المتسلسلة الهندسية المنتهية

لفهم القانون نحتاج أن نتعرف أكثر عن معني المسلسلة، وما هي المتسلسة الهندسية و ما الفرق بين المتسلسة الحسابية و الهندسية بالإضافة إلى خصائص المتسلسة الهندسية وأشكالها وكيفية تطبيقاتها العملية.

ما هو تعريف المتسلسلة

هى المتتالية أو يمكن تعرفها أيضاً المتوالية، هى مفهوم يقصد به مجموعة العناصر المرتبة بشكل مسلسل ومحدد، وهذا الترتيب منظم وليس عشوائياً، إذ تربط ما بين عناصر المتتالية، والتي تُدعى حدود المتتالية، و يربط بينهم علاقة رياضية، بحيث ينتج كل حد من حدودها بعد تطبيق هذه العلاقة، و يطلق عليها صيغة الحد العام للمتتالية، قد تكون المتتاليات محدودة، والمعني من ذلك أنها تضم عدداً معلوماً من الحدود، أو قد تكون لا نهائية الحدود، عادة ما يستخدم حرف لاتيني كبير للدلالة على اسم المتتالية، بينما تُسمّى حدود المتتالية باستخدام الصيغة “ai” أو “an” حيث يشير الحرف الفرعي الدلالي إلى رقم الحد، و يمكن النظر للتعريف الرياضي البحت؛ بتعبير بسيط إن المتسلسلة هي تابع مجموعة تعريفه هي مجموعة الأعداد الطبيعيّة N، أو أية مجموعة جزئيّةٍ غير منتهية منها من النمط{ ….n0, n0+ 1, n0+ 2}، حيث n0 هو عدد طبيعي معطى ويختلف من متتالية إلى أخرى، ومُستقرها هو مجموعة الأعداد الحقيقيّة {R}، والتي تُمثّل مجموعة عناصر المتتالية.

تعريف المتسلسلة الهندسية

المتسلسلة الهندسية في الرياضيات هى سلسلة ذات نسبة ثابتة بين الحدود المتتالية، و بشكل أوضح تكون المتسلسلة الهندسية هي قائمة مرتبة من الأرقام يكون فيها كل حد هو نتاج الحد السابق ومضاعف ثابت غير صفري يسمى العامل المشترك، على سبيل المثال : المتسلسلة هندسية لأنه يمكن الحصول على كل حد متتالي بضرب الحد السابق في 1 / 2، المتسلسلة الهندسية هي واحدة من أبسط الأمثلة على السلاسل اللانهائية ذات المجاميع المحدودة، واهم ما يجب معرفته عن السلاسل الهندسية أنها دورا مهمًا في التطور المبكر لحساب التفاضل والتكامل، وحتي الآن لها دور أساسي محوري في دراسة تقارب السلاسل، تُستخدم السلاسل الهندسية في الرياضيات، ولمن يظن أن المتسلسلات مجرد أرقام يجب أن تعرف أنها لها دور أساسي في تطور مجالات مختلفه من العلوم حيث أن لها تطبيقات مهمة في علوم الحاسوب الآلي و الفيزياء والهندسة وعلم الأحياء والاقتصاد الإحصاء المالية ونظرية الطابور والتمويل.[1]

الأختلافات الأساسية بين المتسلسلة الهندسية والمتسلسلة الحسابية

بالملاحظه تجد أن الفرق بين المتتالية الحسابية والمتتالية الهندسية هو أن المتتالية الهندسية أساسها هو ان كل حد ينتج عن طريق ضرب أو قسمة الحد الذي يسبقه بعدد ثابت، أما المتتالية الحسابية تنتج عن طريق طرح أو جمع عدد ثابت إلي الحد الذي يسبقه.
التغير بين الحدود في المتتالية الهندسية يكون تغيراً أُسياً، أما التغير في المتتالية الحسابية يكون التغير بين الحدود تغير خطياً .
في المتتالية الهندسية لا يوجد أتجاه محدد لتغير قيم حدود المتتالية فتجد تزايد وتناقص بين الحدود بشكل متبادل.
الرسوم البيانية توضح بشكل كبير المتتالية الهندسية والمتتالية الحسابية .

تطبيقات الحياة الواقعية للمتسلسلة الهندسية والحسابية

على مدى آلاف السنين، تطورت الأساطير حول المشكلات الرياضية التي تتضمن السلاسل والمتواليات، واحدة من أشهر الأساطير حول المتسلسلات تتعلق باختراع الشطرنج، وفقاً للأسطورة، استدعى ملك هندي المخترع واقترح عليه اختيار الجائزة لإنشاء لعبة ممتعة وحكيمة، اندهش الملك من الطلب المتواضع من المخترع الذي طلب منه أن يعطيه للخلية الأولى من رقعة الشطرنج حبة قمح، والثانية حبتان، للثالث 4 حبات، للرابع ضعف كما هو الحال في الخلية السابقة، وما إلى ذلك، ونتيجة ذلك سيكون العدد الإجمالي للحبوب لكل 64 خلية من رقعة الشطرنج ضخمًا لدرجة أن الملك سيضطر إلى زرعها في كل مكان على سطح الأرض بالكامل بما في ذلك مساحة المحيطات والجبال والصحاري وحتى ذلك الحين لن يكون لديها ما يكفي!

هل فكرت يوما كيف يمكن لعلماء الآثار في الأفلام، مثل إنديانا جون، توقع عمر القطع الأثرية المختلفة؟

ألا تعلم أن عمر القطع الأثرية في الحياة الواقعية يمكن تحديده من خلال كمية النظير المشع للكربون 14 في القطعة الأثرية؟ للكربون 14 نصف عمر طويل جدًا مما يعني أن كل نصف عمر يبلغ 5730 عامًا أو نحو ذلك، تقل كمية النظير بمقدار النصف. ومن ثم، فإن هذه الكميات المتتالية من الكربون 14 هي شروط تناقص التقدم الهندسي مع النسبة المشتركة ½.

المتسلسلة الهندسية وخصائصها مفيدة، وكذلك

قانون المتسلسلة الهندسية اللانهائية

و النهائية بشكل خاص في النماذج العلمية والرياضية لعمليات العالم الحقيقي، يمكن أن يساعد استخدام تسلسلات محددة في دراسة المجموعات السكانية التي تنمو بمعدل ثابت خلال فترات زمنية معينة أو استثمارات تكتسب فائدة، تتيح الصيغ العامة والمتكررة إمكانية التنبؤ بالقيم الدقيقة في المستقبل بناءً على نقطة البداية والعامل المشترك. [2]

المتسلسلات المنتهية واللانهائية

يمكن أن تستند المتواليات والسلسلة المقابلة إلى عدد ثابت من المصطلحات أو رقم لا نهائي، التسلسل المحدود له رقم بداية، وفرق أو عامل، وعدد إجمالي ثابت من المصطلحات، على سبيل المثال، أول متتالية حسابية تحتوي على ثمانية حدود ستكون 1 ، 3 ، 5 ، 7 ، 9 ، 11 ، 13 ، 15. المتتالية الهندسية الأولى أعلاه مع ستة حدود ستكون 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 المتسلسلة الحسابية المقابلة لها قيمة 64 والمتسلسلة الهندسية 126.

المتسلسلة الهندسية اللانهائية

ليس لها عدد محدد من المصطلحات، ويمكن أن تنمو حدودها إلى ما لا نهاية أو تنخفض إلى الصفر أو تقترب من قيمة ثابتة، يمكن أن يكون للسلسلة المقابلة أيضا نتيجة غير محدودة أو صفرية أو ثابتة.

خصائص التسلسل الهندسي

التسلسلات الهندسية لها خصائص خاصة فيما يتعلق بالمتوسط الهندسي، و المتوسط الهندسي لعددين هو الجذر التربيعي لحاصل ضربهما، على سبيل المثال ، المتوسط الهندسي للعددين 5 و 20 هو 10 لأن المنتج 5 × 20 = 100 والجذر التربيعي لـ 100 هو 10.
في المتتاليات الهندسية ، كل حد هو المتوسط الهندسي للمصطلح قبله والمصطلح الذي يليه. على سبيل المثال ، في التسلسل ( 3 ، 6 ، 12..) ، 6 هو المتوسط الهندسي لـ ( 3 و 12 ، 1)، هو المتوسط الهندسي لـ( 6 و 24 ، و 24) هو المتوسط الهندسي لـ (12 و 48) .
تعتمد الخصائص الأخرى للتسلسلات الهندسية على العامل المشترك. إذا كان العامل المشترك (ص) أكبر من(1)، و متواليات هندسية لا نهائية إيجابية. إذا (ص) بين (0 و 1)، وتسلسل يقترب من الصفر. إذا (ص) هو بين (صفر و -1)، فإن تسلسل يقترب من الصفر، ولكن شروط بالتناوب بين القيم الإيجابية والسلبية. إذا (ص) هو أقل من (-1)، فإن الشروط الإتجاه نحو اللانهاية على حد سواء الإيجابية والسلبية لأنها بالتناوب بين القيم الإيجابية والسلبية.

قانون المتسلسة الهندسية المنتهية

مجموع المتتابعة الهندسية، يمكن كتابة المتسلسلة الهندسية التي عدد حدودها (ﻥ) كالتالي:

ﺟ_ﻥ = ﺃ + ﺃﺭ + ﺃﺭ^٢ + ﺃﺭ^٣ + ⋯ + ﺃﺭ^(ﻥ − ١)

بحيث يكون الحد الأول

(ﺃ)

، و (

ﺭ)

هو أساس المتتابعة الهندسية، أي العدد الذي تضرب فيه حداً للحصول على الحد التالي في المتتابعة، لكن (ﺭ) لا يمكن أن يساوي واحداً.

الصيغة العودية، التي تحدد المصطلح فيما يتعلق بالمصطلح السابق، هى :

أ_ن = أ ر {-١}

كيف أستدل علي المتسلسلة الهندسية

بشكل عام، إذا كنت تريد التأكد من إذا كان التسلسل هندسياً أم لا يمكن بسهولة التأكيد من خلال النظر للمدخلات النتتالية إذا كانت لها نفس النسبة، يمكن أن يكون النسبة الغالبة في سلسة هندسية سالباً، وهذا يؤدي إلي تسلسل متناوب، و هذا التسلسل المتناوب سيكون أرقاماً تنتقل ذهاباً وإياباً بين إشارات سالبة و إشارات موجبة. [3]