مفهوم البديهيات

في مجالي الرياضيات والمنطق تمثل

البديهيات

القاعدة التي لا تقبل الإثبات حيث إنها صحيحة بشكل بديهي والذي قيل فيه أنه

“لا شيء يمكن أن يكون أو لا يكون بالوقت نفسه والمعنى نفسه ” وفي مثال يمكن ذكره على البديهية أنه عادةً ما

يتم استخدامه بشكل تبادلي مع الافتراض، مع العلم أن الأفتراض أحيانًا ما يوظف للتطبيقات الرياضية والتي من أمثلتها الافتراضات الإقليدية في الهندسة،

والتي لا بد أن تتناقض مع نظرية تفترض وجود إثباتًا صارمًا وهو ما يدل على

أهمية الرياضيات في حياتنا

. [1]

إذاً يمكن القول أن البديهية (axiom) عبارة عن افتراض مقدمة لاستنتاج غيرها من التصريحات المنطقية، كما قد تكون العبارة افتراض وهو ما يتناقض مع المبرهنات، إذ أن البديهيات لا يجوز اشتقاقها بمبادئ الاستنتاج، أو إثباتها بواسطة البرهان الشكلي لأنها عبارة عن مقدمات مفترضة ولا يوجد شيء آخر يمكن استنتاجها منه بالمنطق وإلا سوف يكون بالحالة تلك هناك افتراض يعرف بالنظريات وليس البديهيات ويجدر بيان أنها و

المسلمات

والافتراضات يتم استخدامهم بشكل متبادل.

ومن التعريف يتضح أنه ليس بالضرورة أن تكون البديهية بينة وحقيقة بذاتها، ولكن غالباً ما يتم التعبير المنطقي الشكلي بالاستدلال للوصول إلى أكبر عدد من النتائج، ولكن يتم أخذها بشكل رئيسي على أنها صحيحة لا تتطلب لإثبات وذلك هو السبب في تسميتها بديهية، ومن أشهر الأمثلة (بديهيات إقليدس) التي يتكون وفقاً لها الهندسة المستوية الإقليدية، و التي تختلف بشكل تام عن هندسة ريمان أو هندسة منكوفسكي التي تتبنى أنوع أخرى من البديهيات، وكثيراً ما يتم استخدام مصطلح بديهية (axiom)، و مسلمة (postulate)، وافتراض (assumption) في الكتب والنظريات بطريقة تبادلية.

نظام البديهيات

يتكون النظام البديهي من مكونات عدة ومن أهم المكونات تلك التعاريف بالإضافة إلى مجموعة بديهيات ومبرهنات وهو ما سوف يتم بيان المقصود منه فيما يلي: [2]

التعاريف:

يقصد بها تعريف أي مصطلح من مصطلحات الرياضيات ينبغي أن يتم التعبير عنه ببساطة، على أن يصف بأسلوب واحد الكلمة المرغوب في تعريفها بطريقة غير دورية.
البديهية Axioms:

هي عبارة عن مجموعة من العبارات البسيطة ذات العلاقة بالكلمات الأولية والتي تمثل أساس لها، وعن طريقها يتم استنتاج غيرها من العبارات بالنظام، تلك العبارات الأساسية التي يتم تقبلها بغير برهان هي ما يطلق عليه بديهيات بمعنى أنها تعد بمثابة حجر الأساس للبناء. .
المبرهنة Theorem:

تعد المبرهنة هي النتيجة التي يتم الحصول عليها من البديهيات الخاصة بالنظام أو الحصول عليها من عبارات ذلك النظام، الجدير بالذكر أن علم الهندسة عبارة نظام بديهي حيث نستخدم به مجموعة من البديهيات و التعاريف، والمبرهنات، ولعل أفضل وأقرب مثال يمكن ذكره حول النظام البديهي هو الهندسة الإقليدية التي

تقوم بالاعتماد على المستقيم والنقطة بمثابة كلمات أولية، و

يختلف مفهوم كلاً من مكونات النظام البديهي من كلمات أولية، وكلمات معرفية، البديهايات والمبرهنات على النحو التالي: [3]

الكلمات الأولية

يقصد بها الكلمات غير المعرفة (Undefined terms) وهي عبارة عن عدد من كلمات النظام البديهي التي يتم قبولها بغير تعريف والتي تأتي على توعين هما:

الكلمات التقنية Technical Terms:

وهي مجموعة من الكلمات يتم كتابتها ببداية تعريف النظام البديهي وتعد حجر أساس النظام البديهي والتي عادةً تكون قليلة ومن أمثلتها (الخط، النقطة، والتطابق، وغيرها).
الكلمات المنطقية Logical Terms:

وهي عبارة عن الكلمات المشتركة بين أغلب الأنظمة البديهية والتي تنبني على أساس منطقي رياضي ومن الأمثلة عليها (على الأكثر، على الأقل، يوجد، كل).

الكلمات المعرفة Defined terms

لماذا نتعلم الرياضيات

هو ما يمكن الإجابة عنه من خلال التعرف على أنه من غير الممكن استخدام مصطلح رياضي دون تعريفه، ومن بين الشروط اللازم توفرها بالتعريف ما يلي:

البساطة:

يشترط بالتعريف أن ينطوي على أشياء واضحة وبسيطة بحيث يقوم بالاعتماد على كلمات سبق تعريفها أوبعض الكلمات الأولية، وقد وضع إقليدس تعريف النقطة بأنها الشيئ الذي لا يوجد له بعد في حين عرف المستقيم بأنه الشيئ الذي ليس له عرض ولكن له طول، وذلك التعريف لا يعد مقبولاً حيث إنه يتضمن كلمات غير معرفة مثل (البعد، الطول، والعرض).
غير دوري

: بمعنى إنه ينبغي ألا يتم تعريف س بدلاله ص ومن ثم القيام بتعريف ص بدلاله س، وفي مثال على ذلك حينما يقال أن المستقيم عبارة عن عدد من النقاط ثم تعرف النقطة بكونها تقابل مستقيمين فإن ذلك التعريف غير مقبول لكونه دوري.
الوحدانية:

بمعنى أن التعريف لأحد الكلمات ينبغي أن يتم بأسلوب جيد بحيث لا ينطبق ذلك التعريف على غيرها من الكلمات الأخرى، مثل تعريف المستقيم بكونه عدد من النقاط فهو تعريف غير مقبول حيث ينطبق كذلك على كلاً من الدائرة والمثلث والمربع.

البديهيات Axioms

البديهيات عبارة عن مجموعة بسيطة التركيب من الفرضيات ذات البيان الواضح والعدد القليل، والتي دوماً ما تكون صادقة بالنظام البديهي لا تتطلب وجود برهان، حيث إن البديهيات تتكون من كلاً من الكلمات المعرفة والكلمات الأولية، وقد قام هلبرت بوضع تعريف للبديهية على أنها (فرضيه تدور حول الكلمات الأولية) في حين عرفها باسكال بأنها ( بلغت حداً من الوضوح بحيث يستحيل الحصول على جملة أوضح منها للبرهنة عليها)، وبذلك فإن البديهيات تتعلق بالنظام البديهي وقد تكون أحد البديهيات بنظام بديهي ما مبرهنة بنظام بديهي آخر.

المبرهنات Theorems

تعد بمثابة حقيقة بالنظام البديهي تتطلب البرهان والذي يكون باستخدام البديهيات أو المبرهنات السابقة التي قد سبق برهنتها بمعنى إن المبرهنة ما هي إلا استنتاج منطقي يتعلق بالنظام البديهي، وفي ذلك الصدد هناك ملاحظة تقول أن الهندسة تعد واحدة من الأمثلة على الأنظمة البديهية الذي تمت الإشارة إليه أنه نظام منتهي إذ أنه لا يتضمن سوى على عدد محدود من النقاط.

البديهيات كأسس معرفية

واحدة من القصص التي دارت منذ القدم حول البديهيات التأسيسية وما لها من دور والتي تعد بمثابة عبارات بديهية يمكننا تم استخدامها لتأسيس النظريات ذات العلاقة باليقين المعرفي، وقد اقتبس فيفرمان من القاموس الإنجليزي أوكسفورد تعريفياً بديهياً بالرياضيات بأنها (اقتراح بديهي لا يتطلب إثباتًا رسميًا لإثبات حقيقته، ولكن يتم قبوله والموافقة عليه بمجرد ذكره).

تلك القصة تم دعمها بحقيقة أن البديهيات الأولى التأسيسية لم تنشأ إلى حين سنة 1879 ميلادية، و

كانت هذه الحقبة الزمنية بالتحديد فترة من ضعف اليقين بالرياضيات والتي دعت الهندسة غير الإقليدية نحو التساؤل حول مدى الوضوح الذي من الممكن عرضه، والكثير مما يطلق عليه (النظريات) بالتحليل الحقيقي توضح مدى تعارضها فيما بينها.[2]