدة القسمة. [1]

مشتقة sin و cos و tan

تُستخدم مشتقات الدوال المثلثية في العديد من المجالات كما سبق وذكرنا من قبل ومن ضمنها مجال الموجات الكهرومغناطيسية التي يتم استخدام المشتقات فيه من أجل وصف مجموعة كبيرة من الظواهر، بما فيهم موجات الراديو.

حيث يتم اعتراض تلك الموجات من خلال الهوائيات من ثم تتم معالجة المعلومات الموجودة في الموجات مما يسمح لنا بالاتصال، فتتم تلك العملية من خلال استخدام الدوال المثلثية مثل الجيب وجيب التمام والظل. [2]

تفاضل الدوال المثلثية الزائدية

Sinhx.
Coshx.
Tanhx.
Cothx.
Sechx.
Cschx.

الدوال الزائدية هي عبارة عن دوال موجودة في حساب التفاضل والتكامل والتي يتم التعبير عنها كمجموعة من الدوال الأُسية مثل ex وe-x، وهي أيضًا عبارة عن ستة وظائف زائدية رئيسية وهم sinhx، coshx، tanhx، sechx، cothx، وcschx، حيث يتم حساب مشتق الدوال الزائدية من خلال استخدام صيغة مشتقات الدوال الأُسية والدوال الزائدية الأخرى، وبشكل عام يعمل مشتق الدوال الزائدية على إعطاء معدل التغير في الدوال الزائدية.

حيث أن تمايز تلك الدالة يقوم بتحديد معدل التغير في الدالة الزائدية بالنسبة للمتغير الأصلي وعلى ذلك يمكن تقييم تلك المشتقات من خلال استخدام مشتق الدوال الأُسية ex وe-x بالإضافة إلى صيغ الدوال الزائدية الأخرى وعلى ذلك يمكن القول بأنه يتم استخدام مشتق الدوال الزائدية في وصف عدة مجالات مختلفة مثل شكل الأسلاك الكهربائية المعلقة بين قطبين، كما أنه يتم استخدامها أيضًا من أجل وصف أي سلك بحري معلق بين طرفين، بالإضافة إلى استخدامها من أجل وصف تكوين حلقات الأقمار الصناعية والكواكب.

فعلى سبيل المثال صيغة sinhx = (ex – e-x)/2، ومن أجل إيجاد مشتقة الدالة الزائدية sinhx، سوف تُكتب في صورة مجموعة من الدالة الأُسية من ثم تُشتق باستخدام قاعدة خارج قسمة الاشتقاق:

الإجابة:

يتم كتابة الدالة الزائدية cosh x بالشكل cosh x .
تساوي(ex + e-x)/2 فتكون d(sinhx)/dx.
تساوي d[(ex – e-x)/2] / dx.
وبالتالي يكون مشتق sinh x يساوي cosh x في الدالة العكسية. [3]

تفاضل الدوال المثلثية المعكوسة

arcsin.
arccos.
sin-1.
arctan.
cos-1.
tan-1.

الدالة المثلثية المعكوسة هي في الأصل يتم استخدامها في مجال الاشتقاق الضمني وذلك من أجل العثور على مشتقات المثلثات العكسية الوظيفة، وبشكل عام تعتبر تكون المشتقات غير شاملة الدوال المثلثية ولا حتى الدوال المثلثية العكسية، بل تشمل المربعات والجذور التربيعية.

وبالتالي يكون من الصعب حفظها إلا في حالة معرفة الصيغ الخاصة بها جيدًا، والتي تتم من خلال عملية التمايز الضمني وهي عملية يتم فيها استخدام قاعدة السلسلة وذلك عندما يتم تعريف الوظائف بشكل ضمني من أجل اشتقاق المشتقات المثلثية العكسية.

فعلى سبيل المثال لنفترض أن y = arcsin x، والجيب العكسي، sin y = x، إذا اشتقاق الطرفين بالنسبة لـ x:

الإجابة:

cos y (dy/dx) = 1
dy/dx = 1/cos y

من خلال إحدى المتطابقات المثلثية، sin2y + cos2y = 1. ومن هنا، cos y = √1-sin²y = √1-x²، يتم الاستبدال في 1 فيكون:

dy/dx = 1/√1-x² (or)
d (arcsin x) / dx = 1/√1-x²

وبالتالي مشتق arcsin x (أو) sin-1x أو معكوس sin x هو 1/√1-x² للدالة العكسية. [4]

تكامل الدوال المثلثية

يتضمن تكامل الدوال المثلثية بعض التقنيات البسيطة والأساسية لحل الدوال والتي يمكن كتابتها على شكل معادلة لتسهيل عملية التكامل، حيث يتم إعطاء تكامل الدالة المطلوب حلها من خلال F(x) من ثم يتم تمثيلها من خلال تلك المعادلة ∫f(x)dx = F(x) + C،وتلك المعادلة تعني التكامل أي تكامل f(x) بالنسبة إلى x، حيث يُطلق على F(x) اسم مضاد للمشتقات أو البدائي، وفيما يلي سوف نتعرف على أسماء مشتقات تكامل الدالة أو المعادلة البدائية للتكامل وإليك هي:

x هو متغير التكامل في أي دالة والذي من الممكن أن يكون Y أو أي شيء آخر.
f(x) يُسمى التكامل مضاد المشتقات أو البدائي.
C تعني ثابت التكامل أو الثابت التعسفي.
dx يُسمى العامل المتكامل.

هناك أيضًا بعض الصيغ المتعلقة بتكامل الدوال المثلثية وإليك هي:

∫cosec x dx = ln|cosec x – cot x| + C = ln|tan(x/2)| + ج.
∫sec x dx = ln|tan x + sec x| + ج.
∫cosec x cot x dx = -cosec x + C.
∫sec x tan x dx = sec x + C.
∫sin kx dx = -(cos kx/k) + C.
∫cos kx dx = (sin kx/k) + C.
∫sin x dx = -cos x + C.
∫cos x dx = sin x + C.
∫sec2x dx = tan x + C.
∫cosec2x dx = -cot x + C.
∫tan x dx = ln|sec x| + ج.
∫cot x dx = ln|sin x| + ج.[5]