تعريف خاصية التعدي وانواعها بالأمثلة

تعريف المجموعات

المجموعة هي عبارة عن عدد من العناصر وتسمى عناصر المجموعة، وللتعبير عن عناصر المجموعة نستخدم رمز € ويسمى”  ينتمي إلى” على سبيل المثال إذا كانت س مجموعة و ص أحد عناصر المجموعة فإن س€ ص (ص تنتمي إلى س) أما إذا كانت ص ليست أحد عناصر س فإن ص لا تنتمي إلى س (س ∉ ص).[1]

وتوجد طريقتين للتعبير عن المجموعات في الرياضيات:

الأولى: باستخدام قوسين معقوفين ونكتب داخلهما عناصر المجموعة وبين كل عنصر والأخر علامة فاصلة على سبيل المثال {1، 2،3 } هي مجموعة عناصرها 1 و2 و 3 .

التعبير عن المجموعة بالصفة المميزة على سبيل المثال التعبير مجموعة الاتجاهات الأصلية الأربعة، وعناصر تلك المجموعة هي الشرق والغرب والشمال والجنوب

كما يمكن التعبير عن المجموعة الفارغة وهي المجموعة الفريدة التي لا تحتوي على عناصر، ونكتب المجموعة الفارغة بالرمز ∅ أو {} وتسمى فاي.

والمجموعة المجموعة المفردة هي مجموعة تحتوي على عنصر واحد فقط على سبيل المثال ، {a} و {∅} و {{a}} كلها مجموعات فردية (العضو الوحيد في المجموعة {{a}} هو {a}

العمليات على المجموعات

يمكن إجراء عدد من العمليات على المجموعات منها  :

الاتحاد ويشار له بالرمز ᵁ وفي الاتحاد يتم جمع جميع العناصر غير المتشابهة معًا لتكوين مجموعة جديدة:

مثال إذا كانت المجموعة أ= {1،2} والمجموعة ب ={2،3،4}، فأوجد ناتج اتحاد المجموعتين.

أ  ᵁ ب= {1،2،3،4}.

التقاطع

عند تقاطع مجموعتين فإن الناتج يكون جميع العناصر المشتركة بين المجموعتين فقط .

مثال:

مثال إذا كانت المجموعة أ= {1،2} والمجموعة ب ={2،3،4}، فأوجد تقاطع المجموعتين.

أ  ∩ ب= {2}.

الفرق بين مجموعتين

الفرق بين مجموعتين يمثل مجموعة العناصر الموجودة في المجموعة الأولى وليست موجودة في المجموعة الثانية.

مثال : إذا كانت المجموعة أ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 }

المجموعة ب =  {  3 ،  4، 5، 6 1} .

• فإن أ – ب = { 1 ، 2 }
• ويكون ب – أ = {  6، 5 }

حاصل الضرب الديكارتي

هو أحد العمليات التي تتم على المجموعات ، وتكتب أ ᵡ ب ، ونتيجة حاصل الضرب الديكارتي لأي مجموعتين أ و ب هو عبارة عن مجموعات من الأزواج المرتبة على شكل (س، ص) حيث العنصر س € للمجموعة أ والعنصر ص € للمجموعة ب.

ويتم تمثيل حاصل الضرب الديكارتي باستخدام عدة طرق منها المخطط السهمي ، ويكون كما في الصورة التالية :

في المخطط السهمي أو مخطط التطبيق الأول تمثل العلاقة باسم تخرج من الشكل الذي يحتوي على عناصر المجال، للشكل الذي يحتوي على عناصر المدى.

في المخطط العددي تمثل العلاقة على خط الأعداد، حيث نبدأ بسهم من المجال وينتهي عند المدى فيكون الزوج (1، 10) جزء من ناتج حصل الضرب الديكارتي.

ويجب مراعاة اتجاه الاسهم عند اجراء حاصل الضرب الديكارتي، وكتابة الأزواج الناتجة بالترتيب ، لأن (1، 2) يختلف عن الزوج (1،2).

تعريف العلاقات

العلاقة بين قيم س وص يعبر عنها في صورة زوج مرتب ، وتسمى مجموعة قيم س بالمجال وتسمى قيم ص بالمدى ويمكن عرض تلك العلاقات في عدة صور، إما على خط الأعداد أو في صورة

جدول

أو بالتمثيل البياني.[2]

أنواع العلاقات على المجموعات

العلاقة(الثنائية)  بين أي مجموعتين أ و ب هي مجموعة فرعية من حاصل الضرب الديكارتي أ × ب، وبالتالي فإن العلاقة تكون مجموعة من الأزواج.

هناك بعض العلاقات المحددة بين عناصر ، حيث تكون العلاقة:

• إما متعدية
• أو معكوسة
• أو متناظرة
• أو علاقة تكافؤ

ولتحديد نوع العلاقة يجب أن تتوافر عدة شروط في تلك العلاقة.

تعريف خاصية التعدي وأنواعها

هي النوع الرابع من أنواع العلاقات ، وتكون العلاقة ع متعدية على المجموعة أ إذا تحقق الشرط التالي :

إذا كان الزوج  (س، ص )∈ ع ، و(ص، ل) ∈ ع ، وفي نفس

الوقت

إذا كان  ع  € (ل، س ).

بمعنى أخر إذا وجدنا عند تمثيل حاصل الضرب الديكارتي أننا بدأنا خط من س إلى ص (س،ص)  ثم خط من ص إلى ل (ص،ل)، ثم خط من ل إلى س (ل،س) فإن العلاقة تكون متعدية أي أنها تعدت أو تخطت ص.

أمثلة على خاصية التعدي

مثال 1

إذا كانت أ= { 1، 2، 3، 4 } .

فأي العلاقات التالية

المعرفة

على أ تكون متعدية وأيها لا:

1- ع={ (1، 3) ، (3 ، 4 ) ، (2،2) ، (1 ، 4 ) }

2 – العلاقة ك = {(1، 3) ، (3، 4) ، (2،3) }.

الإجابة

العلاقة ع : علاقة متعدية لأنه:

عندما نمثلها على خط الأعداد سنجد سهم من 1 إلى 3 ، ثم سهم من 3 إلى 4 ثم سهم من 1 إلى 4 فهنا تحققت خاصية التعدي.

الزوج (2،2) يحقق خاصة التعدي.

إذن نستنتج أن العلاقة ع متعدية لأن جميع عناصرها تحقق خاصية التعدي.

أما العلاقة ك : غير متعدية لأن جميع عناصرها لا تحقق خاصية التعدي، حيث  (2، 3 ) ∈ ك و (3، 4) ∈ ك بينما  (2، 4) ∉ ك.

مثال 2

إذا كانت أ = { 1، 2 ، 3 ، 4 }، فأي العلاقات التالية متعدية على أ وأيهما غير متعدية:

ع = { (1 ، 2 ) ، (2 ، 3 ) ، ( 3 ، 4 ) ، (2،3) ، )، (2، 4) ، (1، 4) }

م = { (1 ، 2 ) ، (2 ، 3 ) ، ( 3 ، 4 ) ، (2،4) ، )، (2، 4) }

عند تمثيل العلاقتين على خط الأعداد نجد أنهما سيكونان كالتالي:

إن العلاقة ع متعدية على أ.

العلاقة م غير متعدية على أ ، لأن (1، 2) ∈ م  و( 2، 4) ∈ م، لكن (1، 4) ∉ م.

مثال3

إذا كانت أ={1 ، 2 ، 3 ، 4 }

فأي العلاقات الآتية المعرفة على أ متعدية وأيها لا

ع={ (1 ، 2) ، ( 2 ، 3 ) ، (1 ، 3 ) ، (4 ، 4 ) }

ك = { (1، 1)، (1 ، 2) ، ( 2، 1) ، ( 2، 3) ، (3 ، 4) }

الإجابة

العلاقة ع

• هناك علاقة من 1 إلى 2 وعلاقة من 2 إلى 3 ، ثم علاقة من 1 إلى 3 ، إذن فالتعدي قد تحقق في الجزء الأول.
• نجد علاقة من 4 إلى 4 ، ولأنه لا يوجد أزواج أخرى تحتوي على 4 .
• إذن ع تحقق شروط التعدي .
• إذن ع علاقة متعدية.

العلاقة ك

• هناك علاقة من 1 إلى 1 ، وعلاقة من 1 إلى 2 ، ثم علاقة من 1 إلى 2 إذن التعدي قد تحقق في تلك الأزواج.
• ونجد أيضًا علاقة من 2 إلى 3 ثم من 3 إلى 4، لكن لا توجد علاقة من 2 إلى 4 ، إذن التعدي غير متحقق .
• إذن العلاقة ك غير متعدية على أ لعدم توافر شروط التعدي.

مثال 4

إذا كانت أ= { 1 ، 2 ، 3 }

فإي العلاقات الأتية معرفة على أ متعدية وأيها ليست متعدية:

ع =  { (1 ، 1 ) ، ( 1، 2 ) ، (2، 1) ، (3 ، 3 ) ، ( 2، 2 ) }

ك =  { (1 ، 1 ) ، ( 1، 2 ) ، (2 ، 2) ، ( 2، 3 ) ، (3، 3) }

الإجابة

العلاقة ع

• نجد علاقة من 1 إلى 1 ، وعلاقة من 1 إلى 2 ثم علاقة من 1 إلى 2 إذن يتحقق أحد شروط التعدي .
• نجد علاقة من 2 إلى2 ، وعلاقة من 2 إلى 1 ثم علاقة من 2 إلى 1 إذن يتحقق أحد شروط التعدي .
• وهناك علاقة من 3 إلى 3 ، ولا يوجد زوج أخر به 3 كمسقط أول ، إذن يتحقق شرط التعدي
• إذن ع تحقق شروط التعدي .
• إذن ع علاقة متعدية على أ

العلاقة ك

• نجد علاقة من 1 إلى 2، وعلاقة من 2 إلى 3 ، لكن لا توجد علاقة من 1 إلى 3 إذن لا يتحقق أحد شروط التعدي .
• إذن العلاقة ك ليست متعدية على المجموعة أ.