بحث عن المثلثات المتطابقة

تعريف تطابق المثلثات

التطابق بوجه عام هو مصطلح يصف وجود كائن وصورته المعكوسة ، فيقال أن أي كائنين متطابقين إذا تراكبا على بعضهما البعض.

تطابق المثلثات: يقال إن مثلثين متطابقين إذا كانت:

  • الأضلاع الثلاثة المتناظرة متساوية في

    الطول

    .
  • وجميع الزوايا الثلاث المتناظرة متساوية في القياس.

وبالتالي يمكن أن تنزلق هذه المثلثات وتدويرها وتقليبها وتحويلها لتبدو متطابقة مع بعضها البعض إذا تم تغيير موقعها ،

وعلامة تطابق المثلثات هي ≅.

وعند تطابق مثلثين تكون:

  • مساحة المثلثين متساويتان.
  • محيط المثلثين متساويين. [1]

مثال على تطابق المثلثات

في الشكل التالي، المثلث ABC يتطابق مع المثلث PQR وتكتب  Δ ABC  ≅  Δ PQR .

حيث أن الزاوية ∠ P = A ، و B = Q  و C = R .

وطول الضلع AB= PQ ، AC= PR ، BC= QR .

بحث عن المثلثات المتطابقة

حالات تطابق المثلثات

1- يتطابق مثلثين إذا تطابق ضلعين والزاوية المحصورة بينهما في كلا المثلثين.



في الشكل التالي نجد أن الضلعين  AB = PQ و AC = PR والزاوية بين AC و AB تساوي الزاوية بين PR و PQ أي ∠A = P.


ومن ثم فإن المثلث PQR يتطابق مع المثلث  ABC  أو  Δ ABC ≅ Δ PQR.

بحث عن المثلثات المتطابقة

2- إذا كان

الأضلاع

الثلاثة للمثلثين متساوية.



في الشكل التالي نجد أن الأضلاع  AB = PQ ، QR = BC و AC = PR ، وبالتالي يتطابق المثلثان Δ ABC ≅ Δ PQR.

بحث عن المثلثات المتطابقة

3-


إذا كانت قياس أي زاويتين والضلع المتضمن بينهما في أحد المثلثين مكافئتين للزوايتين المتناظرتين لهما  والضلع المتضمن بينهما في المثلث الأخر، فيقال إن المثلثين متطابقان من القاعدة.

في الشكل التالي: قياس الزاوية R = قياس الزاوية C، وقياس الزاوية Q = قياس الزاوية B، وطول الضلع QR = CB ، إذن المثلث ACB


≅  المثلث PRQ .

بحث عن المثلثات المتطابقة

تدريبات على تطابق المثلثات



مثال 1: في الشكل التالي إذا كان ، AB = BC و AD = CD.



أثبت أن  السهم BD منصف عمودي للسهم AC.

بحث عن المثلثات المتطابقة



الحل:



في هذا المثال نحن مطالبون بإثبات أن  ∠BEA = ∠BEC = 90 ° و AE = EC.



لذلك ضع في اعتبارك أن  طول الضلع AB = BC (معطى)



AD = CD (معطى)



BD = BD (لأنه ضلع مترك في المثلثين



إذن يتطابق المثلثان  ∆ABD ≅ ∆CBD لأن أضلاعهما الثلاثة متساوية في الطول.

مما سبق نستنتج أن الزاوية ABD =  الزاوية  CBD



الآن في المثلثين ∆ABE and ∆CBE، بما أن  AB = BC (معطى)



∠ABD = ∠CBD (ثبت أعلاه) ، و طول الضلعين BE = BE (لأنهما ضلع شترك)



إذن نستنتج أم المثلثين  ABE ≅ ∆CBE (بسبب تطابق ضلعين في المثلث والزاوية المحصورة بينهما.



وبالتالي فإن  الزاويتان   ∠BEA = ∠BEC متساويتان.

وبما أن مجموع قياس الزاويتين  BEA + BEC = 180  درجة ( لأنهما زوج خطي).

إذن قياس الزاوية


BEA = قياس الزاوية BEC يساوي 180/ 2 = 90 درجة.

وبما أن طول الضلع AE = طول الضلع EC .

إذن فإن  BD منصف عمودي للضلع AC ، وهو المطلوب إثباته.


مثال 2:


في المثال السابق في المثلي Δ ABC ، إذا كان AB = AC و ∠ B = 70 ° ، فأوجد قياس ∠ A.

الحل:


في المثلث Δ ABC


بما  أن AB = AC و ∠B = 70 ° (معطى).

وقياس الزاوية B =  قياس الزاوية  C = 70 درجة( لأنهما مقابلان لضلعين متساويين).

وبما أن مجموع قياسات زوايا المثلث = 190 درجة.

فإن قياس الزاوية A = 180 – 140= 40 درجة.

مثال 3:

في الشكل المقابل ، أثبت أن المثلثين PQR  و RST  متماثلين.

بحث عن المثلثات المتطابقة

الإجابة:

بما أن طول الضلع PR  =  RT (معطى).

وبما أن قياس الزاوية SRT = قياس الزاوية PRQ  لأنهما متقابلين بالرأس.

وطول الضلع QR  =  RS (معطى).

إذن المثلث PQR


≅ RST (وهو المطلوب إثباته).

مثال4:

في الشكل التالي أثبت أن المثلثين XWY و QRP متطابقين.

بحث عن المثلثات المتطابقة

الإجابة:

بما أن XY = PR (معطى).

بما أن المثلث XWY و QRP قائمي الزوايا، قياس XWY = QRP = 90 درجة

بما أن طول الوتر XY =  طول الوتر PQ.

إذن المثلثين متطابقين. [3]