ما هي النمذجة الرياضية

تعريف النمذجة

الرياضية:

النمذجة

الرياضية هي عملية يتم فيها التعبير عن مواقف

الحياة

الواقعية والعلاقات بين هذه المواقف باستخدام الرياضيات، أو عملية دورية يتم فيها ترجمة مشاكل الحياة الواقعية إلى لغة رياضية ومن ثم حلها ضمن نظام رياضي واختبار الحلول مرة أخرى ضمن نظام الحياة الواقعية.

في كلتا الحالتين، ينظر إلى النمذجة الرياضية على أنها تتجاوز الخصائص الفيزيائية لحالة واقعية لفحص سماتها الهيكلية من خلال الرياضيات، حيث تتطلب النمذجة الرياضية بناء نماذج رياضية للظواهر الطبيعية والاجتماعية التي تحركها المشكلة الحقيقية، حيث تكون هذه النماذج الرياضية هي جزء من عملية معالجة وفهم المشكلة الأصلية.[1]

أهداف النمذجة الرياضية

النمذجة الرياضية هي فن ترجمة سلوك نظام ما عن طريق اللغة الرياضية، حيث يتم استخدام صيغ رياضية يمكن تتبعها والتي يوفر تحليلها النظري والعددي الإجابات والإرشادات المفيدة التي تساعد على فهم النظام الأصلي.

يمكن استخدام النمذجة الرياضية من أجل عدد من الأسباب المختلفة، يعتمد مدى جودة تحقيق أي هدف معين على كل من حالة

المعرفة

حول النظام المدروس ومدى جودة النمذجة الرياضية.

تعد النمذجة الرياضية عملية أساسية لا غنى عنها في العديد من التطبيقات.
تعد النمذجة الرياضية ناجحة في العديد من التطبيقات الأخرى.
توفر النمذجة الرياضية الدقة والتوجيه في حل المشكلة.
توفر النمذجة الرياضية فهم شامل للنظام الخاضع للنمذجة.
تمهد النمذجة الرياضية الطريق من أجل تحسين التصميم أو التحكم في النظام الخاضع للنمذجة.
تسمح النمذجة الرياضية في الاستخدام الفعال لتقنيات الحوسبة الحديثة.

تعد دراسة النمذجة الرياضية خطوة مهمة في التحول من التدريب الرياضي النظري إلى الخبرة الرياضية التطبيقية، كما تساعد الأشخاص على إتقان تحديات الثقافة التكنولوجية الحديثة.[2]

مكونات النمذجة الرياضية

مكونات النمذجة الرياضية هي عبارة عن متغيرات أو معلمات، ثوابت ومعلمات المعايرة، ومعلمات الإدخال والبيانات، ومعلمات المرحلة، ومعلمات الإخراج، والمعلمات العشوائية، حيث تتضمن عملية النمذجة الرياضية مراحل

تحديد

المشكلة وصياغتها وبناء النموذج الرياضي وتطوير وتفسير النموذج والتحقيق والتنفيذ واستخدام الأساليب العددية من أجل تفسير النتائج النهائية.

الأشكال الرئيسية المستخدمة في النماذج الرياضية هي

الأرقام

والبيانات والتوابع والمعادلات والتباين وأنظمة المعادلات والمعادلات التفاضلية العادية والجزئية.[3]

صفات النمذجة الرياضية

تعدد الاستخدامات: ميزة اكتمال النموذج الرياضي للخصائص المدروسة للنظام الحقيقي.
الكفاءة: القدرة على عكس الخصائص المرغوبة لنظام ما مع خطأ لا يتجاوز الحد.
الدقة: تمثل الدقة الدرجة المقدرة لمطابقة خصائص النظام الحقيقي مع قيم هذه المعلمات الناتجة عن النماذج الرياضية.
الاقتصادية: تحدد من خلال تكلفة موارد

الكمبيوتر

من الذاكرة والوقت اللازم للتنفيذ والتشغيل.

مراحل النمذجة الرياضية

تتضمن المراحل الأساسية للنمذجة الرياضية:

بناء النموذج الرياضي، تحتوي هذه المرحلة الأولية على عناصر غير رياضية، على سبيل المثال، ظاهرة طبيعية أو تصميم أو خطة اقتصادية أو عملية إنتاجية وما إلى ذلك، وبالتالي، كقاعدة عامة، من الصعب وضع وصف واضح للوضع، أولًا يتم تحديد السمات الرئيسة للظاهرة والعلاقات فيما بينها على المستوى النوعي، ثم يتم وضع علاقات نوعية تمت صياغتها بلغة رياضية تمثل النموذج الرياضي، تعد هذه المرحلة أصعب مرحلة في المحاكاة.
تتضمن المرحلة الثانية حل المسألة الرياضية التي تؤدي إلى النموذج، في هذه المرحلة، يتم إيلاء الكثير من الاهتمام من أجل تطوير الخوارزميات والأساليب العددية لحل المسائل الرياضية على جهاز الكمبيوتر، حيث يمكن الحصول على النتائج بالدقة المطلوبة والوقت المسموح به.
تتضمن المرحلة الثالثة تفسير نتائج النموذج الرياضي، يعد البحث المشتق من النموذج في لغة الرياضيات هو لغة مفسرة مقبولة في النظام.
التحقق من كفاءة النموذج، تتضح في هذه المرحلة ما إذا كانت النتائج التي حصلنا عليها تتفق مع النموذج النظري من النتائج المنطقية ضمن دقة محددة.
تعديل النموذج، يمكن في هذه المرحلة تعديل النموذج من أجل جعله أكثر ملاءمة للحقيقة أو تبسيط النموذج من أجل الحصول على حل مقبول عمليًا.[4]

أمثلة من العالم الحقيقي عن النمذجة الرياضية

تؤثر النمذجة الرياضية على كل جانب من جوانب حياتنا، وفيما يلي بعض الأمثلة من

العالم

الحقيقية التي تظهر أهمية النمذجة الرياضية

العلوم الفيزيائية والهندسة

غالبًا ما تبدأ العلوم الفيزيائية والهندسة من قوانين معروفة ومبسطة، يتم ذلك غالبًا عن طريق تحديد حجم التأثيرات المختلفة ثم تجاهل التأثيرات التي تعتبر أصغر من أن تحدث فرقًا كبيرًا في النتيجة النهائية، يمكن القيام بذلك إما باستخدام صيغ رياضية أو عن طريق التجارب، في بعض الأحيان يتم دمج هذه الصيغ أو التجارب مع افتراضات حول كيفية عمل النظام من أجل تقليل عدد الاحتمالات اللازم دراستها.

تساعد الأمثلة الحقيقية في فهم القوة التنبؤية الحقيقية للنمذجة الرياضية، على سبيل المثال، دور النمذجة الرياضية في الميكانيكا السماوية، بعد أن كتب نيوتن قوانين الحركة في النظام الشمسي، وجد أنها دقيقة للغاية في التنبؤ بمسارات الكواكب المعروفة في ذلك

الوقت

، ومع ذلك، اكتشف ويليام هيرشل في 13 مارس 1781 كوكب أورانوس، وعند رسم مداره، وجد أنه يتفق تقريبًا مع تنبؤات ميكانيكا نيوتن مع وجود تناقضات صغيرة، في هذه المرحلة، كانت الثقة في دقة النموذج الأساسي لنيوتن كبيرة لدرجة أن هذه التناقضات الصغيرة تسببت في قدر كبير من القلق.

تم الافتراض على أنه لا بد من وجود سبب، وكان أحد التفسيرات هو وجود كوكب آخر يؤثر على مدار كوكب أورانوس، باستخدام النموذج النيوتوني للنظام الشمسي، كان من الممكن

حساب

موقع

هذا الكوكب، واعتمادًا على النتائج تم اكتشاف كوكب نبتون في عام 1846 بالاعتماد على النمذجة الرياضية.

الدرس الأساسي من هذا المثال هو أن النمذجة الرياضية كانت قادرة على التنبؤ بشيء جديد تمامًا، حيث أصبح من الواضح في هذه المرحلة أن النمذجة الرياضية لديها قوة مفيدة غير عادية.

العلوم البيولوجية

استغرق الأمر وقتًا أطول للنمذجة الرياضية لإحداث تأثير في العلوم البيولوجية، والسبب الرئيسي في ذلك هو أن الأنظمة البيولوجية أكثر تعقيدًا بطبيعتها من الأنظمة الفيزيائية، كما أنه من الصعب عمومًا إجراء تجارب على الأنظمة البيولوجية، ومع ذلك، من خلال الدراسة المتأنية، تم إحراز تقدم كبير في السنوات الأخيرة، حيث يتم استخدام النمذجة الرياضية الآن للمساعدة في فهم تغيير أعداد الحيوانات وتطور الأنماط البيولوجية وانتشار الأمراض وعمل الجهاز العصبي.

العلوم الاجتماعية

تعد النمذجة الرياضية مفيدة وضرورية في العلوم الاجتماعية، ولكنها معقدة قليلًا بسبب الحاجة إلى أخذ السلوك البشري في الاعتبار، وبالنظر إلى الطريقة المعقدة التي يفكر بها البشر، فإن هذا الأمر صعب بشكل عام إن لم يكن مستحيل، ومع ذلك، تم استخدام النمذجة الرياضية في الوقت الحالي من أجل وصف الأنظمة الاقتصادية.[5]