تعريف المثلث

المثلث هو أحد الأشكال الهندسية التي لها ثلاثة رؤوس موصولة ببعضها عن طريق أضلاع، وفي نقطة تلاقي كل ضلعين تتكون زاوية قد تكون حادة أو قائمة أو منفرجة، وعادة ما تسمى رؤوس المثلث بحروف منفردة مثل أ وب وج وتسمى الأضلاع عن طريق تجمع حرفي كل اسم مع بعضهما مثل الضلع الواصل بين الرأس أ والرأس ب يسمى أب ، والواصل بين الزاويتين ب وج يسمى ب ج وهكذا.

مجموع زاويا المثلث (°180)

تعتبر الرياضة التي تهتم بدراسة حساب

زوايا المثلثات

وأيضًا المثلثات وقانون

حساب المثلثات

من أقدم القوانين التي عرفها العالم، والتي استخدمها المصريون أثنلء بنائهم لأهرامات الجيزة وأيضًا عدد من المعابد الأخرى، والمثلث كشكل هندسي له عدد من الخصائص من أهمها أن مجموع زواياه دائما ما يساوي 180 وتساعدنا هذه الخاصية على التعرف على قياس أي زاوية مجهولة في المثلث وذلك بمعلومية الزاويتين الأخريين.

مثال

لو كان لدينا مثلث أ ب ج والزاوية أ تساوي 80 وب تساوي 60 عندها يمكننا التنبؤ بقيمة الزاوية ج وهي 40 ونرمز للزاوية ج في المعادلة بالرمز X كالآتي:

180∘=X+60∘+80

180∘=X+140

X=180-140

X=40

ويمكننا التأكد من النتيجة عن طريق جمعهم من جديد

180∘=40∘+60∘+80

ويمكن اثبات حقيقة أن مجموع زوايا المثلث تساوي 180 درجة وذلك عبر الخطوات الآتية:

ارسم مثلث وسمه بأي اسم وليكن أ ب ج.
ارسم خطًا مستقيمًا يوازي قاعدة المثلث المرسوم سابقًا ويمر في الوقت ذاته برأس المثلث ولتكن النقطة أ.
عبر الرسم يظهر أن قيمة الزاوية الموجودة بين هذا الخط المستقيم والضلع (أج) يساوي قيمة الزاوية (ج)، وذلك عبر التبادل.
وكذلك قياس الزاوية الموجودة بين هذا الخط المستقيم والضلع (أب) يكون مساويا لقياس الزاوية ب وذلك أيضا بالتبادل.
مجموع الزوايا الثلاثة معا بالنهاية سوف يكون 180 درجة؛ لأنهم يشكلون زواية منفرجة يبلغ قياسها 180 درجة.

أهم أنواع المثلث

المثلث له أنواع مختلفة يتم اختيارها بناءً على زواياه، وهناك أنواع ثلاث من المثلث وهي:

المثلث القائم الزاوية

ويقصد به المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة واحدة، وذلك لأن تركيبة المثلث وعدد زواياه لا تسمح بوجود أمثر من زاوية قائمة وإلا لتغير شكله الهندسي، وبمعرفة ان المثلث قائم الزاوية إذن يمكننا استنتاج ما يلي:

قياس إحدى زواياه هو 90

ولأن مجموع زوايا المثلث هي180 درجة، إذن فمجموع الزاويتين الباقيتين هما 90 أيضًا، ويمكن بمعلومية أحدهما معرفة الأخرى بمنتهى السهولة.

الضلع المقابل للزاوية القائمة هو أطول أضلاع المثلث.
المثلث المتساوي الساقين

عندما نعلم أن المثلث متساوي الساقين فإننا نستنج ما يلي:

هناك ضلعين في المثلث لهما نفس الطول.
هناك زاويتين في المثلث لهما نفس القياس.
المثلث المتساوي الأضلاع

وعندما نعلم أن المثلث متساوي الأضلاع، فإنه يمكننا معرفة ما يلي عنه:

كل أضلاع المثلث لها نفس الطول.
كل زوايا المثلث تساوي 60 درجة

وهذا يعتبر تطبيق على

قانون حساب زوايا المثلث بمعلومية الأضلاع

وذلك لأن المثلث مجموع زواياه هي 180 درجة مئوية، وكل زوايا المثلث متساوية إذن لمعرفة قيمة كل زاوية نقسم 180 على 3 تكون النتيجة 60.

يمكن أيضا تصنيف المثلث حسب

انواع زوايا المثلث

إلى ثلاثة أنواع :

مُثلث حاد الزاويا Acute triangle

وهو مثلث كل زواياه حادة أي أن قياسها أقل من 90 درجة.

مُثلث قائم الزاوية Right triangle

وهو مثلث به زاوية واحدة فقط قائمة لأنه لو به أكثر من زواية قائمة فإنه لا يعود مثلثا، وقياس هذه الزواية القائمة هو 90 درجة.

مثلث منفرج الزاويةObtuse

triangle

وهو مثلث به زاوية واحدة منفرجة أي أن قياسها يتجاوز 90 درجة.

حساب محيط ومساحة المثلث

محيط المثلث

يقصد له محيطه الخارجي وهو مجموع أطوال أضلاعه.

مثال لدينا مثلث متساوي الأضلاع طول ضلعه هو 5 سم أ ب ج

محيط المثلث أ ب ج = أ ب+ب ج+أ ج

محيط المثلث أ ب ج = 5 + 5+ 5

محيط المثلث أ ب ج =15

مساحة المثلث

لمعرفة مساحة المثلث نرجع إلى مساحة المستطيل فمساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب القاعدة في ارتفاع المستطيل، وإذا قمنا بقسم المستطيل بخط عرضي يصبح معنا مثلثين قائمي الزاوية، وبالتالي فتكون مساحة المثلث تسوي نصف القاعدة في الارتفاع.[1]

الزوايا الخارجة عن المثلث

من الممكن أن نحصل على زاوية خارجة عن المثلث، وذلك برسم خط مُستقيم يمتد من واحد من الأضلاع بهذا المُثلث، بحيث تصبح الزاوية الخارجية في المثلث هي الزاوية الموجودة بين الخط المستقيم وضلع المثلث الذي يجاورها.

مثال لدينا مثلث أ ب ج ونرغب في حساب زاويته الخارجية.

نرسم خط مستقيم ممتد من أحد الأضلاع وليكن هو الضلع ب ج ويمتد هذا الخط عبر النقطة ج وفي هذه الحالة تكون الزاوبة الخارجية هي المحصورة بين الخط الممتد الجديد والضلع أ ج وقياسها يساويمجموع قياس الزاويتين الأخريين البعيدان عنها داخل المثلث وهما في هذه الحالة أ وب.

أمثلة متنوعة عن زوايا المثلث

لتوضيح طريقة

كيفية

حساب زوايا المثلثات

بشكل أفضل، نعرض فيما يلي بعض الأمثلة المحلولة التي توضحها:

المثال الأول

احسب قياس الزاوية أ، الموجودة بالمُثلث أ ب ج، وذلك لو كانت الزاوية ب تساوي 40 درجة، والزاوية ج تساوي 20 درجة.

والحل هو مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي 180 درجة، وعليه: أ +(40 +20)= 180، س+60 =180، س =180 -60، ومنه: س =120 درجة.

المثال الثاني

مُثلث به زواية قياسها هو 80 درجة، زاويته الثانية قياسها 60 درجة، فما هو قياس الزاوية الثالثة؟

الحل كالآتي: مجموع زوايا المثلث تساوي 180 درجة، وعليه: س+(80+60)= 180، س =180-140، وتكون النتيجة هي أن س =40 درجة.

المثال الثالث

مُثلث به زاوية القياس الخاص بها هو 30 درجة، وزاوية أُخرى قياسها 50 درجة، فما هو قياس الزاوية الثالثة؟

الحل هو: بما أن مجموع زوايا أي مثلث هو 180 درجة، ونرمز للزاوية المجهولة بالرمز س فيكون س +30 +50= 180، س =180-80، ومنه: س =100 درجة، ويكون المثلث منفرج الزاوية.

المثال الرابع

المثلث ب ج د، هو مُثلث منفرج الزاوية، وزاويته المنفرجة هي ب وقياسها 110 درجة واسمها د، ويحتوي على زاوية أُخرى اسمها ج وقياسها 40 درجة، احسب قياس الزاوية د؟

الحل هو: مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، ومنها د+110+40 =180، د =180-150، وتكون النتيجة هي أن د =30 درجة.

المثال الخامس

المُثلث د ه و به الزاوية د وقياسها 18 درجة، والزاوية ه تساوي 39 درجة، فكم يبلغ قياس الزاوية و بهذا المثلث؟

الحل هو: مجموع زوايا المثلث الداخلية هو 180 درجة، وبالتعويض في القانون يكون و +18 +39 =180، و =180-57، وبناءً عليه فإن و = 123 درجة.

المثال السادس

المُثلث أ ب ج يوجد به الزواية أ والقياس الخاص بها هو 3س-4 درجة، و أيضًا الزاوية ب والقياس الخاص بها هو 2س+2 درجة، والزاوية ج والقياس الخاص بها هو 5س-12، فحدد زوايا قياس المثلث الحقيقية بالارقام؟

الحل كالآتي: مجموع زوايا الملث تساوي 180 درجة، وعليه: (3س-4) + (2س+2) + (5س-12) =180، وعند جمع المتشابهات في المعادلة نحصل على الآتي 10س-14=180، 10س=194، ومنه: س= 19.4، وبالتعويض مكان س في الزوايا فإن قياس أ= 54.2 وقياس ب= 40.8 درجة وقياس ج= 85 درجة. [2]

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث تساوي

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث تساوي 180 درجة ، ويمكن توضيح ذلك من خلال النظر إلى الصورة التالية

:

مجموع زوايا المثلث الداخلية

الخط x يوازي قاعدة المثلث ، أي للخط BC ، وبم أن عند تقاطع خطين متوازيين بواسطة مستعرض ، فإننا نشكل زوايا متناظرة وزوايا رأسية ، لذلك فإن الزوايا التي لها نفس اللون متساوية ، مثلاً الزوايا الحمراء لها نفس المقياس.

عندما نربط بين الزوايا الثلاث في الرأس A ، يمكننا أن نرى أنها تشكل خطًا مستقيمًا ، وبالتالي فإن مجموعها الإجمالي يساوي 180 درجة.

ويمكن حساب قياسات كل زاوية على حدة باستخدام حقيقة أن مجموعها الإجمالي يساوي 180 درجة.