تعريف النمو الأسي ووظائفه

تعريف النمو الأسي

يعتبر النمو الأسي من التعابير الرياضية التي تصف عملية التزايد، فتتزايد قيمة x خلال فترات زمنية وتكون هذه الفترات متساوية بنفس معدل الزيادة، فتتغير القيمةx مع تغير الزمن بزيادة أسية، أو تتناقص مع  الزمن بنقصان أسي، وإن الزمن الذي يحدث فيه مضاعفة للقيمة الأولية تكون القيمة متزايدة بواسطة الأس أو القوة، ولكن في حالة النقصان الأسي فنقدر نصف العمر.

فتختلف التغيرات الأسية عن التغيرات الخطية، بالإضافة إلى أنها تختلف عن الزيادة التربيعية أو الزيادة التكعيبية، فيعتمد على الزمن ولكن أحياناً يمكن لهذا التغيير أن يعتمد على معامل آخر.

فالنمو الأسي هو النمو الذي يزيد بنسبة ثابتة، ونجد أن من السهل تحديد مجموعة سكانية تشهد نمواً أسياً فعندما نرسم البيانات بالرسم البياني، ستظهر معظم هذه الرسوم البيانية على شكل حرف J يشار إليه غالباً باسم منحنى J .

ولوحظ أن أفضل أحد الأمثلة على النمو الأسي تكون في البكتيريا، حيث أن البكتيريا تستغرق ما يقارب الساعة لتتكاثر من خلال الانشطار بدائية النواة، فإذا وضعنا 100 بكتيريا في بيئة وسجلنا حجم السكان كل ساعة، فسنلاحظ نمواً أسياً، فنسجل 200 في بداية الساعة الثانية، أما في الساعة الثالثة فنسجل 400و 800 في بداية الساعة الرابعة، وهكذا، وفي النهاية سنلاحظ استقراراً في حجم السكان بسبب القيود المختلفة على الموارد والنظام البيئي.[1]

نستنتج هنا أن النمو الأسي يشير إلى زيادة تستند إلى معدل تغير مضاعف ثابت على زيادات زمنية متساوية، أي زيادة النسبة المئوية للمبلغ الأصلي بمرور الوقت.

أما الانحلال الأسي أو

الاضمحلال الأسي

يشير إلى انخفاض في معدل تغيير مضاعف ثابت على زيادات متساوية من الوقت، أي انخفاض النسبة المئوية للمبلغ الأصلي بمرور الوقت.

وظائف النمو الأسي

إن

الدوال الاسية

تساعد على حساب التغيير وإن النسبة المئوية للتغيير والوقت والمبلغ في نهاية وبداية الفترة الزمنة هي متغيرات تلعب دوراً مهماً في الدوال الأسية.

الوظيفة الأسية هي دالة غير خطية لها الشكل y = a b x ، حيث ≠ 0 ، b> 0

تمثل الدالة الأسية ذات a> 0 و b> 1 ، نموًا أسيًا ويرتفع الرسم البياني لدالة النمو الأسي من اليسار إلى اليمين.

دالة أسية حيث يمثل a> 0 و 0 <b <1 انحلالًا أسيًا وينخفض ​​الرسم البياني لوظيفة الانحلال الأسي من اليسار إلى اليمين كما هو موضح في الشكل:

فعندما تزيد الكمية أو تنقص بشكل كبير، فإنها تزيد أو تنقص بنفس النسبة المئوية على مدار فترات زمنية متساوية مقارنةً بالوقت الذي يزيد فيه المركب أو ينقص خطيًا و عندما تزيد الكمية أو تنقص بنفس المقدار خلال فترات زمنية متساوية.[2]

الفرق بين النمو الخطي والنمو الأسي

وظيفة النمو الخطي، فإذا لاحظنا معدل تغير ثابت تكون وظيفة النمو هي خطية ، وهو رقم ثابت يزداد به الناتج لكل وحدة زيادة في المدخلات، لنأخذ المثال التالي
$f\left(x\right)=3x+4.$

$\mathrm{نلاحظ\; أن\; المنحدر\; يخبرنا\; أن\; الناتج\; يزداد\; بمقدار\; ثلاثة\; في\; كل\; مرة\; يزداد\; فيها\; المدخل\; بمقدار\; واحد\; ،\; و}$
سنوضح الفكرة عن طريق الجدول التالي:

نستنتج من الجدول السابق أن النمو الأسي يقزم النمو الخطي، يشير النمو الأسي إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي يزيد بنفس النسبة المئوية على الزيادات المتساوية الموجودة في المجال.

و يشير النمو الخطي إلى القيمة الأصلية من النطاق الذي تزيد بنفس المقدار على الزيادات المتساوية الموجودة في المجال.

من الواضح أن الفرق بين “نفس النسبة” و “نفس المبلغ” كبير جدًا، فإن للنمو الأسي على زيادات متساوية، أدى معدل هذا التغيير المضاعف الثابت إلى مضاعفة الناتج كلما زاد المدخل بمقدار واحد، أما النمو الخطي ،أدى المعدل الإضافي الثابت للتغيير على الزيادات المتساوية إلى إضافة 2 إلى المخرجات كلما زادت المدخلات بمقدار واحد.

معادلة النمو الأسي

الشكل العام للدالة الأسية هو


f





(




x




)





=


ab

^x

حيث أن aهو أي رقم غير صفري، وb هو رقم حقيقي موجب لا يساوي الواحدإذاً


b




>




1

وتنمو الوظيفة بمعدل يتناسب مع حجمها


، وتتحلل أيضاً بمعدل يتناسب مع حجمها.[3]

النمو الأسي في الأحياء

هو النمو الأسي الذي يختص بالكائنات الحية، فعندما يتضمن الوطن وفرة المواد التي لا حدود لها يؤدي هذا إلى نمو التجمع السكاني بطريقة أسية أو هندسية، فعندما تتواجد المصادر الغير محدودة فبمقدور كل نوع تحقيق أقصى جهده الفطري في زيادة العدد التابع له .

فإذا  افترضنا أن عدد السكان هو n، وأن معدل المواليد التي تخص الفرد الواحد هو b ومعدل الوفيات سنرمز له بــ d، فإن الزيادة أو الإنخفاض في n أثناء فترة من الزمن هي

، فنسمي b,d المعدل الداخلي للزيادة الطبيعية، ويعتبر هذا مؤشر مهم لتقييم آثار أي عامل إن كان أحيائي أو لا أحيائي على النمو السكاني. وقد يصل أي نوع من أنواع النمو بطريقة أسية في ظروف تتخللها موارد غير محدودة إلى كثافات سكانية هائلة، وتكون خلال فترة زمنية وجيزة، وأوضح داروين أن حيواناً بطيء النمو مثل حيوان الفيل، ممكن أن يصل إلى أعداد سكانية كبيرة، بشرط توافر موارد غير محدودة في موطنه، فإن حساب عدد السكان باالدالة التربيعية تكون سهلة جداً في ظل أن الولادة تحتاج إلى أبوين أي إلى فردين اثنين .

نموذج النمو الأسي

النمو الأسي والانحلال هما وظيفتان لتحديد النمو والانحلال في نمط محدد، و يمكن استخدام معادلة النمو الأسي والانحلال في حالة معينة فإذا نمت الكمية على فترات منتظمة ويمكن وصف نمط الوظيفة وتلخيصها في معادلة جبرية.

فيمكن ذكر صيغة النمو الأسي كما يلي :

• النمو الأسي
  
  y) = a * (1 + r) ^x)  ،
  
  بينما من الناحية الأخرى، نستطيع تمثيل صيغة الانحطاط الأسي على أنها
  
  y) = a * (1 – r) ^x) ،
  
  ويسمى بالإضمحلال الأسي، ونسمي الأعداد الصحيحة على النحو التالي:
• a = النمو الأولي أي المبلغ قبل قياس النمو أو الاضمحلال
• r= معدل النمو أو الاضمحلال، وغالباً ما يتم تمثيله كنسبة مئوية ويتم التعبير عنه كعدد عشري.
• x= عدد الفترات الزمنية التي مرت بها.[4]

استخدامات صيغة النمو الأسي

يستخدم مفهوم النمو الأسي غالباً في مفهوم النمذجة ونمو الاقتصاد، فإذا أردنا أن نجد  إيرادات الشركة إذا كانت تنمو بمعدل ثابت x٪ ، فإننا غالبًا ما نستخدم النمو الأسي بالإضافة إلى مفهومه لتحديد إيرادات الشركة التي تنمو بنسبة معينة من معدل النمو.

وتظهر الوظيفة الأسية أيضًا في مجموعة متنوعة من السياقات في الفيزياء والكيمياء والهندسة وعلم الأحياء الرياضي بالإضافة إلى الاقتصاد، وهي أيضاً منتشرة في مفاهيم العلوم الطبيعية والاجتماعية.

وتعتبر الصيغة الأسية من الوظائف الهامة في الرياضيات وهناك أيضاً

أنواع المعادلات الجبرية

في الرياضيات ، وقد اشتُقت من مساعدة الرياضيات والاقتصاد فقط، وتُعد صيغة الانحلال الأسي مفيدة جداً في مجموعة متنوعة من تطبيقات العالم الحقيقي، وعلى الأخص لتتبع المخزون الذي يتم استخدامه بانتظام بنفس الكمية (مثل الطعام في كافيتريا المدرسة) وهي مفيدة بشكل خاص للتقييم السريع على المدى الطويل وتكلفة استخدام المنتج بمرور الزمن.[4]