ما هو المضاعف المشترك الاكبر
القاسم المشترك الأكبر
القاسم المشترك الأكبر هو أكبر عدد يقبل كلا العددين القسمة عليه بدون باقي ، واختصاره باللغة العربية هو (ق.م.أ)
مثال:
أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين (12،16)
الحل
:نحلل كِلا العددين لعواملهما الأولية ، ونكتبهم على شكل جداء فيكون القاسم المشترك الأكبر هو العوامل المشتركة فقط وبأقل عدد من المرات ، فالقاسم المشترك الأكبر للعددين (12،16) = 4.
ما هو المضاعف المشترك الأصغر
في النظرية الحسابية المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين (أ ، ب)، هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على هذين العددين بدون وجود باقي للقسمة ، ويطلق عليه باللغة الإنجليزية least common multiple واختصاره باللغة العربية (م.م.أ)، و اختصاره باللغة الإنجليزية (lcm) ، وهناك
الفرق بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر .
وهنا نجد أن مضاعف أي رقم هو حاصل ضرب الرقم وعدد صحيح ، مثلاً الرقم 10 هو مضاعف للعدد 5 لأن 2*5=10 ، ولأن العدد 10 يقبل القسمة على هذين الرقمين بدون وجود باقي للقسمة ، و هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على 5 و 2 ، وفقاً لمبدأ المضاعف نستنتج أن الرقم 10 هو أيضاً مضاعف مشترك أصغر .[1]
المضاعف المشترك الأصغر مع الكسور
عندما نريد أن نجمع الكسور البسيطة أو طرحها أو مقارنتها ،نستخدام المضاعف المشترك الأصغر للمقام (غالبًا ما يسمى أصغر المقام المشترك) ، لأنه يمكن التعبير عن كل كسر في صورة كسر بهذا المقام .
مثال:
حيث يتم استخدام المقام 42 لأن المضاعف المشترك الأصغر بين الرقمين 6 و 21.
طريقة حساب المضاعف المشترك الأصغر
الطريقة الأولى
عند وجود عددين ونريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لكليهما نبدأ بالرقم الأول و نكتب مضاعفاته حتى العدد مئة مثلاً، ثم نأخذ الرقم الثاني ونكتب أيضاً مضاعفاته ، ثم نأخذ المضاعفات المشتركة التي نتجت معنا لهذين الرقمين ، ونختار أصغر واحد منها ما عدا الصفر .
مثال: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد (6،7،21)
-
نوجد مضاعفات العدد 6 : 6،12، 18، 24، 30، 36،
42
،48، 54،60 . -
نوجد مضاعفات العدد 7 : 7، 14، 21، 28، 35،
42
، 56،63. -
نوجد مضاعفات العدد 21: 21,
42
, 63. - نأخذ المضاعفات المشتركة وهنا نلاحظ أن العدد المشترك بين مضاعفات الأعداد التي ذكرناها هو العدد 42 وهو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.
الطريقة الثانية
نحلل كلا العددين إلى عواملهما الأولية ، ونكتبهما على شكل جداء قوى ، فيكون المضاعف المشترك الأصغر لهما هو العوامل المشتركة والغير مشتركة وبأكبر أس ، ثم نضرب هذه العوامل التي نتجت ببعضها البعض .
مثال
: لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر للعددين (12 ، 30) بدون استخدام الأس :
-
أولاً
نوجد العوامل الأولية لكل عدد معطى ، العوامل الأولية للعدد 12 = 2 × 2 × 3 ، العوامل الأولية للعدد 30 = 2 × 3 × 5. -
ثانياً
نضع قائمة بجميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها ، بعدد المرات التي تحدث فيها أو بكتابتها كقوة 2 × 2 × 3 × 5 = 60 -
ثالثاُ
بعد ضرب الأعداد التي نتجت معنا بقائمة الأعداد الأولية ينتج معنا الرقم 60 وهو المضاعف المشترك الأصغر للأعداد (12،30) .
مثال:
أوجد المضاعف المشترك للأرقام(12،18،30) باستخدام الأس:
- نوجد جميع العوامل الأولية لكل رقم معطى ونكتبها في صورة الأس
العوامل الأولية للرقم 12 = 2 × 2 × 3 = 2
2
× 3
1
العوامل الأولية للرقم 18 = 2 × 3 × 3 = 2
1
× 3
2
العوامل الأولية للرقم 30 = 2 × 3 × 5 = 2
1
× 3
1
× 5
1
- نكتب جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها باستخدام أعلى أس الموجود بين الأرقام.
- نضرب قائمة العوامل الأولية مع الأسس لنوجد المشترك الأصغر 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة السلم
- هذه الطريقة تسمى إما بطريقة السلم أو طريقة الكيك وتستخدم القسمة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام، و يستخدم الناس طريقة السلم باعتبارها أسرع وأسهل طريقة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لأنه يعتمد على تقسيم بسيط.
- وهذه الطريقة لها مسميات عدة طريقة الكيك ، طريقة السلم ، طريقة الصندوق أو تسمى طريقة مربع العامل وطريقة الشبكة وكلها تهدف إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر، و قد تبدو الصناديق والشبكات مختلفة بعض الشيء ، لكنها تستخدم جميعًها القسمة على الأعداد الأولية لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.[2]
- مثال أوجد المضاعف المشترك الأصغر (10، 12، 15، 75): نكتب الأرقام الخاصة في طبقة أو صف 10 12 15 75 نقسم أرقام الطبقة على رقم أولي قابل للقسمة بالتساوي إلى رقمين أو أكثر في الطبقة ونقوم بإنزال النتيجة إلى الطبقة التالية .
إذا كان أي رقم في الطبقة غير قابل للقسمة بالتساوي ، فقم بإسقاط هذا الرقم.
استمر في قسمة طبقات السلم على الأعداد الأولية ،عندما لا يكون هناك المزيد من الأعداد الأولية التي تنقسم بالتساوي إلى رقمين أو أكثر ، تكون قد انتهت العملية.
نجد أن المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب الأرقام العمود الأيسر المظلل باللون الأصفر والصف السفلي المظلل أيضاً ، وتم تجاهل الرقم واحد لأنه لا يغير في النتيجة أبداً فحاصل ضرب أي عدد بالرقم واحد هو نفسه .
المضاعف المشترك الأصغر = 2 × 3 × 5 × 2 × 5
المضاعف المشترك الأصغر = 300
إذن ، المضاعف المشترك الأصغر (10 ، 12 ، 15 ، 75) = 300
استخدام العامل المشترك الأكبر لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر
ممكن أن نعرف العامل بأنه الرقم الذي ينتج معنا عندما نتمكن من قسمة رقم على آخر بالتساوي، وهذا العامل يعرف أيضاً بالمقسوم عليه ، وهنا نلاحظ أن أكبر عامل مشترك لرقمين أو أكثر يعتبر أكبر رقم مشترك بين جميع هذه العوامل ، وللعامل المشترك الأكبر عدة أسماء وتحمل نفس المعنى فيمكن أن نسميه بالعامل المشترك الأعلى ، أو القاسم المشترك الأكبر أو القاسم المشترك الأعلى ، أو أكبر مقياس مشترك ونستنتج بأن المضاعف المشترك الأصغر لعددين (أ ،ب)= (أ *ب)/العامل المشترك الأكبر لهذين العددين.
مثال أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين(6،10) باستخدام العامل:
- عوامل العدد 6=1،2،3،6
- عوامل العدد 10=1،2،5،10
- العوامل المشتركة بين هذين العددين هو 2
- فالمضاعف المشترك الأصغر للعددين(10،6)=(6*10)/2 رقم اثنان هو العامل التي نتج معنا فالنتيجة = 2/60=30 وهو المضاعف المشترك الأصغر.
إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام العشرية
نوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام العشرية بالبحث عن الرقم الذي يحتوي على أكبر عدد من المنازل العشرية ، ثم نحسب عدد هذه المنازل في الرقم الذي تم اختياره ، ثم نحرك المنازل العشرية إلى اليمين حتى تصبح أرقاماً صحيحة وأريد أن أنوه أن تحريك المنازل سيكون بعدد المنازل التي نتجت معنا في الرقم الذي اخترناه سابقاً ، ثم نوجد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام وبعدها نعيد تحريك المنازل العشرية بنفس العدد السابق ولكن هذه المرة سنحركها بجهة اليسار ، وهكذا نكون قد أوجدنا المضاعف لهذه الأعداد العشرية .[2]
أمثلة شاملة على المضاعف المشترك الأصغر
المثال الأول: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد التالية 3 ، 9 ، 21
الحل
-
اكتب قائمة العوامل الأولية لكل منها
3: 3
9: 3 × 3
21: 3 × 7 - اضرب كل عامل في أكبر عدد من المرات التي يحدث فيها في أي من الأرقام، 9 تحتوي على 3 أس 2 ، و 21 لها 7 واحد .
- نضرب 3 مرتين ، ونضرب الرقم 7 مرة واحدة ،تكون النتيجة تساوي 63 ، وهو أصغر عدد يمكن تقسيمه بالتساوي على 3 و 9 و 21.
- و نتحقق من عملنا من خلال التحقق من أن 63 يمكن تقسيمه بالتساوي على 3 و 9 و 21.
المثال الثاني
: أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 25،18،10 باستخدام طريقة السلم.
الحل:
نكتب الأرقام في صف جدول القسمة مثل الصورة التالية:
نبدأ بأدنى عدد من الأعداد الأولية ،ثم نقسم صف الأعداد على عدد أولي قابل للقسمة بالتساوي على واحد على الأقل من الأعداد الخاصة ونقوم بإنزال النتيجة في صف الجدول التالي
إذا كان هناك أي رقم في الصف غير قابل للقسمة بالتساوي فقم بإسقاط هذا الرقم
نقسم الصفوف على الأعداد الأولية التي تقسم بالتساوي إلى رقم واحد على الأقل ، وتنتهي عندما ينتج في الصف الأخير من النتائج الرقم واحد
المضاعف المشترك الأصغر هو حاصل ضرب الأعداد الأولية في العامود الأول ، المضاعف المشترك الأصغر = 2 × 3 × 3 × 5 × 5.
المضاعف المشترك الأصغر = 450 للأرقام (10،18،25)