ماهي البديهيات

إن البديهيات واحدة من الأسس الرياضية الهامة، وعند البحث عن إجابة سؤال

لماذا نتعلم الرياضيات

فيمكن القول بأنها واحدة من أهم العلوم الحياتية، ويُبنى عليها الكثير من العلوم الأخرى كالطب والكيمياء،

وفي علم الرياضيات من غير الممكن أن يتم القول بأن الملاحظة صائبة في جميع الأوقات نظرًا لنجاحها في تجارب قليلة تم اختبارها فحسب، بل أنه لا بد من الإتيان بحجج منطقية دقيقة تؤدي إلى النتائج المعروفة فعلياً بحيث تؤكد على شيء جديد يرغب الشخص بإظهاره على أنه حقيقي.

إذ أن تلك الحجة يُطلق عليها اسم (إثبات)، والبراهين هي التي تسببت في جعل الرياضيات تختلف عن كافة العلوم الأخرى، نظراً لأنه فور إثبات نتيجة ما فيكون هناك تأكد تام من صحتها وأنها ستظل دائمًا صحيحة، فمن غير الممكن أن تكون مجرد نظرية تتماشى مع المراجعة ويمكن أن تُستبدل بنظرية أفضل مستقبلًا،

يُطلق على النتيجة أو الملاحظة المُعتقد بأنها صائبة باسم (الفرضية أو التخمين)، أما بعد أن يتم إثباتها فتُسمى بالنظرية، وعند إثبات النظرية يصبح من الممكن أن تُستخدم في إثبات غيرها من النتائج المُعقدة، وعلى ذلك تُبنى شبكة متنامية من نظريات علم الرياضيات.

وقد كان علماء الرياضيات القدماء من اليونانيون أول من فكروا في علم الرياضيات من خلال الإطار المنطقي والبديهي، فقد كانوا

يفترضون صحة

البديهيات

مع عدم وجود المقدرة على إثباتها، في حين أن ذلك لا يبدو كمشكلة كبيرة، نظرًا لكون البديهيات إما تعريفات أو أشياء واضحة، ومن الجدير بالذكر وجود عدد ضئيل للغاية منها، فمثلًا يمكن القول بأن بديهية أن يكون أ + ب = ب + أ لأي رقمين أ و ب. [1]

ولا يرتبط علم الرياضيات على اختيار المجموعة الصائبة من البديهيات، ولكنها مرتبطة بتنمية إطار عمل من نقاط البداية تلك، ففي حال تم البدأ ببديهيات مختلفة فسوف يتم الحصول على نوع مختلف كذلك من الرياضيات، في حين أن الحجج المنطقية ستظل هي ذاتها، ومن الجدير بالذكر أن لكل فرع من فروع الرياضيات عدد من البديهيات الرئيسية الخاصة به،

ولكي تُصاغ البراهين يكون من اللازم في بعض الأوقات الرجوع إلى أساس اللغة المكتوبة بها الرياضيات، وهي نظرية المجموعات، والمجموعة عبارة عن عدد من الأشياء، كالأرقام، وفي الغالب ما تُكتب عناصر المجموعة داخل قوسين معقوفين.

ويمكن للمشكلات الموضوعية أن تُصاغ بطريقة نظرية المجموعات، ولكي نُثبت ذلك لا بد من وجود مجموعة من البديهيات النظرية، وعلى مدار الوقت قام علماء الرياضيات باستخدام مجموعات متنوعة من البديهيات، وكانت أكثر تلك البديهيات قبولًا بشكل كبير تسع من بديهيات (Zermelo-Fraenkel) (ZF) وهي: [2]

بديهية من التوسع:

إذا كان هناك مجموعتين يوجد بهما العناصر ذاتها، فيكونان متساويتين.
بديهية الفصل:

من الممكن إنشاء مجموعة فرعية من مجموعة مُكونة من بعض العناصر.
مجموعة فارغة من البديهيات:

هنالك مجموعة لا تحتوي على أعضاء، ومكتوبة على هيئة {} أو ∅.
مجموعة أزواج بديهية:

عند رؤية الكائنين x و y ، فمن الممكن إنشاء مجموعة {x، y}.
اتحاد البديهيات:

يمكن أن يتم إنشاء اتحاد بين مجموعتين فأكثر.
مجموعة الطاقة البديهية:

عند تأمل أي مجموعة فمن الممكن أن يتم إنشاء مجموعة أخرى من كافة المجموعات الفرعية (مجموعة الطاقة).
البديهية اللانهائية:

يوجد مجموعة تحتوي على عدد لا نهائي من العناصر.
البديهية المؤسسة:

يتم تكوين المجموعات من المجموعات البسيطة، وهذا يدل على أن كافة المجموعات (غير فارغة) تضم أدنى حد من الأعضاء.
البديهية من الاستبدال:

إذا تم تطبيق دالة على كل عنصر في مجموعة، فستظل الإجابة مجموعة.

إذ أن مفهوم البديهيات في علم الرياضيات كان من أفضل الطرق في حلول المسائل الرياضية من غير تجربة حلها مُسبقًا، ولكن يوجد ضمان أكيد على التوصل للإجابة الصائبة، نظرًا لوجود عدد كبير من الأشخاص قد توصلوا إلى نتيجة وحلول تلك المسائل بالأسلوب والطريقة ذاتها أو من خلال استخدام نفس القوانين التي تم استخدامها قبل ذلك في التوصل إلى الإجابات الصحيحة.

ما هي المسلمات

يقوم مفهوم

المسلمات

علي عمل العقل في غالبية الأحيان، ومن أشهر ما تُستخدم فيه المسلمات يكون من أجل إثبات الدليل على قضية حتى يتم التوصل لحل مشكلة قضية غيرها، وهناك استدلال لا يتطلب وجود استدلال آخر،

ومن المحتمل أن تكون أكبر مساعدة في مبادئ نظريات الرياضيات التي قدمها قدماء الإغريق هي الأسلوب البديهي ومفهوم الإثبات، وقد كان هناك تأكيد على هذا بأكاديمية أفلاطون، وقد بلغ الذروة في الإسكندرية حوالي عام 300 قبل الميلاد مع إقليدس، ومن الجدير بالذكر أن عناصر تلك الفكرة لا زالت موجودة، إلا أن هناك بعض التغييرات قد طرأت عليها للتعديل.

وقد كانت تلك الفكرة قائمة على أن: يوجد مجموعة من الحقائق الرياضية الرئيسية والتي نُعرف بالبديهيات أو المسلمات، ومن الممكن أن يُستخرج منها عبارات صائبة أخرى من خلال عدد قليل من الإجراءات، ولكن قد يحتاج الأمر إلى مقدارًا ضخمًا من المهارة حتى يتم ابتكار دليل، في حين أن هناك اعتقاد اليوم بأنه لا بد وأن يكون التحقق ميكانيكيًا مُمكنًا، خطوة بخطوة.

وإذا كان هذا الدليل المُعتقد بالفعل صائبًا، فلا بد وأن يكون جهاز الحاسوب حاليًا لديه القدرة على تنفيذ ذلك، ويُطلق على العبارات الرياضية التي هناك إمكانية من إثباتها باسم (النظريات)، وينتج عن هذا من حيث مبدأه أن الأجهزة الميكانيكية كالحواسيب الحديثة من الممكن أن تولد كافة النظريات، ويرجع الاهتمام بتطوير هذه النظريات إلى

أ

همية الرياضيات في حياتنا

. [3]

الفرق بين المسلمات والبديهيات

إن غالبية علوم الرياضيات الحديثة لا تحتوي على فروقات بصورة عامة بين ما كان يتم الإشارة إليه قديمًا باسم “البديهيات” و “المسلمات”، في حين أن الرياضيات الحديثة تقوم بالتمييز بين البديهيات المنطقية والبديهيات غير المنطقية، وتُشير إلى البديهيات غير المنطقية أحيانًا على كونها (مسلمات)، ويمكن القول بأن الفرق بينهما هو: [4]

إن البديهيات تكون عبارة عن عادات بديهية، ويكون هناك فرض بأنها صائبة مع عدم وجود دليل،

ولكنها تُستخدم كبداية الانطلاقة في البرهان الرياضي لكي يتم استنباط الحقائق الأخرى.
الشئ البديهي هو أن يكون هناك تأكيد على التوصل للحل ولم يتم خوض التجربة مُسبقًا، أي أن هذا يدل على أن المفهوم البديهي يُشير إلى التسليم بالشئ من غير المجادلة والمناقشة، ولكن يتم أحذ البديهية بصورة كبيرة على كونها صحيحة تمامًا بدون وجود دليل، وعلى الرغم من هذا فالبديهية لا يمكن أن يؤسس بها علم نظرًا لكونها غير كافية، ولهذا تأتي المسلمات حتى تُكملها.
مفهوم البديهية يكون عام، بينما المسلمة يكون مفهومها خاص.
البديهية عبارة عن قوانين تُكمل في عملية حل المسائل، ولكن المسلمات لا تكون مكملة إذ أنها التي يتم الاعتماد عليها في إنشاء القوانين التي تقوم البديهية باستخدامها بعد ذلك في حل المسائل الرياضية وغيرها من القضايا.