ما هي المسلمات والبراهين الحرة

المسلمات والبراهين الحرة

المسلمات أو “البدهيّة”:

يُمكن وصف المسلمة على أنها عبارة تعطي وصفًا لعلاقة أساسية بين المفاهيم الهندسية الأولية، وتُقبل على أنها صحيحة دون برهان أو إثبات أي أنها “مسلمة مُسلّم بصحتها” وهي أساس للبراهين.

البراهين الحرة:

بينما تُعرف البراهين الحرة بـعملية للاستدلال عن صحة أو خطأ مسألة ما، وفي حال إثبات صحتها فتُعرف بـ “النظرية” ويُمكن استخدامها بعد ذلك في البراهين لإثبات صحة عبارات أخرى، كما أنّ المسلمات هي أساس البراهين.

شرح المسلمات والبراهين الحرة

• مسلمات النقاط والمستقيمات والمستويات.
• مسلمات المستقيمات والمستويات.
• خطوات كتابة البرهان.

لفهم ما هي

المسلمات والبراهين

الحرة وطريقة التطبيق لا بد من معرفة نوعيات المسلمات والبراهين الحرة كالآتي:

مسلمات النقاط والمستقيمات والمستويات:

• مسلمة 1.1: أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط.
• مسلمة 1.2: أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط.
• مسلمة 1.3: كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل.
• مسلمة 1.4: كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة.
• مسلمة 1.5: إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيـم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى.

مسلمات المستقيمات والمستويات:

• مسلمة 1.6: إذا تقاطع مستقيمان؛ فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط.
• مسلمة 1.7: إذا تقاطع مستويان؛ فإن تقاطعهما يكون مستقيمًا.

خطوات كتابة البرهان:

• خطوة1: كتابة المعطيات ورسم شكلاً يوضحها إن أمكن ذلك.
• خطوة2: كتابة العبارة أو التخمين المطلوب إثباته.
• خطوة3: استعمال التبرير الاستنتاجي لتكوين سلسلة منطقية من العبارات التي تربـط المعطيات بالمطلوب.
• خطوة4: تبرير كل عبـارة باستعمال تعريفات أو خصائص جبريّة أو مُسلمات، أو نظريات.
• خطوة5: كتابة العبارة أو التخمين الذي تم إثباته.

وفي البرهان الحر يأتي “التطابق” و “التساوي” فإذا تطابقت قطعتان مستقيمتان فإن لهما نفس الطول، وبالتالي إذا كان للقطعتان نفس الطول فإنهما متطابقتان.. ويأتي المثال التالي للتوضيح.

حل المسلمات والبراهين الحرة

للتوضيح بشكل مبسط نوّضح الأمثلة التالية “اذكر المسلمة التي تُـبرر صحة كل عبارة مما يأتي”:

مثال1: يحتوي المستقيم m على النقطتين F و G ويمكن أن تقع النقطة E أيضًا على المستقيم m.

• الإجابة: المسلمة 1.3 وذلك لأنها تنص على أنَّ كل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل، إذ أنّ حافة البناية هي المستقيم m وكلاً من النقاط E,G,F تقع على الحافة أي تقع على المستقيم m.

مثال 2: يتقاطع المستقيمان s و t في النقطة D.

• الإجابة: مسلمة 1.6 كونها تنص على أنه إذا تقاطع مستقيمان؛ فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، حيث تأتي واجهة البناية بشبكة مثلثة الشكل وتشمل مستقيمات متقاطعة، ومنها المستقيمان s و t اللذان يتقاطعان في نقطة واحدة وهي D.

مثال3: النقاط A, B, C تحدد مستوى.

• الإجابة: مسلمة 1.2، حيثُ تنص على أنَّ أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط، إذ تمثّل النقاط A, B, C رؤوس البناية الثلاثة ويمر بهما مستقيم واحد.

مثال4: يتقاطع المستويان P و Q في المستقيم m.

• الإجابة: المسلمة 1.7 حيثُ تنص على أنّه إذا تقاطع مستويان؛ فإن تقاطعهما يكون مستقيمًا، إذ أنّ وجها البناية يتقاطعان في الحافة وتمثّل الحافة المستقيم m، إذن يتقاطع المستويان P و Q في المستقيم m.

نذكر أيضًا بعض الأمثلة الأخرى في الشكل الموضـح “اذكر المسلمة التي تُـبرر صحة كل عبارة مما يأتي”:

مثال1: المستويان P و Q يتقاطعان في المستقيم r.

• الإجابة: المسلمة 1.7 حيث تنص على أنّه إذا تقاطع مستويان؛ فإن تقاطعهما يكون مستقيمًا، إذ يتقاطع الوجه الأمامي Q مع الجانب الأيسر P في الحرف r والذي يمثّل مستقيمًا.

مثال2: المستقيمان n و r يتقاطعان في النقطة D.

• الإجابة: المسلمة 1.6 حيثُ تقول إذا تقاطع مستقيمان؛ فإنهما يتقاطعان في نقطة واحدة فقط، إذ تمثّل أحرف الشكل مستقيمات، إذن المستقيمان n و r يتقاطعان في النقطة D.

مثال3: المستقيم n يحوي النقاط E, C ,D.

• الإجابة: المسلمة 1.3 والتي تنص على أنَّ كـل مستقيم يحوي نقطتين على الأقل، حيثُ إنّ الحرف السفلي للشكل من الجهة الأمامية وهو المستقيم n يضم النقاط E, C ,D.

مثال4: المستوى P يحوي النقاط A, F , D.

• الإجابة: المسلمة 1.4 والتي تقول أنَّ كل مستوى يحوي ثلاث نقاط على الأقل ليست على استقامة واحدة، إذ أن الجانب الأيسر من الشكل أو المستوى P يضم بالفعل النقاط A, F , D.

مثال5: المستقيم n يقع في المستوى Q.

• الإجابة: المسلمة 1.5 حيث تنص على أنه إذا وقعت نقطتان في مستوى، فإن المستقيـم الوحيد المار بهما يقع كليًا في ذلك المستوى، إذ أن النقطة E و D واقعان على المستقيم n وأيضًا في المستوى Q، إذن هذا المستقيم أيضًا يقع في المستوى Q.

مثال 6: المستقيم r هو المستقيم الوحيد الذي يمر بالنقطتين A و D.

• الإجابة: المسلمة 1.1 حيث تنص على أنّ أي نقطتين يمر بهما مستقيم واحد فقط، إذ أنّ المستقيم r يحوي النقطتين A و D.

ومن أمثلة البرهان الحر للتأكد من فهم ما سبق نوّضح المثال الآتي:

مثال1: إذا علمت أنّ C تقع بين A و B حيثُ CB = AC فاكتب برهان حر يثبت أن C نقطة تقع منتصف AB.

• المعطيات: C تقع بين A و B حيثُ CB = AC.
• المطلوب: C تقع منتصف AB.
• مـُعطى CB = AC.
• وأخيرًا إذا كانت C منتصف AB فإن القطعة المستقيمة CB تساوي AC ولهما نفس الطول، إذن فهم قطعتان متطابقتان بنفس الطول.[1]

الفرق بين البديهيات والمسلمات

تـعرف البديهيات بأنها قاعدة أولية لا تمتلك أي برهان أو إثبات، وأحيانًا أخرى يُطـلق عليها المسلمات الجبرية، وسماها أرسطو بعض الأسماء الأخرى منها المفاهيم المشتركة، والآراء المشتركة، ورأى أنها المبادئ الأولى لبداية العلوم.

ومن مسلمات إقليدس ضم 5 مسلمات منها “جميع الزوايا القائمة تكون متساوية”، المسلمة الأخرى تقول عند رسم خط يتقاطع مع 2 مستقيم فيكون مجموع قياس الزاويتين الداخلتين أقل من مجموع الزاويتين القائمتين، وحينها يتقاطع المستقيمان،

وبالرغم من أنَّ البديهيات والمسلمات يحملان نفس المعنى، إلا أن هناك بعض الفروض البسيطة بينهما نوّضحها في السطور التالية:

• تظهر المسلمات وتطبق في مجالات معينة، بينما البديهيات لكافة العلوم المختلفة.
• لا يمكن إثبات البديهيات من غيرها من البديهيات ومع ذلك يمكن إثبات المسلمات عن طريق البديهيات.
• تنطبق البديهيات على الأرقام الحقيقية، أمّا المسلمات فتعبر عن الأشكال الهندسية.
• مثال على البديهيات: 5+5= 10 … 2×2= 4.
• مثال على المسلمات: أي ثلاث نقاط لا تقع على استقامة واحدة يمر بها مستوى واحد فقط، كذلك مثال آخر يمكن رسم دائرة تتمركز حول نقطة، يكون طول قطعة مستقيمة مساوي لنصف قطر الدائرة.[2]