خواص الأعداد

خاصية التبديل

تأتي كلمة تبديل بمعني تنقل لذا فيمكن تعريف الخاصية التبادلية على أنها ، الإشارة إلى تحريك الأرقام : وقاعدته هي أ + ب = ب + أ ،

وتطبيقها بالأرقام يكون : ٢ + ٣ = ٣ + ٢ ، وفي مسائل الضرب تكون الصياغة ، أ ب = ب أ ، وتطبيقها بالأرقام : ٢ × ٣ = ٣ × ٢ .

لذا عند الإشارة إلى الخاصية التبادلية ، فيقصد بها نقل الأرقام ، وعند إيجاد جملة تتحدث عن تحريك الأرقام ، فيكون القصد منه إثبات أن الحساب يستخدم الخاصية التبادلية أمثلة على الخاصية التبادلية :

قم بتبسيط المسألة ٣أ – ٥ب + ٧أ مع ذكر الخطوات

الإجابة :

المعطى : ٣أ – ٥ب + ٧أ

الملكية التبادلية : ٣أ + ٧أ – ٥ب

الملكية التوزيع : أ ( ٣ + ٧ ) – ٥ب

التبسيط : أ ( ١٠ ) – ٥ب ( ٣ + ٧ = ١٠ )

الملكية التبادلية : ١٠أ – ٥ب

فقد تم نقل – ٥ب من منتصف المسألة في السطر الأول إلي نهاية المسألة في السطر الثاني

خاصية التجميع

خاصية التجميع هي القاعدة التي تشير إلى تجميع المعادلة طبقا لقاعدة الجمع : أ + ( ب + ج ) = ج + ( أ + ب ) ، وهى ما تطبق بالأرقام ٢ + ( ٣ + ٤ ) = ٤ + ( ٢ + ٣ ) .

أما قاعدة الضرب فهي : أ (ب ج ) = ج ( أ ب ) ، وتمثيلها بالأرقام : ٢ ( ٣ × ٤ ) = ٤ ( ٢ × ٣ ) . فتشير خاصية التجميع إلى إعادة جمع الأرقام والمعادلة .

كما أن هذه الخاصية تساعد على تسهيل حل المعادلات بأنواعها ولا تغير في النتيجة ، حيث بعد وقبل التجميع ستكون النتيجة نفسها كب ما هو عليك هو أخذ عامل مشترك خارج القوس وكتابة باقي الأرقام داخل القوس وأبدا الحل .

خاصية التوزيع

خاصية التوزيع تكتب هذه الخاصية بطريقة : أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج ، وتكون الصياغه بالأرقام : ٢ ( ٣ + ٤ ) = ٢ × ٣ + ٢ × ٤ .

ففي الوقت الذي يشيرون فيه إلى استخدام خاصية التوزيع فليس عليك سوي نحلل ما بداخل الأقواس ، ويعتمد تحليل ما بداخل الأقواس على ضرب الرقم الخارجي في الأرقام داخل القوس .

خواص التجميع بالأمثلة

خاصية التجميع في الإضافة

تنتهي دائما المعادلة بنفس الشكل مهما كانت الأرقام مثل [2] :

( أ + ب ) + ج = أ + ( ب + ج ) = ( أ + ج ) + ب .

نمثل الأحرف السابقة بالأرقام لنفترض مثلا أن : أ = ٣ ، ب = ١٨ ، ج = ١ .

وبتبديل الأحرف بالأرقام تكون شكل المسألة الرياضية :

( ٣ + ١٨ ) + ١ = ٢١ + ١ = ٢٢ .

٣ + ( ١٨ + ١ ) = ٣ + ١٩ = ٢٢ .

( ٣+ ١ ) + ١٨ = ٤ + ١٨ = ٢٢ .

فالإجابة لا تتغير إذا تغير ترتيب التجميع للأرقام .

الخاصية التجميعية في الطرح

عملية الطرح ليس له خاصية الترابط ، وذلك على عكس الجمع ، وفي المثال القادم سنقوم بطرح ٣ – ٥ – ١٠ .

( ٥ – ١٠ ) – ٣ = ٥ – ٣ = ٢

١٠ – ( ٣ – ٥ ) = ١٠ – ٢ = ٨

فإذا كمنا بطرح أول عددين ١٠ – ٥ ، سوف نحصل على الرقم ٥ ، وإذا كمنا بطرح ٣ ، سنحصل على الرقم ٢ ، وإذا قمنا بطرح آخر عددين فإن ٥ – ٣ = ٢ ، وإذا طرحنا ٢ من ١٠ سوف نحصل على ٨ .

فتغيير طريقة ترتيب الأرقام في عملية الطرح سوف تتغير الإجابة ، وهو ما يجعل عملية الطرح ليس لها خاصية تجميع .

الخاصية التجميعية في الضرب

وطبقا ل

خصائص عملية الضرب

يمكنك حل مثال بسيط عند حساب ٤ × ( ٣ × ٢ ) ، ثم قمنا بحسابها بطريقة أخرى ٢ × ( ٣ × ٤ ) ، فسوف نحصل على نفس النتيجة .

وهذا يثبت أن عملية الضرب لها خاصية الترابط ولن تتغير الإجابة بتغير ترتيب الأرقام للمسألة الرياضية ولا أن تكون على علك ب

جدول الضرب كامل

حتي تتمكن من حل مثل هذه المسائل .

مثال :

( أ × ب ) × ج = أ × ( ب × ج ) = ( أ × ج ) × ب

فإذا كان ج = ١٠ ، ب = ٥ ، أ = ٣

فسوف تكون المعادلة كالتالي :

( ٣ × ٥ ) × ١٠ = ١٥ × ١٠ = ١٥٠

٣ × ( ٥ × ١٠ ) = ٣ × ٥٠ = ١٥٠

( ٣ × ١٠ ) × ٥ = ٣٠ × ٥ = ١٥٠

خاصية التجميع في القسمة

عند قسمة ٨ ÷ ٢ ÷ ٢ ، وقسمة ( ٨ ÷ ٢ ) ÷ ٢ وتكون النتيجة ٨ ÷ ٢ = ٤ ، و ٤ ÷ ٢ = ٢ ، ونقوم بحساب ٨ ÷ ( ٢ ÷ ٢ ) ، نقوم بحساب ما بداخل الأقواس أولا ٢ على ٢ تساوي واحد ، ضرب ٨ تساوي ٨ .

ومن المثالين السابقين حصلنا على إجابتين مختلفتين ، ولهذا فإن القسمة لا تمتلك خاصية التجميع .

أمثلة على خاصية التجميع

مثال١

قم بإثبات أن الأرقام التالية تخضع لخاصية التجميع [3] :

٢ ، ٦ ، ٩

الحل :

٢ ، ٦ ،٩

= ( ٢+ ٦ ) + ٩ = ٨ + ٩ = ١٧

أو :

= ٢ + ( ٦ + ٩ ) = ٢ + ١٥ = ١٧

فنجد هنا أن النتيجة واحدة في المسألتين حيث :

( ٢ + ٦ ) + ٩ = ٢ + ( ٦ + ٩ )

مثال٢

حدد إذا كانت المسألة القادمة صحيحا أم لا :

( ٤أ ÷ ٢أ ) = ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )

_ نحدد الجانب الذي نريد إظهاره

_ نأخذ الجانب الأيسر

_ نحل هذا الجزء

_ نأخذ الجان الأيمن ونقوم بحله أيضاً

_ نستخرج النتائج

( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )

( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ

( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = ( ٢ ) ÷ أ = أ/٢

٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ ) = ٤أ ÷ ( ٢ ) = ٢أ

(٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ = أ/٢

٤أ ÷ ( ٣أ ÷ أ ) = ٢أ

أذن ( ٤أ ÷ ٢أ ) ÷ أ ، لا تساوي ، ٤أ ÷ ( ٢أ ÷ أ )

لذلك فإن الناتج خاطئ ولا يتبع خاصية التجميع .

مثال٣

من خلال حل المسألة القادمة ، اذكر أن كان الناتج صحيحا أم لا :

( أ – ب ) – ج = أ – ( ب – ج )

الحل :

_ نحدد المعطيات

_ نحاول إثبات أن الجانب الأيمن يساوي الجانب الأيسر

_ نستخرج ما بداخل الأقواس

_ نجمع بين ب ، ج في قوسين

_ التحقق من صح النتائج

_ نذكر النتائج

( أ – ب ) – ج = أ – ( ب – ج )

( أ – ب ) – ج

أ – ب – ج

أ – ( ب + ج )

( أ – ب ) – ج = أ – ( ب + ج )

الناتج : ( أ – ب ) – ج = أ – ( ب + ج )

نستنتج أن :

( أ – ب ) – ج ، لا يساوي ، أ – ( ب – ج )

فالتعبير المعطي يعتبر خاطئ ولا تبع خاصية التجميع .

مثال٤

اثبت من خلال الأرقام الأتية أنها تخضع لخاصية الضرب التجمعية :

٢ ، ٦ ، ٩

٢ × ٦ × ٩ = ( ٢ × ٦ ) × ٩ = ١٢ × ٩ = ١٠٨

٢ × ٦ ×٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ ) = ٢ × ٥٤ = ١٠٨

نجد أن النتيجة واحده في كلا الحالتين

حيث نجد أن :

( ٢ × ٦ ) × ٩ = ٢ × ( ٦ × ٩ )

جملة الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية هي

وهي ما يعرف بالملكية النقابية، حيث متاح استبدال ما هو داخل الأقواس بما هو خارجها بالعملية الرياضية بحسب جملة الضرب التي حققت الخاصية التجمعية، بحيث تأتي النتيجة واحدة في جميع الحالات، وبالتالي تكون الإجابة مظبوطة عن السؤال الرياضي الاتي، كما يلي:

جملة الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية هي: ط = س (ع × ق) = (س × ع) ق.

ط = المقصود بها هو الناتج النهائي.

(س، ع، ق) المقصود بها الأرقام المستخدمة في الجملة الرياضية.

× رمز عملية الضرب.

فإذا افترضنا أن س = 3، ع = 5، ق = 7

فإن ط = س (ع × ق) = (س × ع) ق

ط = (7 * 5) * 3 = 7 * (5 * 3)

ط = 105 في كلتا العمليتين.

خاصية الضرب التي تحقق الخاصية التجميعية

حيث أن مسألة جملة الضرب يحقق الخاصية التجميعية ويعد السؤال الأكثر بحثًا وطرحًا في محركات البحث المتنوعة على الإنترنت، ولهذا السبب يمكن التعلم من خلال مسألة جملة الضرب التي تحقق الخاصية الكلية في التفاصيل التي تبحث عنها وهي موضحة كالتالي:

مجموعة الضرب التي تتوافق مع الخاصية المضافة هي (3 × (2 + 50) = (3 × 2) + (3 × 5)).