ترتيب العمليات الحسابية

في مادة الرياضيات هناك مجموعة من الإشارات الحسابية المختلفة التي تستخدم في المعادلات والمسائل، فمن هذه الإشارات الحسابية إشارة اليساوي ويرمز لها “=” وهي التي استخدمها الرياضي الإنجليزي روبرت ريكورد، أما إشارة الزائد وإشارة الناقص (+)(-) فأول من استخدمهما هو الرياضي ويدمان وهو ذو جنسية ألمانية، أما إشارتي الأكبر والأصغر اللتان ترمزان بــ (>)(<) فأول من استخدمهما الرياضي الإنجليزي هاريوط، ووظيفة هذه الإشارات الحسابية في

حساب

المعادلات والمسائل والعمليات المختلفة.

فترتيب العمليات الحسابية يتجلى في القاعدة الأساسية التي تحدد أولويات العملية الحسابية المعطاة لحل المسألة، فالمسألة الواحدة من الممكن أن تحتوي على عدة عمليات حسابية ويجب أن يتم تنفيذ عملية قبل الأخرى عن طريق أسس يتم تحديدها ليتم الوصول إلى حل مقدار جبري الذي يتألف من أكثر من عملية حسابية، وتتجلى العمليات الحسابية في:

عملية الجمع
عملية الضرب
عملية الطرح
عملية القسمة
القوى والأس
الأقواس
الجذور

عندما تحتوي المسألة أكثر من عملية حسابية داخل المقدار الجبري فيجب أن يتم تنفيذها حسب الأولويات التي تتحدد من خلال العمليات التي توجد في هذا المقدار، ف

الترتيب الصحيح لإجراء العمليات الحسابية

هو:

أولًا الأقواس فيجب حل العمليات الموجودة داخل الأقواس ثم الانتقال إلى العمليات التي تتواجد خارج الأقواس.
ثانيًا يجب أن نبدأ بالقوى والجذور إن كانت تحتوي المسألة الحسابية على هذه العمليات، فهي أقوى العمليات ولهذا يجب أن تُنفذ أولًا.
ثالثًا الضرب والقسمة وهما عمليتان حسابيتان لهما المرتبة ذاتها والقوة ذاتها، فيجب إجراؤهما قبل عمليتي الجمع والطرح عند ورودهما في المسألة الحسابية، ولكن هناك بعض

المعادلات الرياضية

يتجلى فيها القسمة والضرب معًا وهنا نضطر للمقارنة بينهما، لهذا فإن الترتيب والأولوية تكون حسب موقعها في المسألة، فإذا كان المقدار مكتوبًا باللغة العربية فيجب تنفيذ العملية الحسابية التي تقع أولًا في جهة اليمين، أما إذا كانت اللغة التي كتبت بها المسألة الرياضية

الإنجليزية

فالأولوية للإشارة التي تكون من الجهة اليسرى .
رابعًا الجمع والطرح فعند إجراء كل العمليات التي ذكرناها سابقًا نتوجه إلى عمليتي الجمع والطرح، وعند المقارنة بين هاتين العمليتين نختار الإشارة حسب موقعها في المسالة، فعند كتابة المقدار باللغة العربية الأولوية تكون للإشارة التي تقع من الجهة اليمنى، أما في

اللغة الإنجليزية

فتكون الأولوية للإشارة التي تكتب من الجهة اليسرى .[1]

مسائل على ترتيب العمليات الحسابية

في الرياضيات يعتبر ترتيب العمليات هو القواعد التي يجب أن تُنفذ بتسلسل للحصول على ناتج صحيح، فمن الأمثلة على ترتيب العمليات الحسابية:

المثال الأول ما هو ناتج المسألة الحسابية 4x(5+3)=؟

الأولوية في هذه المسألة الحسابية للأقواس فيجب أن نجري العمليات ما بداخل الأقواس 5+3=8.
ثم ننتقل إلى عملية الضرب ونضرب الناتج بالسابع بالرقم أربعة=8*4=32.
أي العملية تمت كما يلي: 4x(5+3)= 4x(8)=32.

المثال الثاني ما هو ناتج المسألةالحسابية 5 ×

2
^{2 ؟}

الأولوية في المسألة الحسابية التالية هو القوة أو الأس 2 أس 2=4.
ثم ننفذ عملية الضرب 4*5=20.
أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 20=5x 4=5 ×

2
²

المثال الثالث ما هو ناتج المسألة الحسابية 2 + 5 × 3 ؟

الأولوية في المسألة الحسابية التالية لعملية الضرب فيجب أن نضرب العدد خمسة بالعدد ثلاثة وينتج لدينا العدد 15.
ثم نطبق عملية الجمع ونجمع اثنان مع الناتج السابق 15 ويساوي 17.
أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 3*5+2=15+2=17.

المثال الرابع ما هو ناتج المسألة الحسابية 30 5 × 3؟

الأولوية في المسألة الحسابية التالية لعملية القسمة أو الضرب فهما عمليتان لهما نفس الترتيب في القوة في ترتيب العمليات الحسابية ولكن يجدر بنا التنويه أنه يجب أن نبدأ من العملية التي تأتي أولًا فتكون من الجهة اليمنى في اللغة العربية، أما في اللغة الإنجليزية تكون من الجهة اليسرى، وهنا في المسألة المُدرجة في اللغة العربية يجب أن نبدأ من الجهة اليمنى وبالتالي نطبق عملية القسمة أولًا ثم الضرب.
أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي: 305*3=6*3=18.

المثال الخامس ما هو حل المسألة الآتية: 16-3×(8-3)² ÷5=؟

في المسألة الحسابية التالية الأولوية لما بين الأقواس لهذا 8-3=5.
ومن ثم الأولوية الثانية هي لعملية الأس الموجودة على الأقواس (5)²=25
ومن ثم الأولوية الثالثة هي لعمليتي الضرب والقسمة ولكن كما نوهنا سابقًا أننا يجب أن نبدأ بالعملية التي تأتي أولًأ وهنا هذه المعادلة باللغة العربية لهذا نبدأ من اليمين، وإن عملية الضرب هي التي يجب أن تُنفذ أولًا 3*(25)=75، ثم عملية القسمة أي 75÷5 = 15.
والأولوية الرابعة لعملية الطرح.
أي العملية الحسابية يتم حلها كما يلي : 16-3×(8-3)² ÷5= 16-3*(5)² ÷5= 16-3*(25) ÷5=16-75÷5 = 16-15=1.[2]

المثال السادس ما هو ناتج المسألة الحسابية 2×6+3=

يجب أولًا تنفيذ عملية الضرب لأنها حسب ترتيب العمليات الحسابية هي أقوى من عملية الجمع وبالتالي يجب أن نضرب العدد اثنان في ستة والإجابة 12.
ثم نجمع الرقم الناتج عن ضرب العددين بالرقم ثلاثة 12+3=15.

المثال السابع ما هو ناتج المسألة الحسابية 320÷8-2×9=

أولًا يجب تنفيذ عملية القسمة لأن العملية الحسابية مكتوبة بجهة اليمين، لهذا يتم تنفيذها قبل عملية الضرب، 320÷8 = 40.
ثم نجد حاصل الضرب لأن عمليتي الضرب والقسمة أقوى من عمليتي الجمع والطرح، 9*2=18.
ومن ثم نطبق عملية الطرح.
فيتم تطبيق حل هذه المسألة كالتالي: 320÷8-2×9= 40-18=22. [3]

أولويات العمليات الحسابية في البرمجة

إن العمليات الحسابية في

البرمجة

تشبه العمليات الحسابية التي نعتمدها في حل المسائل والمعادلات الرياضية، وتسمى باسم أسبقية المعامل، وتعني أنه يجب الأخذ بعين الاعتبار بوجوب ترتيب العمليات الحسابية حسب الأولوية والتي تتجلى في:

ما بين أقواس().
الأس أو القوى.
عملية القسمة و عملية الضرب *.
عملية الطرح والجمع.

قوانين العمليات الحسابية

إن هناك ثلاث قوانين من قوانين العمليات الحسابية وتتجلى في:

قانون التبادل

إن قانون التبادل في عملية الجمع ويُعرَّف بأنه هو حاصل جمع الأعداد ولا يرتبط بترتيب ظهور الأعداد في التمرين، أي لكل عددين a و b يكون فيها حاصل جمع a + b يكون مساويًا لحاصل جمع b+a، أي ترتيب الأعداد ليس مهمًا فبكلا الحالتين سنحصل على النتيجة نفسها، مثلا 8+3=3+8.
إن قانون التبادل في عملية الضرب هو حاصل ضرب الأعداد ولا يرتبط بظهور الأعداد في التمرين، أي لكل عددين a و b يكون فيها حاصل ضرب a * b يكون مساويًا لحاصل ضرب b*a.
قانون التبادل لا يمكن أن يتحقق في عمليتي الطرح والقسمة.

قانون التجميع

قانون التجميع في الجمع الذي يتكون من ثلاثة أعداد أو مضافات فمن الممكن أن نجمع من اليسار إلى اليمين أو أن نقوم بجمع المضافين الأخيرين ثم نقوم بإضافة حاصل جمعهما للعدد الأول حيث أن قانون التجميع يسهل تنفيذ الحسابات.
قانون التجميع في الضرب حيث أنه يتواجد فيه ثلاثة عوامل فيمكن أن نقوم بضرب الأعداد من اليسار إلى اليمين، أو أن نضرب العاملين الأخيرين ثم نضرب حاصل ضربهما للعامل الأول.
قانون التجميع لا يمكن أن يتحقق في عمليتي الطرح والقسمة.

وهناك أيضاً قانون ثالث وهو قانون التوزيع الذي يتجلى في وجود ثلاث أرقام a.(b+c) وهنا نضرب العدد الأول في b ونضرب العدد الأول في c ومن ثم نجمع حاصلي الضرب.[3]