بحث عن المثلثات المتطابقة
تعريف تطابق المثلثات
التطابق بوجه عام هو مصطلح يصف وجود كائن وصورته المعكوسة ، فيقال أن أي كائنين متطابقين إذا تراكبا على بعضهما البعض.
تطابق المثلثات: يقال إن مثلثين متطابقين إذا كانت:
-
الأضلاع الثلاثة المتناظرة متساوية في
الطول
. - وجميع الزوايا الثلاث المتناظرة متساوية في القياس.
وبالتالي يمكن أن تنزلق هذه المثلثات وتدويرها وتقليبها وتحويلها لتبدو متطابقة مع بعضها البعض إذا تم تغيير موقعها ،
وعلامة تطابق المثلثات هي ≅.
وعند تطابق مثلثين تكون:
- مساحة المثلثين متساويتان.
- محيط المثلثين متساويين. [1]
مثال على تطابق المثلثات
في الشكل التالي، المثلث ABC يتطابق مع المثلث PQR وتكتب Δ ABC ≅ Δ PQR .
حيث أن الزاوية ∠ P = A ، و B = Q و C = R .
وطول الضلع AB= PQ ، AC= PR ، BC= QR .
حالات تطابق المثلثات
1- يتطابق مثلثين إذا تطابق ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في كلا المثلثين.
في الشكل التالي نجد أن الضلعين AB = PQ و AC = PR والزاوية بين AC و AB تساوي الزاوية بين PR و PQ أي ∠A = P.
ومن ثم فإن المثلث PQR يتطابق مع المثلث ABC أو Δ ABC ≅ Δ PQR.
2- إذا كان
الأضلاع
الثلاثة للمثلثين متساوية.
في الشكل التالي نجد أن الأضلاع AB = PQ ، QR = BC و AC = PR ، وبالتالي يتطابق المثلثان Δ ABC ≅ Δ PQR.
3-
إذا كانت قياس أي زاويتين والضلع المتضمن بينهما في أحد المثلثين مكافئتين للزوايتين المتناظرتين لهما والضلع المتضمن بينهما في المثلث الأخر، فيقال إن المثلثين متطابقان من القاعدة.
في الشكل التالي: قياس الزاوية R = قياس الزاوية C، وقياس الزاوية Q = قياس الزاوية B، وطول الضلع QR = CB ، إذن المثلث ACB
≅ المثلث PRQ .
إثبات تطابق المثلثين
تدريبات على تطابق المثلثات
مثال 1: في الشكل التالي إذا كان ، AB = BC و AD = CD.
أثبت أن السهم BD منصف عمودي للسهم AC.
الحل:
في هذا المثال نحن مطالبون بإثبات أن ∠BEA = ∠BEC = 90 ° و AE = EC.
لذلك ضع في اعتبارك أن طول الضلع AB = BC (معطى)
AD = CD (معطى)
BD = BD (لأنه ضلع مترك في المثلثين
إذن يتطابق المثلثان ∆ABD ≅ ∆CBD لأن أضلاعهما الثلاثة متساوية في الطول.
مما سبق نستنتج أن الزاوية ABD = الزاوية CBD
الآن في المثلثين ∆ABE and ∆CBE، بما أن AB = BC (معطى)
∠ABD = ∠CBD (ثبت أعلاه) ، و طول الضلعين BE = BE (لأنهما ضلع شترك)
إذن نستنتج أم المثلثين ABE ≅ ∆CBE (بسبب تطابق ضلعين في المثلث والزاوية المحصورة بينهما.
وبالتالي فإن الزاويتان ∠BEA = ∠BEC متساويتان.
وبما أن مجموع قياس الزاويتين BEA + BEC = 180 درجة ( لأنهما زوج خطي).
إذن قياس الزاوية
BEA = قياس الزاوية BEC يساوي 180/ 2 = 90 درجة.
وبما أن طول الضلع AE = طول الضلع EC .
إذن فإن BD منصف عمودي للضلع AC ، وهو المطلوب إثباته.
مثال 2:
في المثال السابق في المثلي Δ ABC ، إذا كان AB = AC و ∠ B = 70 ° ، فأوجد قياس ∠ A.
الحل:
في المثلث Δ ABC
بما أن AB = AC و ∠B = 70 ° (معطى).
وقياس الزاوية B = قياس الزاوية C = 70 درجة( لأنهما مقابلان لضلعين متساويين).
وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث = 190 درجة.
فإن قياس الزاوية A = 180 – 140= 40 درجة.
مثال 3:
في الشكل المقابل ، أثبت أن المثلثين PQR و RST متماثلين.
الإجابة:
بما أن طول الضلع PR = RT (معطى).
وبما أن قياس الزاوية SRT = قياس الزاوية PRQ لأنهما متقابلين بالرأس.
وطول الضلع QR = RS (معطى).
إذن المثلث PQR
≅ RST (وهو المطلوب إثباته).
مثال4:
في الشكل التالي أثبت أن المثلثين XWY و QRP متطابقين.
الإجابة:
بما أن XY = PR (معطى).
بما أن المثلث XWY و QRP قائمي الزوايا، قياس XWY = QRP = 90 درجة
بما أن طول الوتر XY = طول الوتر PQ.
إذن المثلثين متطابقين. [3]