قانون المتسلسلة الهندسية اللانهائية

ماهي المتسلسلة الهندسية

المتسلسلة الهندسية هى مجموع لا نهائي من الشكل وغالبًا ما تبدأ السلسلة بالرقم (واحد) ودائمًا نجد فجوة بين أي مجموع جزئي. [1]

قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية

يمكن كتابة

قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية

، على أنها المتسلسلة التي عدد حدودها ﻥ كالتالي: ﺟ_ﻥ = ﺃ + ﺃﺭ + ﺃﺭ^٢ + ﺃﺭ^٣ + ⋯ + ﺃﺭ^(ﻥ − ١) ﺃ هو الحد الأول، وهو أساس قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية، أي العدد الذي تضرب فيه حدًا للحصول على الحد التالي في المتتابعة، لكن ﺭ لا يمكن أن يساوي واحدًا. [2]

ماهي المتسلسلة الهندسية اللانهائية

هى مجموع متوالية هندسية لا نهائية هذه السلسلة لن يكون لها مصطلح أخير لكون الشكل العام للسلسلة الهندسية اللانهائية هو نوع العقدة الغير معروف ويمكننا إيجاد مجموع كلاً من السلاسل الهندسية المنتهية والهندسية اللانهائية، ولكن في حالة

المتسلسلات الهندسية اللانهائية

عندما تكون النسبة العامة أكبر من واحد، فإن الحدود في المتسلسلة ستصبح أكبر وأكبر، وإذا جمعت الأعداد الكبيرة، فلن تحصل على إجابة نهائية بينما الجواب الوحيد الممكن هو اللانهاية لذلك، فلا تتعامل مع النسبة المشتركة الأكبر من واحد لسلسلة هندسية لا نهائية، وتسمى السلسلة اللانهائية التي تحتوي على مجموع سلسلة متقاربة ومجموع نوع العقدة غير معروف: الخطنوع و.يمكنك استخدام تدوين سيجما لتمثيل سلسلة لا نهائية.

مثال على المتسلسلة الهندسية اللانهائية

: كم مجموع المتسلسلة 1 + 1/3 +1/9 + . . . إلى ما لا نهاية،

الحل :

المتسلسلة الهندسية اللانهائية حدها = 1 ، وأساسها = 1/3 وبما أن 1/3< 1 إذن يوجد مجموع المتسلسلة هو

c


=


a


/ 1 –


r


= 1 / 1-1/3  = 1 / 2/3 = 3\2.

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

المتتاليات الهندسية

المتتالية الهندسية هي قائمة مرتبة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في ثابت يسمى، النسبة المشتركة.أو هى: قائمة مرتبة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في رقم ثابت غير صفري يسمى النسبة المشتركة، يُعرف أيضًا بالتقدم الهندسي  هو تقدم هندسي بنسبة مشتركة.

سلوك المتواليات الهندسية

عندما نريد التحقق مما إذا كان التسلسل هندسيًا، يتحقق المرء ببساطة مما إذا كانت الإدخالات المتتالية في التسلسل لها نفس النسبة وقد تكون النسبة الشائعة لسلسلة هندسية سالبة، مما ينتج عنه تسلسل متناوب، سيكون للتسلسل المتناوب أرقام تنتقل ذهابًا وإيابًا بين الإشارات الموجبة والسالبة ويعتمد سلوك التسلسل الهندسي على قيمة النسبة المشتركة فسوف تتناوب الشروط بين الموجب والسالب متواليات هندسية “مع النسبة المشتركة”، أو إظهار النمو الهائل أو تسوس الأسي، في مقابل النمو الخطي “أو انخفاض” من حسابي التقدم “مع اختلاف مشترك”، اتخذ TR Malthus هذه النتيجة كأساس رياضي لمبدأ السكان الخاص به فنلاحظ أن نوعي التقدم مرتبطان.

يؤدي كل مصطلح من التقدم الحسابي إلى تقدم هندسي، بينما يؤدي أخذ لوغاريتم كل مصطلح في تسلسل هندسي مع نسبة مشتركة موجبة إلى حدوث تقدم حسابي، جمع أول حد ن في تسلسل هندسي باستخدام النسبة المشتركة والحد الأول من المتتابعة الهندسية ، يمكننا جمع حدودها، فتشكل مصطلحات المتسلسلة الهندسية تقدمًا هندسيًا ، مما يعني أن نسبة الحدود المتتالية في السلسلة ثابتة للشكل العام للسلسلة الهندسية اللانهائية ويعتمد سلوك المصطلحات على النسبة الشائعة.

التعاقب الهندسي

هو سلسلة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في رقم ثابت غير صفري يسمى النسبة المشتركة السلاسل الهندسية هي أمثلة على السلاسل اللانهائية ذات المجاميع المحدودة، على الرغم من أنها ليست جميعها لها هذه الخاصية من الناحية التاريخية، لعبت السلاسل الهندسية دورًا مهمًا في التطور المبكر لحساب التفاضل والتكامل، ولا تزال تلعب دورًا محوريًا في دراسة تقارب السلاسل تُستخدم السلاسل الهندسية في الرياضيات ، ولها تطبيقات مهمة في الفيزياء والهندسة وعلم الأحياء والاقتصاد وعلوم الكمبيوتر ونظرية الطابور والتمويل تشكل مصطلحات المتسلسلة الهندسية تقدمًا هندسيًا، مما يعني أن نسبة الحدود المتتالية في السلسلة ثابتة.

نسبة المشتركة

نظرًا لأن هذه النسبة مشتركة بين جميع أزواج المصطلحات المتتالية، فإنها تسمى النسبة المشتركة التي يتم الإشارة إليه بواسطة الحرف  r  بينما إذا كانت النسبة بين المصطلحات المتتالية غير ثابتة، فإن التسلسل ليس هندسيًا.

صيغة النسبة المشتركة للتتابع الهندسي هى r = a n + 1 / a n

مصطلح عام

التسلسل الهندسي هو دالة أسية بدلاً من y = a x ، نكتب a n = cr n حيث أن الحرف r هي النسبة المشتركة و نظيره  c ثابت “ولكن ليس الحد الأول من المتتالية الهندسية”.

فهو يعتبر مصطلح تعاودي، حيث يتم العثور على كل مصطلح بضرب المصطلح السابق في النسبة المشتركة، أ ك + 1 = أ ك * ص، وذلك يُماثل المتتالية الحسابية، باستثناء أن كل حد مضروب في عامل إضافي لـلحرف  r والأس على r سيكون أقل من عدد الحد بمقدار واحد، لم يتم ضرب الحد الأول في r مطلقًا (الأس على r هو 0) حيث يتم ضرب الحد الثاني في r مرة واحدة تم ضرب الحد الثالث في r مرتين وهكذا..

صيغة الحد العام للتتابع الهندسي هي a n = a 1 r n-1.

مجموع جزئي

باعتبار ان السلسلة هي مجموع المتسلسلة التي نريد أن نجد منها قيمة : ن ث مبلغ جزئي أو مجموع شروط ن الأولى من التسلسل الآن، إذا حاولنا معرفة من أين تأتي أجزاء مختلفة من هذه الصيغة من، يمكننا أن نخمن حول صيغة لن ث مبلغ جزئي. 2 في البسط هو الحد الأول أ 1 . 243 في البسط هي الأوقات نسبة ن ث المدى – أن يجعل من ن + 1 المدى، و 1 ص * ن . نظرًا لأن كلا الحدين في البسط يحتويان على 1 ، فيمكن أخذ ذلك في الاعتبار. 1 في المقام هو دائمًا 1 والمقام 3 هو النسبة ، r. هذا يجعل مجموع أول حد n S n = a 1 (1-r n ) / (1-r).

يوجد مجال ضمني لا يمكن لـ r أن تساوي 1 ، ولكن نظرًا لأنه ضمني ، فلا داعي لأن يتم ذكره.

صيغة ن ث مبلغ جزئي من سلسلة هندسية هي S ن = من 1 (1-ص ن ) / (1-ص).

مجموع لانهائي

هناك نوع آخر من السلاسل الهندسية ، وسلسلة هندسية لا نهائية. السلسلة الهندسية اللانهائية هي مجموع متوالية هندسية لا نهائية.

عندما تكون النسبة أكبر من 1، ستصبح الحدود في المتسلسلة أكبر وأكبر ، وإذا أضفت أعدادًا أكبر وأكبر إلى الأبد ، فستحصل على ما لا نهاية للإجابة. لذلك لا نتعامل مع سلسلة هندسية لا نهائية عندما يكون حجم النسبة أكبر من واحد لا يمكن أن يساوي مقدار النسبة واحدًا لأن هذه السلسلة لن تكون هندسية وأن صيغة الجمع ستقسم على صفر.

الحالة الوحيدة المتبقية، إذن هى عندما يكون حجم النسبة أقل من واحد، ضع في اعتبارك أن r = 1/2. قد يكون التسلسل 1 ، 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، 1/64 ، 1/128 ، 1/256 ، 1/512 ، 1/1024 ، 1/2048 ، 1/4096 ، 1/8192 ، 1/16384 ، 1/32768 ، 1/65536 ،… مع استمرار التسلسل ، تصبح المصطلحات أصغر وأصغر ، تقترب من الصفر. [3]

ومن أنواع المتسلسلات المتواليات التوافقية وأرقام فيبوناتشي، المتواليات الحسابية وهى قائمة على حدين والمتتاليات الهندسية وهي قائمة مرتبة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في ثابت. [4]

سبب تسمية المتتاليات الحسابية بالحساب

تم العثور على تسلسلات هندسية على الألواح البابلية التي يعود تاريخها إلى 2100 قبل الميلاد حيث تم العثور على التسلسلات الحسابية لأول مرة في بردية أحمس التي يرجع تاريخها إلى عام 1550 قبل الميلاد ومع ذلك يبدو أن أسماء هذه المفاهيم قد استغرقت وقتًا أطول بكثير في بعض الحالات التي لم يكن بها معيار لكيفية الإشارة إليها حتى مصطلح التقدم لم يكن بالضرورة معيارًا.

وأقرب ما نصل إليه من المنطق الكامن وراء الأسماء هو أن كل مصطلح في التسلسل الهندسي (الحسابي) هو المتوسط الهندسي (الحسابي) لخلفه وسلفه، الأساس المنطقي وراء أسماء هذه الوسائل أكثر وضوحًا. [5]