قوانين الاحتمالات

يتم استخدام الاحصاء لدراسة الاحتمالات من خلال العينات والمؤشرات وهناك

امثلة على الاحتمال المشروط

والذي يستخدم فيه ايضا الاحصاء الوصفي والاستنتاجي ويجب ان يكون الامر مشروطا لان حجم العينة يتأثر بالدقة والثقة ودرجة التعميم وغيرها من عوامل

قوانين الاحتمالات في الرياضيات

متعددة .

العينة المنتظمة العشوائية :

هى تلك العينة التي يتم استخدام معادلة N/n =K

فقي عينات المجتمعات لتنظيم الاحتمالات يتم استخدام المفردات كالآتي :

K =الزيادة المنتظمة .

N: حجم المجتمع .

n: حجم العينة .

ويتم تطبيق على العينة العشوائية المنتظمة في قياس نسبة الاحتمالات على المجتمعات

وهناك

بحث عن الاحتمال ال

مشروط

وكيفية تعيين الدوال بطرق فعالة [1].

اسئلة على الاحتمالات مع الحل

السؤال الاول عن دحرجة قالب:

يتم دحرجة قالب

الاحتمال المطلوب : الحصول على رقم زوجي.

الحل :

تقوم اولا بكتابة مساحة العينة A للتجربة.

A = {1،2،3،4،5،6}

دع F يكون الحدث “تم الحصول على رقم زوجي” واكتبه.

هـ = {2،4،6}

قم باستخدام صيغة الاحتمال الكلاسيكي.

الفوسفور (F) = n (F) / n (A) = 3/6 = 1/2

السؤال الثاني قذف العملتين :

الحالة :قذف عملتين .

الاحتمال المطلوب :الحصول على رأسين.

ملاحظة:

لكل عملة نتيجتين محتملتين D (رؤوس) و L (ذيول).

الحل

مساحة العينة يرمز لهاA

A = {(D، L)، (D، D)، (L، D)، (L، L)}

دع E يكون الحدث “تم الحصول على رأسين”.

نستخدم صيغة الاحتمال الكلاسيكي.

الفوسفور (E) = n (E) / n (A) = 1/4

السؤال الثالث نسبة الاحتمالات في رمي النرد:

رمي نردان ، أوجد احتمال أن يكون المجموع

الاحتمال المطلوب :

أ) يساوي 1

ب) يساوي 4

ج) أقل من 13

يظهر أدناه عينة الفضاء Hلعدد نردتان :

{(1،1) ، (1،2) ، (1،3) ، (1،4) ، (1،5) ، (1،6) =H

(2،1)، (2،2)، (2،3)، (2،4)، (2،5)، (2،6)

(3،1) ، (3،2) ، (3،3) ، (3،4) ، (3،5) ، (3،6)

(4،1)، (4،2)، (4،3)، (4،4)، (4،5)، (4،6)

وهكذا الى آخره

السؤال الرابع عن العملات المعدنية :

عند دحرجة القالب ويلقى بالعملة المعدنية ،

الاحتمال المطلوب:

أن يظهر النرد برقم فردى وظهور العملة المعدنية رأساً

الحل

اذا كان D هو الرأس و L هو ذيل العملة.

التجربة الموصوفة للسؤال الخامس في عينة الفضاء كما يلي

(1، L)، (2، L)، (3، L)، (4، L)، (5، L)، (6، L)}

الحدث المطلوب هو ظهور العمله المعدني رأسا

دع E هي الحدث المعبر عن ظهور العملة المعدنية رأساً.

يمكن وصف الحدث E على النحو التالي

E = {(1، D)، (3، D)، (5، D)}

يتم إعطاء الاحتمال P (E) بواسطة

الفوسفور (E) = n (E) / n (S) = 3/12 = 1/4

السؤال الخامس عن أوراق اللعب :

عند سحب الاوراق بطريقة عشوائية اوجد احتمال حدوث الحصول على ملكة

الحل :

تم عرض مساحة العينة S كما سبق شروحات .

دع Q يكون حدث “الحصول على ملكة”.

يوضح فحص مساحة العينة أن هناك 4 “كوينز” بحيث أن n (E) = 4 و n (S) = 52.

ومن ثم فإن احتمال وقوع الحدث E يُعطى بواسطة

الفوسفور (هـ) = 4/52 = 1/13

السؤال السادس عن فصائل الدم :

تتوزع فصائل الدم المكونة من 200 شخص على النحو التالي: 50 من فصيلة الدم A ، و 65 من فصيلة الدم B ، و 70 من فصيلة الدم O و 15 من فصيلة الدم AB.

إذا تم اختيار شخص من هذه المجموعة بشكل عشوائي ، فما هو احتمال أن يكون هذا الشخص لديه فصيلة دم O؟

الاجابة بطريقة جدول الترددات:

نقوم ببناء جدول الترددات لفصائل الدم على النحو التالي

جدول ترددات المجموعة :

A 50

B 65

O 70

AB 15

تستخدم الصيغة التجريبية للاحتمال

P (E) = تردد الدم O / مجموع الترددات

= 70/200 = 0.35 [2].

اسئلة احتمالية عن المنتجات

الاحتمالات على شراء منتجات :عند القيام بشراء منتج معين .

ينص الدليل على أن عمر T للمنتج ، المحدد على أنه مقدار الوقت (بالسنوات) الذي يعمل فيه المنتج بشكل صحيح حتى ينتهي .

الاحتمالية :

P (T≥t) = e − t5 ، لجميع t≥0.

وجد مثالا لذلك :

احتمال استمرار المنتج لأكثر من (أو يساوي) سنتين هو P (T≥2) = e 25 = 0.6703.

شراء المنتج واستخدامه لمدة عامان دون معضلات .

ما احتمالية فقدان صلاحيته بالسنة الثالثة ؟

نفترض أن A هو الحدث الذي ينهار فيه منتج تم شراؤه في السنة الثالثة. أيضًا ، لنفترض أن B هو الحدث الذي لا ينهار فيه المنتج الذي تم شراؤه في العامين الأولين. نحن مهتمون بـ P (A | B).

الفوسفور (ب) = الفوسفور (T≥2)

= ه − 25.

نحن ايضا لدينا

الفوسفور (أ) = الفوسفور (2≤T≤3)

= P (T≥2) −P (T≥3)

= e − 25 − e 35.

أخيرًا ، منذ A⊂B ، لدينا A∩B = A. لذلك،

الفوسفور (أ | ب) = الفوسفور (أ∩ب) الفوسفور (ب)

= P (A) P (B)

ويتم العمل على المعطيات السابقة .

نتيجة انك لاحظت رأس واحدة فقط ،الخطوة الثانية :اوجد احتمالية ملاحظة رأسين على الاقل ؟ دع A1 يكون الحدث الذي تلاحظ فيه رأسًا واحدًا على الأقل ، ويكون A2 هو الحدث الذي تلاحظه على الأقل رأسين.

ثم

A1 = S− {TTT} ، و P (A1) = 78 ؛

A2 = {HHT و HTH و THH و HHH} و P (A2) = 48.

وهنا تتضح الاحتمالية كالآتي :

الفوسفور (A2 | A1) = الفوسفور (A2∩A1) الف (A1)

= P (A2) P (A1)

= 48.87 = 47.

تمرين احتمالات المساحات

لنفترض أن C1 و C2 و ⋯ و CM يكونان جزءًا من مساحة العينة S ، و A و B حدثان.

افترض أننا نعرف ذلك

A و B مستقلتان بشكل مشروط بالنظر إلى Ci ، لجميع i∈ {1،2 ، ⋯ ، M} ؛

B مستقل عن جميع Ci.

إثبات أن A و B مستقلان.

نظرًا لأن Ci تشكل قسمًا من مساحة العينة ، فيمكننا تطبيق قانون الاحتمال الكلي لـ A∩B:

قانون الاحتمال وتطبيقه على الامطار

اذا كان الجو ممطرا لثلاثة ايام ،ستكون هناك حركة من المرور تتميز بالكثافة وذلك مع احتمال 12 .

اذا كانت غير ممطرة ،فستكون حركة المرور بها كثافة بوجود احتمال 14 .

مطر وحركة مرور كثيفة تجعلم الوصول للعمل متأخر باحتمال 12.

يتم تقليل الاحتمال الى 18 ان لم يكن ممطرا الجو ولم يوجد هناك حركة مرور بها كثافة .

مع اختيار يوما عشوائيا ( يوم ممطر دون حركة مرور ، يوم ممطر بحركة مرور ) هنا احتمال التأخير 0.25 .

الاسئلة المحتملة ؟

احتمالية عدم هطول امطار ولا ازدحام مرور وعدم وجود تأخر ؟

احتمالية التأخر ؟

بما انني وصلت الى العمل متأخرا ما هي الاحتمالات المعيقة ؟

لنفترض أن R هو حدث هطول الامطار ، ويكون T هو حدث كثافة المرور ، ويكون L هو حدث التأخر عن العمل .

كما يتضح من ادوات المشكلة ،لدينا احتمالات شرطية وهنا نحتاج الى القيام برسم مخطط الشجرة متوافق بشكل معين لحساب كل الاحتمالات .

يتم حساب كل نتيجة بمساحة العينة مع ضرب الاحتمالات حتى يؤدي الى نتيجة في المقابل

نستطيع الوصول الى احتمالية عدم هطول المطر وحركة المرور الكثيفة مع عدم التأخر باستخدام مخطط شجري يقوم بتطبيق القاعدة .

الفوسفور (Rc∩T∩Lc) = الفوسفور (Rc) الفوسفور (T | Rc) الفوسفور (Lc | Rc∩T)

= 23-14⋅34

= 18.

كما يسبقها وجود احتمالات اخرى وكا ما نحتاج لفعله هو جمع نتائج تتوافق مع اخرى .

مثال على استخدام قانون الاحتمال الكلي

الفوسفور (L) = الفوسفور (R ، T ، L) + الفوسفور (R ، Tc ، L) + P (Rc ، T ، L) + P (Rc ، Tc ، L)

= 112 + 124 + 124 + 116

= 1148.

يمكننا إيجاد P (R | L) باستخدام P (R | L) = P (R∩L) P (L). لقد وجدنا بالفعل P (L) = 1148 ، ويمكننا إيجاد P (R∩L) بالمثل عن طريق إضافة احتمالات النتائج التي تنتمي إلى R∩L.

الفوسفور (R∩L) = الفوسفور (R ، T ، L) + P (R ، Tc ، L)

= 112 + 124

= 18.

وهكذا نحصل عليها

الفوسفور (R | L) = P (R∩L) الفوسفور (L)

= 18.4811

= 611.