تمارين حول حجم الأسطوانة
حجم الأسطوانة
الأسطوانة هي عبارة عن شكل ثلاثي الأبعاد له قاعدة دائرية ويمكن النظر إلى الأسطوانة على إنها مجموعة دائرية من الأقراص المكدسة فوق بعضها البعض تخيل وجود صندوق أسطواني لحفظ السكر كيف يمكننا حساب كمية السكر التي نحتاجها لملء هذه الأسطوانة وهلكي نحدد ذلك يجب معرفة سعة أو حجم هذه الأسطوانة فسعتها هي حجمها ولذا يعتبر حجم الشكل الثلاثي الأبعاد مساويًا لمقدار هذه المساحة التي يشغلها الشكل .
الأسطوانة هي مجموعة من الأقراص المتعددة والمتطابقة والتي تتكدس فوق بعضها البعض ولكي نحسب المساحة التي تشغلها نقوم بحساب المساحة التي يشغلها كل قرص ثم نقوم بجمعهم سويًا وحجمها عبارة عن كثافة الأسطوانة التي تعني كمية المادة التي تستطيع حملها أو مقدار أي مادة يمكن غمرها فيها ويمكن أن تكون المادة سائلة مثلًا وهنا يمكن القول أننا نستطيع تحديد حجم الأسطوانة عن طريق حاصل ضرب مساحة القاعدة والارتفاع وهي الصيغة الرياضية πr^2h والتي تعني :
- r هو نصف قطر القاعدة الدائرية = نق
- h هو ارتفاع الأسطوانة.
- باي .
حيث يمكن القول أن في الأسطوانة نق هو “r” وارتفاعها هو “h” وهنا سوف يكون الحجم عبارة عن حاصل ضرب القاعدة في الارتفاع أي = منطقة القاعدة × ارتفاع الاسطوانة والقاعدة هنا هي الدائرة فسون يكون الحجم على هيئة المعادلة = πr^2 × h إذن حجم الأسطوانة = πr^2h من الوحدات المكعبة.[1] ، [2]
حجم الاسطوانة المجوفة
أما عند قياس حجم الأسطوانة المجوفة فأننا نقوم بقياس نصفي القطر الخاصين بالدائرتين أحدهما هو نصف قطر الدائرة الداخلية والأخر هو نصف قطر الدائرة الخارجية وهي المكونة من قاعدة الأسطوانة المجوفة وهنا نقول أن نصفي قطر الأسطوانة المجوفة هم r1 و r2 مع الارتفاع h وفي هذه الحالة فأننا نقوم بحساب حجم هذه الأسطوانة عن طريق القانون الآتي : (V = πh (r1^2 – r2^2
مساحة سطح الاسطوانة
يمكن القول أن مساحة سطح الأسطوانة هي عبارة عن كمية من الوحدات المربعة والمطلوبة لكي تغطي سطح الأسطوانة ويمكن حساب مساحة سطح الأسطوانة عن طريق مجموع إجمالي لمساحة سطح قواعد الأسطوانة مع مساحة سطح جوانبها وهو ما يعبر عنه بالمعادلة التالية :
A = 2πr^2 + 2πrh
ويجب ملاحظة الوحدات المستخدمة مع المسألة للتمييز وطرق التحويل بينهم فلحساب حجم الأسطوانة باللتر عندما تكون المعطيات بالسنتيمتر المكعب يجب تحويل القيمة وذلك عن طريق معرفة أن كل 1 لتر = 1000 سم مكعب أو سم 3 ومن أمثلة التحويل إذا كان أحد المعطيات أن الأنبوب الأسطواني حجمه هو 12 لترًا فهنا لكي نحوله نقوم بكتابة الحجم بالطريقة التالية : 12 × 1000 سم 3 = 12000 سم 3
تمارين على حجم الأسطوانة
التمرين الأول
: قم بحساب حجم أسطوانة ما ارتفاعها = 20 سم ونصف قاعدتها هو 14 سم مع العلم أن باي = pi = 22/7
الحل : المعطيات هي :
- الارتفاع = 20 سم
- نصف القطر أو نق = 14 سم
ومن معادلة حساب
حجم الأسطوانة
التي تقول أن الحجم V = πr^2h وحدات مكعبة
أذن الحل = v = (22/7) × 14 × 14 × 20
V = 12320 سم 3
إذن حجم الأسطوانة = 12320 سم 3
التمرين الثاني
: قم بحساب نصف قطر نق الخاص بقاعدة وعاء أسطواني حجمه هو 440 سم 3 مع العلم أن ارتفاع الحاوية الأسطوانية هو 35 سم وأن باي = pi = 22/7
الحل : المعطيات :
- الحجم = 440 سم مكعب
- الارتفاع = 35 سم
نحن نعرف بالفعل من صيغة معادلة حجم الاسطوانة أن الحجم هو V = πr^ 2h وحدات مكعبة
لذا عند التعويض بالمعطيات في المعادلة نجد أن 440 = (22/7) × r^2 × 35
ثم r^2 = (440 × 7) / (22 × 35) = 3080/770 = 4
لذلك r = 2 سم
إذن نصف قطر الأسطوانة = 2 سم.[1]
التمرين الثالث
: قم بحساب حجم الأسطوانة التي يبلغ نصف قطرها 88 سم ويبلغ ارتفاعها 15 سم .
الحل : المعطيات
- الارتفاع = 15 سم
- نصف القطر أو نق = 8 سم
ونحن نعرف بالفعل صيغة معادلة حجم الاسطوانة وهي V = πr^ 2h وحدات مكعبة لذا نقوم بالتعويض بالمعطيات فنجد أن
V = π (64) (15) ≈3016
ومن هذه المعادلة ينتج أن حجم الأسطوانة يبلغ حوالي 30163016 سم مكعب.[2]
شرح تمرين عن حساب حجم الأسطوانة
في أسطوانة خاصة بالمناشف الورقية وضح
كيفية حساب حجم الأسطوانة
مع التقريب لأقرب جزء من المائة إذا كان الارتفاع يبلغ 30 سم وقطر الأسطوانة الكبيرة يبلغ 16 سم وقطر الأسطوانة الصغيرة بداخلها يبلغ 4 سم .
الحل :
أولًا يمكننا أن نلاحظ أن لفافة المناشف الورقية تأتي على شكل أسطوانة وهي فارغة من المناشف ولا يوجد أي شيء يملئها وهذا يعني أن مركزها مجوف ويوجد بداخلها مكان يتم إدخال حامل المناشف الورقية به وهنا لكي نستطيع تحديد حجم هذة الأسطوانة فيجب علينا حساب حجم الأسطوانة الكبيرة أولًا ثم نطرح منها حجم الأطوانة الصغرى الموجودة بداخلها أي نقوم بإيجاد حجم الإسطوانة بأكملها ثم نحذف حجم المركز الداخلي المجوف الذي لا يحتوي على أي مناشف ورقية .
وحجم الأسطوانة يساوي مساحة القاعدة في الارتفاع أي ح = م × ف وهنا نلاحظ أن قاعدة الأسطوانة تكون دائرية الحجم لذا نقوم بتبديل نق 𝜋 تربيع بدلًا من م ونق يعبر عن نصف قطر الدائرة .
ولكي نقوم بحساب الحجم الخاص بأسطوانة المناشف الورقية نقوم بطرح حجم الأسطوانة الصغرى من حجم الأسطوانة الكبرى وهو ما يعني أننا يجب أن نحدد نصف القطر والارتفاع الخاص بكل أسطوانة منهم على حدى .
ومن المعطيات نجد أن :
- ارتفاع الأسطوانة الكبيرة هو ٣٠ سم .
- قطر الأسطوانة الكبيرة هو ١٦ سم ( وهو أعرض خط يمكن أن يتواجد في الدائرة وهو ممدود بين نقطتين وأيضًا محيطها مار بالمركز ) .
- نصف القطر وهو عبارة عن خط ممدود من مركز الدائرة حتى نقطة على محيطها وطوله يساوى نصف طول القطر لذا من هذه المعطيات نقوم بحساب نصف القطر عن طريق قسمة طول القطر بالتساوي على أثنين ففي الأسطوانة الكبرى يساوي النصف أي ١٦/ ٢ = ٨ أذن نق = ٨ .
- ارتفاع الأسطوانة الصغرى هو ٣٠ سم .
- نق للأسطوانة الصغرى غير معطي لكن طول القطر لها يساوي ٤ ومن هنا يمكننا الحصول على نق عن طريق قسمه القطر على أثنين أي نق = ٢/٤ = ٢ أي نق = ٢ سم .
بعد أن حددنا المعطيات نقوم بالرجوع إلى المعادلة والتعويض فيها عن المجهول ولكي يصبح التعويض أسهل نقوم بتربيع النق في الأسطوانتين أي ٨^٢= ٦٤ ، ٢^٢ = ٢
والمعادلة هي : v = πr^2h أي ح = باي × نق^٢ × ف
بالتعويض في المعادلة نجد أن : حجم الأسطوانة الكبرى ح١ = باي × ٦٤ × ٣٠ = ١٩٢٠ باي
وحجم الأسطوانة الصغرى ح ٢ = باي × ٤ × ٣٠ = ١٢٠ باي
ولكي نقوم بحساب حجم أسطوانة المناشف الورقية فقط دون المركز المجوف نطرح ح٢ من ح١ أي حجم الأسطوانة = ١٩٢٠ باي – ١٢٠ باي = ١٨٠٠ باي .
فالناتج هنا هو حجم الأسطوانة يساوي ١٨٠٠ باي ولكن يجب إيجاد الناتج بعد تقريبه لأقرب جزء مم المائة وفي هذه الحالة نقوم بضرب ١٨٠٠ × باي ثم تقريب الناتج الظاهر لأقرب رقمين عشريين وفي هذا التمرين نجد أن الناتج هو ٥٦٥٤٫٨٦٦٧٧٧ وعند تقريبه نلاحظ الرقم الموجود على يمين أول رقم بعد العلامة العشرية وإذا كان الرقم خمسة أو أكبر نقربه إلى الرقم الأعلى منه وهكذا .
وينتج من هذا التمرين أن حجم الأسطوانة الخاصة بالمناشف الورقية هو ٥٦٥٤٫٨٧ سنتيمترًا مكعبًا وهو المطلوب .[3]