كم عدد أوجه المخروط
عدد أوجه المخروط
المخروط
له وجه واحد فقط
وهو القاعدة .
المخروط هو جسم صلب ثلاثي الأبعاد قاعدته دائرية، ويوجد الشكل المخروطي في الكثير من الأدوات التي نستخدمها بشكل يومي مثل مخروط الأيس كريم أو مخروط المرور، ويعرّف المخروط في الهندسة على أنه جانب مسطح على جسم ثلاثي الأبعاد، وهو جسم له وجه واحد ورأس واحد فقط وهو ما يسمى بالقاعدة والمخروط ليس له حواف، ويعرّفه بعض الأشخاص على أنه سطح لجسم ثلاثي الأبعاد، وإذا تم إعتماد هذا التعريف سيكون للمخروط وجهان وهو قاعدته ووجهه المنحني الذي ينتهي بنقطة.[1]
شكل المخروط
ياتي المخروط على شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية ويرتفع لينتهي إلى نقطة حادة تسمى الرأس.
المخروط هو أحد الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد التي تحتوي على وجه ورأس واحدة وبدون حواف، وله قاعدة دائرية وحافة مدببة في الأعلى تسمى قمة المخروط، ويتكون المخروط من منطقتين أحدهما هو إجمالي مساحة السطح والآخر عبارة عن مساحة السطح المنحني، والمساجة الإجمالية للمخروط هي المساحة الخاصة بقاعدته والجزء المنحني من المخروط، بينما مساحة السطح المنحني هي مساحة الأسطح المنحنية للمخروط فقط.[2]
ويتمثل الشكل المخروطي في بعض الأمثلة من الأشياء التي حولنا، ومن أبرزها:
- الأيس كريم.
- قبعة عيد ميلاد.
- شجرة عيد الميلاد.
- مخاريط المرور ذات اللون البرتقالي.
- الخيام المخروطية.
- مكبر الصوت.
الشكل المخروطي مقابل الأشكال ثلاثية الأبعاد الأخرى
يمتلك المخروط عدة مميزات تميزه عن غيره من الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد، وهي كالتالي:
- المخروط له وجه واحد مسطح واحد فقط ولكن جميع الأشكال ثلاثية الأبعاد الأخرى لها أكثر من وجه أو لا يوجد لها أوجه؛ فمثلًا الأسطوانة لها وجهان دائريان والكرة ليس لها أي أوجه، والمكعب له 6 أوجه.
- المخروط له وجه دائري واحد وسطح مستوِ لا يشبه أي شكل آخر من الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد.
- والمخروط هو الشكل الوحيد من بين الأشكال الهندسية الذي له رأس واحد، ولا يوجد شكل آخر ثلاثي الأبعاد له وجه واحد ورأس واحد.
- المخروط يشبه للهرم في رأسه، ولكن الهرم يمتلك رؤوس أخرى في القاعدة، ويتميز المخروط عن الهرم في أنه يمكن دحرجته ولا يمكن دحرجة الهرم.[3]
خصائص المخروط
- قاعدة المخروط دائرية.
- يوجد وجه واحد ورأس واحد ولا يمتلك المخروط أي حواف.
- يقدر إرتفاع المخروط بطول الخط المستقيمة الذي يصل بين قمة المخروط وأي نقطة على محيط قاعدة المخروط.
- حجم المخروط هو ⅓ πr2h.
- إجمالي مساحة السطح للمخروط هي (πr (l + r
- الارتفاع المائل للمخروط هو √ (r2 + h2)
- يسمى المخروط الذي تكون قمته فوق مركز القاعدة الدائرية مباشرةً بشكل عمودي مخروطًا دائريًا قائمًا.
- المخروط الذي لا تقع قمته فوق مركز القاعدة الدائرية بشكل مباشر يسمى مخروط مائل.
أنواع المخروط
- المخروط القائم.
- المخروط المائل.
- المخروط الناقص.
المخروط القائم
:
وسمي بالمخروط القائم لأنه هو المخروط الذي يشكل محوره زاوية قائمة مع قاعدة المخروط أو يكون عمودي على القاعدة، حيث يقع رأس المخروط فوق مركز القاعدة الدائرية بشكل مباشر، ويمر محور المخروط من قمة المخروط باتجاه القاعدة عبر مركز القاعدة الدائرية، وهو النوع الأكثر شيوعًا في الهندسة.
المخروط المائل
:
وهو المخروط الذي له محور غير عمودي على قاعدة المخروط ولا يشكل زاوية قائمة معها، ورأس هذا المخروط لا تقع مباشرة فوق مركز القاعدة الدائرية، ويكون شكله مائلًا غير قائم، ولهذا فهو يسمى بالمخروط المائل.
المخروط الناقص
:
وهو المخروط الذي يكون بدون رأس للمخروط، وهو ناتج عن قطع الجزء العلوي بشكل موازي للقاعدة، فتزال الرأس ويصبح مخروطًا ناقصًا.[4]
عناصر المخروط
- نصف قطر المخروط.
- ارتفاع المخروط.
- الارتفاع المائل للمخروط.
نصف قطر المخروط
:
ويعرف النصف قطر بأنه المسافة بين مركز القاعدة الدائرية إلى أي نقطة على محيط القاعدة، ويرمز له بالرمز “r”.
ارتفاع المخروط
:
وارتفاع المخروط هو المسافة بين قمة المخروط ومركز القاعدة الدائرية، ويرمز له بالرمز “h”.
الارتفاع المائل للمخروط
:
والارتفاع المائل للمخروط هو المسافة من أعلى نقطة في المخروط إلى النقطة الموجودة على الحافة الخارجية للقاعدة الدائرية، ويتم حسابها للمخروط القائم بإستخدا نظرية فيثاغورث، ويرمز له بالرمز “l” الذي يعبر عن الارتفاع المائل في القوانين.[5]
حساب مساحة المخروط
يتم حساب المساحة الكلية للمخروط عن طريق حساب المساحة الجانبية ومساحة القاعدة وجمعهما كالتالي:
المساحة الكلية للمخروط = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة.
المساحة الكلية للمخروط= π×نق×ل + π×نق2.
المساحة الكلية للمخروط= π×نق2+ π×نق ×(ع2+نق2) √.
وبأخذ πنق كعامل مشترك تصبح المعادلة كالتالي:
المساحة الكلية للمخروط = π×نق×(نق+(ع2+نق) √
حيث أن: π: هو عدد ثابت، وقيمته العددية 22/7، 3.14، نق: هو نصف قطر القاعدة الدائرية للمخروط، ع: هو ارتفاع المخروط، ل: هو طول المائل أو الارتفاع الجانبي للمخروط.
أمثلة على حساب مساحة المخروط
- المثال الأول: احسب مساحة المخروط الذي ارتفاعه 8 وحدات، ونصف قطره 6 وحدات.
الحل: مساحة المخروط = π×نق×(نق+(ع²+نق²)√ = ((8²+6²)√+6)×π×6 =π×96 سم².
- المثال الثاني: احسب المساحة الكلية لمخروط نصف قطره 6 م، و طول ارتفاعه الجانبي 10 م .
الحل: مساحة المخروط = π×نق²+ π×نق×ل = 3.14×6²+3.14×6×10= 301.44م².
- المثال الثالث: مخروط دائري ارتفاعه الجانبي 15سم، ونصف قطر قاعدته 20سم، فما هي مساحته الجانبية؟
الحل: المساحة الجانبية للمخروط = π× نق×ل 3.14×20×15= 942 سم².[6]