تعريف المتتالية

المتتالية أو المتتابعة هي مفهوم يشير إلى مجموعة من العناصر التي تكون مرتبة بشكل محدد ومتسلسل، ويكون هذا الترتيب منظماً، وتربط بين عناصر المتتالية و تعرف أيضاً باسم حدود المتتالية علاقة رياضية بحيث ينتج كل حد من حدودها بعد أن تطبق هذه العلاقة، وتسمى هذه العلاقة هي صيغة الحد العام للمتتالية وقد تكون هذه المتتالية محدودة أي لها عدد محدود ومعلوم أو تكون لا نهائية الحدود، ويستخدم حرف لاتيني ويكون حرفاً كبيراً للدلالة على اسم المتتالية، ولكن حدود المتتالية تعرّف باستخدام الصيغة “

a
_i

” أو “

a
_n

”، حيث أن هذا الحرف الفرعي يشير إلى رقم الحد.

وممكن أن نعرف المتتالية كتعريف رياضي بحت أنها هي تابع وهي مجموعة الأعداد الطبيعية أو ممكن أن تكون هذه المتتالية هي مجموعةٍ جزئيّةٍ غير منتهية منها من النمط { ….n
₀
, n
_{0+ 1}
, n
_{0+ 2}
}، حيث n
₀
هو عددٌ طبيعيٌّ مُعطى وهذا العدد يختلف من متتاليةٍ إلى أخرى، و يكون مُستقرّها هو مجموعة الأعداد الحقيقيّة {R}، والتي تُمثّل مجموعة عناصر المتتالية، وإن

المتسلسلة الهندسية

هي مجموع حدود المتتالية.[1]

ما هي المتسلسلة الهندسية

إن المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتتالية وممكن القول أنها مجموع لا نهائي من الشكل، وفي الغالب تبدأ هذه السلسلة بالرقم واحد، ودائماً ما نجد فجوة بين أي مجموع جزئي في المتسلسلة الهندسية.

ما هي المتسلسلة الهندسية النهائية

وهي مجموع متوالية هندسية وتكون لا نهائية، حيث أنه لا يوجد مصطلح أخير لهذه السلسلة لأن الشكل العام لها لانهائية وهو نوع العقدة الغير معروفة، ونستطيع أن نوجد مجموع السلاسل الهندسة المنتهية واللانهائية، ولكننا نجد أن في المتسلسلة الهندسية اللانهائية تكون النسبة العامة لها أكبر من واحد وبالتالي ستغدو حدودها أكبر، وإذا قمنا بجمع الأعداد الكبيرة لن نحصل على إجابة نهائية بينما الإجابة الوحيدة التي سنحصل عليها هي اللانهاية، ويستخدم تدوين سيجما لتمثيل السلسلة الهندسية اللانهائية.

قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية

إن قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية يكتب على أنه متسلسلة وهو مجموع حدود المتتابعة ويتم كتابة هذه المتسلسلة الهندسبة التي يكون عدد حدودها ن بالشكل التالي: ﺟ_ﻥ = ﺃ + ﺃﺭ + ﺃﺭ^٢ + ﺃﺭ^٣ + ⋯ + ﺃﺭ^(ﻥ − ١)، حيث أن “أ” هو الحد الأول، أما “ر” هو أساس المتتابعة الهندسية، والأساس هو العدد الذي تضرب فيه حداً حتى تحصل على الحد التالي في المتتابعة، بشرط أن “ر” لا يمكن أن تساوي الواحد [3]

حساب مجموع المتسلسلة الهندسية

بعد معرفة قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية سنبين كيفية

حساب

مجموع هذه المتسلسلة الهندسية ولكن أولاً نريد تسليط الضوء على “ر ” التي لا تساوي الواحد البتة، حيث أن إذا كانت”ر ” تساوي الواحد وهذا يعني أنه سيكون أساس المتتابعة الهندسية يساوي واحد، وهذا لا يمكن لأنه إذا كان هذا فسيكون لديك متتابعة شكلها كالتالي: أ في واحد، وأ في واحد تربيع، وأ في واحد تكعيب، فسيكون دائماً ناتج كل حد من هذه المتتابعة يساوي أ، وبالتالي لن تكون متتابعة بل هي مجرد تكرار لعدد.

ولإيجاد مجموع الحدود الستة الأولى لمتسلسلة هندسية أ يكون مساوياً 24، و “ر” تساوي نصفاً، فلحل هذه المسألة يجب أن نستخدم الصيغة التي تنص على أن مجموع أول عدد “ن” من الحدود جـ ن يساوي أ(1-ر
^ن
) 1-ر، مع العلم أن “ر” لا يمكن أن تكون مساوية للرقم واحد، وبالنظر إلى المقام نجد أنه واحد ناقص ر سيكون مساوياً للرقم صفر، وهذا يدل أن هذا غير ممكن ولن يعطينا حلاً حقيقياً، ولهذا عندما نريد حل هذه المسألة سنتبع الخطوات التالية:

كتابة القيم الموجودة حسب المسألة وهي أ تساوي 24، إذن أول حد هو 24.
ثم لدينا ر يساوي نصفاً أي أساس المتتابعة الهندسية مساوية النصف.
يجب إيجاد قيمة ن، ونستطيع إيجادها عن طريق الصيغة الموجودة لدينا وبالتالي فإن ن تساوي العدد ستة، وتم إيجاد قيمة ن عن طريق حساب عدد الحدود للمسألة التي نحلها.
إن مجموع الحدود الستة الأولى نكتبه بالرمز جـ وهو مساوي ستة، وهذا ما نريد إيجاده في هذه المسألة.
والآن بعد أن أوجدنا القيم جميعها نقوم بالتعويض بها في الصيغة حتى نوجد مجموع الحدود الستة الأولى، فيصبح لدينا جـ6 = 24 (1-21^
⁶
) 1-21، (فستكون هذه المعادلة جـ ستة تساوي 24 مضروبة بواحد ناقص نصف أس ستة على واحد ناقص نصف).
ثم نبسط هذا فيصبح لدينا الرقم 189 على ثمانية ثم على نصف، أي 189 على أربعة.
وأخيراً نبسط العدد بتحويله إلى عدد كسري حتى نحصل على مجموع الحدود الستة الاولى لهذه المتسلسلة الهندسية والتي تساوي 47 وربع.
ونلاحظ أنه نتج معنا العدد 47 وربع بسبب أن العدد أربعة يتكرر في العدد 189، 47 ويبقى واحد لهذا نحصل على 47 وربع.

ما هي المتتالية الحسابية

وهي من أبسط أنواع المتتاليات وأكثرها شهرة، ونقول عن متتالية أنها متتالية حسابية عندما يكون كل حد من حدودها ينتج عن جمع أو طرح رقماً ثابتاً إلى الحد الذي يسبقه، فمثلاً لدينا مجموعة

الأرقام

(10، 13، 16، 19، 22، 25، 28) فنقول عن هذه المجموعة على أنها متتالية حسابية لأن كل حد من حدودها ينتج عن طريق إضافة العدد ثلاثة إلى الحد السابق له.

ما هي المتتالية الهندسية

وهي المتتالية التي تكون أعدادها أي حدودها طبيعية بحيث أن كل حد منها ينتج عن الحد السابق من خلال ضربه أو قسمته على عدد حقيقي ثابت، وإن هذا العدد الثابت يسمى بأساس المتتالية، فمثلاً لدينا مجموعة الأعداد التالية: (2، 6، 18، 54، 162) ونقول أن هذه الأعداد هي متتالية هندسية ويكون أساسها العدد ثلاثة حيث أن كل حد منها ينتج عن ضرب الحد الذي يسبقه بالأساس ثلاثة، ويمكن إيجاد الصيغة العامة للمتتالية الهندسية من خلال ملاحظة أن كل حد من حدود المتتالية ينتج عن الحد الأول وفق ما يلي:

أ
₁
=ر
₁
أ
₂
=أ
₁
× ر
أ
₃
= أ
₂
× ر=( أ
₁
× ر) × ر= أ
₁
×ر
²
أ
₄
= أ
₃
× ر = (أ
₁
× ر
²
) × ر=أ
₁
× ر
³

بالتالي نستنتج أن:

أ
_ن
= أ
₁
×ر
^n-1

الفرق بين المتتالية الحسابية والهندسية

إن هناك بعض الفروق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية وتتجلى في :

إن الفرق الرئيسي بين المتتاليتين هو أن المتتالية الحسابية تنتج من خلال جمع أو طرح عدد ثابت إلى الحد الذي يسبقه، ولكن المتتالية الهندسية فإن كل حد منها ينتج عن طريق ضرب أو قسمة الحد الذي يكون قبله بعدد ثابت.
المتتالية الحسابية يكون نوع التغير بين حدودها هو تغيراً خطياً، أما المتتالية الهندسية فإن التغير بين حدودها يكون تغيراً أسياً.
المتتالية الحسابية مسار التغير بين حدودها يكون في اتجاه واحد، أي أن حدودها إما أن تكون بشكل متزايد أو بشكل متناقص، ولكن المتتالية الهندسية لا تأخذ منحى واتجاه محدد لتغير قيم حدود المتتالية، حيث أن قيم حدودها تكون متناقصة ومتزايدة بشكل متبادل.[2]