تعريف القطعة المتوسطة
ما هي القطعة المتوسطة
القطعة المتوسطة هي قطعة مستقيمة تصل بين نقطتي المنتصف في ضلعي المثلث ، وبما أن المثلث يحتوي على ثلاثة أضلاع فيحتوي على ثلاثة أجزاء متوسطة محتملة ، ويمكن إنشاء ورسم الجزء الأوسط لمثلث معين باستخدام المسطرة أو باستخدام الفرجار والمسطرة، ويستخدم هذا البناء في الرياضيات
لماذا نتعلم الرياضيات
لإنشاء المنصف العامودي لقطعة خطية للعثور على نقاط المنتصف للجوانب، .[1]
خصائص القطعة المتوسطة
- بما أن المثلثات لها ثلاثة جوانب ، فيمكن أن تحتوي على ثلاثة أجزاء متوسطة ، و القطعة الوسطى الواحدة هي نصف طول القاعدة.
- دائمًا ما تكون القطعة المتوسطة موازية للضلع الثالث من قاعدة المثلث ، و يشكل مثلثًا أصغر يشبه المثلث الأصلي، ويكون المثلث الأصغر المتشابه هو ربع مساحة المثلث الأصلي ، ومحيط المثلث الأصغر المتماثل له هو أيضاً نصف محيط المثلث الأصلي، نظرًا لأن المثلث الأصغر الذي تم إنشاؤه بواسطة الجزء الأوسط مشابه للمثلث الأصل ، فإن الزوايا المقابلة للمثلثين متطابقة و الزوايا الداخلية المقابلة لكل مثلث لها نفس القياسات.
- تكون القطعة المتوسطة من المثلث موازية للضلع الثالث وتكون نصف طوله. [2]
قانون القطعة المتوسطة
تخبرنا نظرية القطعة المتوسطة للمثلث أن القطعة المتوسطة تساوي نصف طول الضلع الثالثة وتسمى بالقاعدة ، وهي أيضًا موازية لها.
ليس عليك إثبات نظرية القطعة المتوسطة ، لكن يمكنك إثباتها باستخدام خط إضافي، ومثلثات متطابقة ، وخصائص متوازي الأضلاع.
ونجد أن صيغة منتصف القطعة هي
M
i
d
s
e
g
m
e
n
t
=
half of
T
r
i
a
n
g
l
e
s
B
a
s
e.
لمجرد رسم جزء من خط واحد ، يمكنك إنشاء مثلث مشابه بمساحة أصغر بأربع مرات من المساحة الأصلية ومحيط أصغر بمرتين من الأصل ، مع ضمان أن تكون القاعدة موازية للمقطع الأصلي.
كيفية إيجاد القطعة المتوسطة في المثلث
ارسم أي مثلث، أطلق عليه اسم المثلث ABC باستخدام الفرجار وقلم الرصاص والمسطرة ، ابحث عن نقاط المنتصف لأي وجهين من أضلاع المثلث ، يمكنك القيام بذلك في أربع خطوات:
- اضبط الفرجار ليرسم قوسًا أكبر من نصف طول أي جانب واحد من المثلث.
- وضع إبرة الفرجار على كل رأس ، وقم بتدوير قوس عبر جانب المثلث من كلا الطرفين ، مما يؤدي إلى تكوين قوسين متعارضين.
- قم بتوصيل نقاط التقاطع بين القوسين باستخدام المسطرة، النقطة التي يتقاطع فيها خط مستقيم مع جانب المثلث هي نقطة منتصف هذا الجانب.
- قم بتوصيل أي نقطتين في المنتصف من الجانبين، وستحصل على الجزء الأوسط من المثلث، بغض النظر عن القطعة الوسطى التي قمت بإنشائها ، ستكون نصف طول قاعدة المثلث وهو الجانب الذي لم تستخدمه ، وسيكون الجزء الأوسط والقاعدة خطين متوازيين.[3]
أمثلة على نظرية القطعة المتوسطة
هناك المثلث DOG ويحتوي على الضلع DOطوله 46 إنش وله أيضاً ضلع آخر DGطوله 38.6 إنش والضلع OG الذي يمثل القاعدة وطوله 25 إنش ومساحة المثلث تساوي 482.5 إنش مربع ، فماهي النقاط التي سوف تقوم بتوصيلها إنشاء جزء متوسط؟
وعن طريق وصل النقاط V & Yنستطيع إنشاء القطعة المتوسطة للمثلث، و يكون الضلع OG هو قاعدة المثلث ، فما هو محيط المثلث الأصلي DOG؟
الحل:
- مجموع الأطول 46+38.6+25 = 109.6 إنش
-
طول القطعة المتوسطة VY = 12.5
- طول الضلع DV= 23
- طول الضلع DV= 19.3
- محيط المثلث الجديد الذي تشكل DVY يساوي 54.8
- إذاً تكون مساحة المثلث الجديد الذي تشكل DVY يساوي 120.625 إنش مربع
القطعة المتوسطة في شبه المنحرف
أما القطعة المتوسطة في شبه المنحرف هي القطعة المستقيمة التي تربط بين نقطتي المنتصف للجانبين غير المتوازيين لشبه المنحرف ، وتكون القطعة المتوسطة شبه المنحرفة موازية لمجموعة الخطوط المتوازية في شبه المنحرف وتساوي متوسط أطوال القواعد.
و هي الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للجانبين غير المتوازيين، ففي شبه المنحرف ABCD أدناه ، المقطع PQ هو الجزء الأوسط أو القطعة المتوسطة.[4]
وطول القطعة المتوسطة من شبه المنحرف هو نصف مجموع أطوال الضلعين المتوازيين ويساوي
A
B
+
C
D
مقسوم على الرقم اثنان .
تعريف ملتقى الإرتفاعات في المثلث
وتسمى أيضاً بالنقطة الوسطى من المثلث وهي النقطة التي تلتقي عندها متوسطات المثلث الثلاثة ، وإن وسيط المثلث هو قطعة مستقيمة من رأس واحد إلى نقطة المنتصف على الجانب المقابل للمثلث.
يُطلق على النقطه الوسطى أيضًا مركز ثقل المثلث، فنجد أنه إذا كانت لديك لوحة مثلثية الشكل ، وحاولت موازنة اللوحة على إصبعك، فبمجرد أن تجد النقطة التي سيتوازن فيها المثلث ، فهذه هي النقطة الوسطى لهذا المثلث وهو مركزها في الوقت ذاته.
نلتمس من واقعنا أهمية علم المثلثات و
أهمية الرياضيات في حياتنا
حيث أننا محاطون في الواقع بمختلف تطبيقات علم المثلثات، فلا نستطيع أن نبني المنازل و نصنع السيارات إلا بحساب علم المثلثات ، بالإضافة إلى أجزاء أخرى من العلوم وخاصة العلوم التكنولوجية التي يتم البحث عن تطويرها من خلال بعض المفاهيم المثلثية.
ونرى أن علم المثلثات قد استخدم في مواقع الكواكب والنجوم وأيضاً في علم الفلك وكان ذلك قبل القرن السادس عشر ، وقد أُسند على مفهوم يتطلب وضع الأرض في وسط عدد من المجالات المتداخلة .
نظريات ثابتة في هندسة المثلثات
هناك العديد من النظريات الثابتة ومن ضمن هذه النظريات هي:
- زاويتا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان في القياس.
- إذا تساوى قياس زاويتين في مثلث ، فكان هذا المثلث متساوي الساقين.
- العامود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصف زاوية الرأس وينصف القاعدة.
- إذا كان قياس إحدى الزاويتين الحادتين في مثلث قائم الزاوية يساوي ثلاثين فإن طول الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف الوتر.
- إذا اختلف طولا ضلعين في مثلث فإن الضلع الأكبر يقابل زاوية قياسها أكبر من قياس الزاوية التي يقابلها الضلع الآخر .
- إذا اختلف قياس زاويتين في مثلث فأكبرهما في لاقيس يقابلها ضلع أكبر في الطول من الضلع الذي يقابل الزاوية الأخرى.
- مجموع طولي أي ضلعين في المثلث أكبر من طول ضلعه الثالث.
- نظرية فيثاغورس التي تنص أن في المثلث القائم الزاوية مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعيه القائمتين.
- في متوازي الأضلاع كل ضلعين متقابلين متساويان وكل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس .
- يكون الشكل الرباعي متوازي الأضلاع إذا تساوى فيه كل ضلعين متقابلين .
- يكون الشكل الرباعي متوازي أضلاع إذا تساوى فيه كل زاويتين متقابلتين.[4]