حساب حجم الاسطوانة

إن

حساب

حجم الاسطوانة

يُساعد في التعرف على كميّة الماء اللازم من أجل تعبئتها ليس ذلك فقط بل يساهم أيضاً في التعرف على وزن ذلك الماء حينما يتم تحويل الحجم كذلك إلى لترات، وهو ما يحدث من خلال حساب مساحة واحدة من القاعدتين بالأسطوانة التي تتخذ الشكل الدائريّ يليه القيام بضربها فيما يربط بين طرفي القاعدتين من مسافة، وينبغي أن يكون النّاتج باللتر المساوي لألف سنتيمتر مكعب، أو بالوحدة المكعّبة، كذلك فهناك الكثير أنواع الأشكال الأسطوانيّة نراها في الحياة اليومية ومنها أنابيب الغاز وأسطوانات المحرّك.

ويمكن تعريف الأسطوانة بأنها شكل ثلاثي الأبعاد مكون من اثنان من الدوائر المتقابلة يربط بين طرفيهما خطوط متوازية ومستقيمة، بينما حجمها فيعرف بأنه ما يحيط بتلك الدائرتين والخطوط المتوازية المستقيمة من فراغ من الممكن أن يتم ملؤه بأحد المواد مثل الماء، وعلى هذا فمن خلال التعرف على كيفية حساب حجم الأسطوانة يصبح من الممكن وبسهولة الوصول إلى مقدار كمية المادة المطلوبة لملء الشيء الأسطواني كالخزان، أو مقدار ما يتم وضعه في زجاجة من عصير، والغاز الذي يتم ملء الأنابيب الأسطوانية به

. [1]، [2]

مساحة الأسطوانة

تنقسم مساحة الأسطوانة إلى مساحتين أحدهما جانبية والأخرى كلية، وفيما يلي إيضاح للمقصود بكل منهما:

المساحة الجانبية للأسطوانة

تعرف المساحة الجانبية للأسطوانة (Curved Surface Area) بأنها المساحة الكلية للأسطوانة فيما عدا مساحة القاعدتين، ومن الممكن أن يتم التعبير عنها من خلال تخيّل علبة ذات شكل أسطواني مرغوب في وضع غطاء بملصق من الورق عليها من الخارج لكي يلف حول جانبها بالمنطقة الواقعة بين القاعدتين بالكامل، على أن يمثل مقدار الورق المطلوب مساحة الجانبية الأسطوانة، وبناء على ما سبق ذكره من أن الأسطوانة عبارة عن مستطيل مُلتف فيما بين الدائريتين اللتان تمثل القاعدتين، فإن مساحتها الجانبية تتمثل في مساحة ذلك المستطيل، وهو ما يمكن إيضاحه فيما يلي:

مساحة المستطيل =

طول المستطيل هو محيط واحدة من القاعدتين ذات الشكل الدائري، × عرض المستطيل، وبما أن عرض المستطيل عبارة عن ارتفاع الأسطوانة ورمزه (ع)، = 2×π×نصف قطر القاعدة، وعلى ذلك فإن:
المساحة الجانبية للأسطوانة

= (2×π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة)× الارتفاع ، ورموز تلك العملية الحسابية هي: المساحة الجانبية للأسطوانة= 2×π×نق×ع.

المساحة الكلية للأسطوانة

تتكون الأسطوانة من قاعدتين لهما شكل دائري، ومستطيل مُلتف فيما بين تلك القاعدتين، وعلى ذلك فإن مساحتها الكلية هي إجمالي مساحة المستطيل مضافاً إليه القاعدتين الدائريتين، بمعنى أنها تساوي مجموع كل من مساحة القاعدتين والمساحة الجانبية، وهو ما يمكن إيضاحه من خلال القوانين الآتية:

المساحة الكلية للأسطوانة

=مساحة القاعدة الأولى + مساحة القاعدة الثانية + المساحة الجانبية = π×نق² + 2×π×نق×ع + π×نق²= 2× π×نق²+2×π×نق×ع، وهنا يتم حذف 2×π×نق لأنها عامل مشترك فيصبح الأمر:
المساحة الكلية للأسطوانة

= 2×π×نصف قطر الأسطوانة×(ارتفاع الأسطوانة + نصف قطر الأسطوانة)، وتكون مساحة الأسطوانة الكلية بالرموز = 2×π×نق×(نق+ع).

قانون حجم الاسطوانة

من السهل أن يتم حساب حجم الأسطوانة حين التعرف على ارتفاعها إلى جانب التعرف على نصف القطر الخاص بكل من الدائرتين؛ وعلى ذلك يكون حجم الأسطوانة (ح=ط×نق
²
×ع) وبافتراض أنّ رمز الارتفاع هو ع، ويرمز لنصف القطر الأسطوانة بالرّمز نق، ويرمز لثابت الدائرة بالرّمز ط؛ وذلك الثابت معروف رياضياً باسم باي ويساوي تقريباً 3.14، فإن كان ارتفاع أسطوانة (ع) يساوي 7سنتيمتر، ونصف قطرها ورمزه نق يساوي 2سنتيمتر فإنّ حجمها يساوي(ح=ط×
²
2×7≅87.96) سنتيمتر مكعب. [3]

كيف يحسب حجم الاسطوانة

إن التعرف على نصف قطر الأسطوانة ورمزه نق هو الخطوة الأولى في حساب حجمها، وعلى هذا يمكن التعرف على نصف القطر نق بواسطة المسطرة يليه القيام بقياس المسافة الأبعد بين أطراف أحد الدائرتين وقسمة المسافة تلك على العدد 2، كذلك يمكن حساب نصف القطر عن طريق قسمة محيط الدائرة على (2×ط)، أو من خلال قسمة القطر على العدد 2 إذا كان موجود بين معطيات المسألة، ويمكن تعريف ارتفاع الأسطوانة (ع) بالمسافة الواقعة بين حافتي القاعدتين الدائريّتين.

يمكن حساب حجم الأسطوانة عقب الوصول إلى جميع ما سبق إيضاحه من معطيات ويصبح الأمر يسير للغاية وذلك من خلال حساب مساحة واحدة من القاعدتين يليه القيام بضربها في الارتفاع، فإن كان نصف القطر نق= يساوي 8سنتيمتر فإنّ (م) أو مساحة القاعدة تساوي ط×8
^2≅
201سنتيمتر مربع وذلك يدل على أنّ حجم الأسطوانة تلك (ح=3015سنتيمتر مكعب)، وذلك حينما يساوي الارتفاع (ع) 15سنتيمتر، وهو حاصل عملية ضرب (15سم×201سنتيمتر مربع)، والجدير بالذكر أنه يجب أن يكون الحجم باللترات أو بالوحدات المكعّبة.

[4]

حساب حجم الاسطوانة باللتر

من المعروف عن اللتر أنه واحد من الوحدات المستخدمة في قياس الحجم ويساوي طول ضلعه مكعّباً عشرة سنتيمترات، كذلك فإن

وحدة الحجم التي يمكن ملأها بكميّة من الماء المقطّر بالغة واحد كجم عند درجة حرارة أربعة سيليسيوس، ومن الممكن أن يتم حساب حجم الأسطوانة باللتر عن طريق تحويل جميع المعطيات إلى وحدة سنتيمتر يليه القيام بقسمة النّاتج على 1,000 لكي يتمّ تحويله من سنتيمتر مكعب إلى لتر، كذلك يمكن تحويل النّاتج مباشرة إلى لتر من هنا

https://www.metric-conversions.org/volume/cubic-centimeters-to-liters.htm

.

أمثلة على حساب حجم الأسطوانة

فيما يلي بعضاً من الأمثلة و

تمارين حول حجم الأسطوانة

التي يمكن من خلال إعادة تطبيقها فهم طريقة حساب حجم الأسطوانة: [6]

المثال الأول: يجب أن يتم اتّباع ما يلي إيضاحه من خطوات لكي يتم حساب نصف قطر قاعدة الأسطوانة البالغة من الحجم 440 سنتيمتر مكعب والبالغ ارتفاعها 35سنتيمتر:

ترتيب المتغيرات بقانون حجم الأسطوانة هو: ح=ط×نق
²
×ع على ذلك يكون 440سنتيمتر مكعب=ط×نق
²
×35سم.
ترتيب المتغيرات مرة ثانية حتى تصبح كما في التالي: نق
²
=440سم
³
÷(ط×35سم)= 4سم مربع.
حساب نصف القطر: نق=جذر نق
²
=2سم.

المثال الثاني: يتم حساب حجم الأسطوانة بوحدة اللتر البالغ قطرها 8سم والتي يساوي ارتفاعها 18سم من خلال اتّباع الخطوات التالية:

حساب نصف قطر الدائرة:

نق=ق÷2=8÷2=4سنتيمتر.
حساب مساحة القاعدة:

م=ط×
²
4=50.26 سنتينتر مربع
حساب الحجم:

ح=50.26سم
²
×18سم=904.77سنتيمتر مكعب.
تحويل النّاتج إلى وحدة اللتر:

ل=سم
³
÷1,000≅0,904 لتر.

المثال الثالث: يمكن حساب حجم الأسطوانة ومساحتها التي يساوي طول محيط القاعدة الدائرية بها ارتفاعها (ع)، وكان ارتفاعها يبلغ 125.66 سنتيمتر بالخطوات التالية:

محيط قاعدة الأسطوانة

= ارتفاعها، ومن خلال ذلك يمكن التعرف على نصف القطر مثلما هو موضح في الآتي
محيط قاعدة الأسطوانة الدائرية

= 2×π×نق، وعلى ذلك فإن : 125.66= 2×3.14×نق، ومنه فإن: نق=

20سنتيمتر.
المساحة الكلية للأسطوانة

= 2×π×نق×(نق+ع) = 2×3.14×20×(20+125.66) = 18,304.18سنتيمتر مربع.
حجم الاسطوانة

= π×نق²×ع = 3.14 ×20²×125.66= 157,909.01 سنتيمتر.