تعريف المتجهات

المتجهات هي تمثيلات هندسية للحجم والاتجاه والتي يتم تمثيلها غالبًا بأسهم مستقيمة ، تبدأ من نقطة واحدة على محور إحداثيات وتنتهي عند نقطة مختلفة ، جميع المتجهات لها طول ، يُطلق عليه المقدار ، والذي يمثل نوعًا ما من الفائدة بحيث يمكن مقارنة المتجه مع متجه آخر ، المتجهات كونها سهام ، لها أيضًا اتجاه ، هذا ما يميزهم عن العددية ، وهي مجرد أرقام بدون اتجاه ، وتستخدم في العديد من التطبيقات مما يجعل

اهمية المتجهات في حياتنا

كبيرة.

يتم تعريف المتجه من خلال حجمه واتجاهه فيما يتعلق بمجموعة من الإحداثيات ، غالبًا ما يكون مفيدًا في تحليل المتجهات لتقسيمها إلى الأجزاء المكونة لها ، بالنسبة للمتجهات ثنائية الأبعاد ، تكون هذه المكونات أفقية ورأسية ، بالنسبة للمتجهات ثلاثية الأبعاد ، يكون عنصر المقدار هو نفسه ، ولكن يتم التعبير عن مكون الاتجاه بدلالة xx و yy و zz.

وبالتالي من حيث التعريف ، فإن المتجه هو كمية تتميز بالحجم والاتجاه ، ومن أشهر الأمثلة على ذلك هي القوة ، السرعة ، والوزن ، وتعتبر القوة متجه لأن القوة هي مقدار الشدة أو القوة المطبقة في اتجاه ما ، والسرعة هي المتجه حيث تكون سرعته هي المقدار الذي يتحرك فيه كائن في مسار معين.

خواص المتجهات

المتجهات ثنائية الأبعاد

يمكن تمثيل المتجهات ثنائية الأبعاد في شكلين ، أي شكل هندسي.

جمع وضرب المتجه

تتم إضافة متجهين عن طريق إضافة العناصر المقابلة لكل متجه ، عندما يتم ضرب متجه في عددية ، يتم ضرب كل عنصر في العدد القياسي.

معيار المتجه

معيار المتجه x ، يُشار إليه بـ || x || هو مقياس لمقدار المتجه.

حاصل الضرب النقطي لمتجهين

حاصل الضرب القياسي أو الناتج النقطي لمتجهين هو مجموع حاصل ضرب المكونات الفردية للمتجهين ، إذا كان لدينا متجهان x و y ، يتم تعريف حاصل الضرب القياسي على النحو التالي:

X.Y= x1y1 + x2y2 + …..

العلاقة بين القاعدة والمنتج النقطي

من تعريف حاصل الضرب النقطي والقاعدة ، من السهل استنتاج أن حاصل الضرب النقطي لمتجه بحد ذاته يساوي تربيع القاعدة.

الاستقلال الخطي للمتجهات

نسمي مجموعة من المتجهات (v 1 ، v 2 ، .. ، v n ) مستقلة خطيًا إذا لم يكن هناك متجه للمجموعة يمكن تمثيله كمجموعة خطية فقط باستخدام الضرب العددي وإضافات المتجهات للمتجهات الأخرى ، إذا كان من الممكن تمثيلهم بهذه الطريقة ، فسيتم تسميتهم بالمتجهات المعتمدة خطيًا.[1]

أنواع المتجهات

المتجه الصفري

المتجه الصفري هو متجه عندما يكون حجم المتجه صفراً وتتزامن نقطة بداية المتجه مع النقطة النهائية ، ويترتب على ذلك أن حجم المتجه الصفري يساوي صفرًا وأن اتجاه هذا المتجه غير محدد.

المتجهات الأولية المشتركة

تسمى المتجهات التي لها نفس نقطة البداية متجهات أولية مشتركة.

المتجهات المتشابهة

تُعرف المتجهات التي لها نفس الاتجاه باسم المتجهات المتشابهة ، على العكس من ذلك ، يُطلق على المتجهات التي لها الاتجاه المعاكس فيما يتعلق ببعضها البعض أنها غير متشابهة.

المتجهات المشتركة المستوية

تُعرف ثلاثة نواقل أو أكثر تقع في نفس المستوى أو موازية لنفس المستوى باسم المتجهات المشتركة المستوية.

المتجهات الخطية

المتجهات التي تقع على نفس الخط أو الخطوط المتوازية معروفة بأنها متجهات خطية ، تُعرف أيضًا باسم المتجهات المتوازية.

المتجهات المتساوية

يُقال أن متجهين أو أكثر متساويان عندما يكون حجمهما متساويًا وكذلك اتجاههما هو نفسه.

المتجه السالب

إذا كان المتجهان متماثلين في الحجم ولكنهما معاكسان تمامًا في الاتجاه ، فسيكون كلا المتجهين سالبين لبعضهما البعض ، افترض أن هناك متجهين أ و ب ، بحيث يكون هذان المتجهان متماثلان تمامًا في الحجم ولكن في الاتجاه المعاكس ، فيمكن إعطاء هذه المتجهات بواسطة ، أ = – ب. [2]

جمع وطرح المتجهات

إحدى الطرق التي يسهل بها تمثيل الكميات الفيزيائية كمتجهات عملية التحليل هي سهولة إضافة المتجهات إلى بعضها البعض ، نظرًا لأن المتجهات عبارة عن تصورات رسومية ، يمكن إجراء جمع وطرح المتجهات بشكل بياني.

تُعرف الطريقة الرسومية لإضافة المتجهات أيضًا باسم طريقة الرأس إلى الذيل للبدء ، ارسم مجموعة من محاور الإحداثيات ، بعد ذلك ارسم المتجه الأول مع ذيله أي قاعدته) في أصل محاور الإحداثيات.

بالنسبة إلى إضافة المتجهات ، لا يهم المتجه الذي ترسمه أولاً لأن الجمع هو تبادلي ، ولكن بالنسبة للطرح ، تأكد من أن المتجه الذي ترسمه أولاً هو المتجه الذي تطرح منه ، الخطوة التالية هي أخذ المتجه التالي ورسمه بحيث يبدأ ذيله من رأس المتجه السابق أي جانب السهم ، استمر في وضع كل متجه على رأس المتجه السابق حتى يتم ربط جميع المتجهات التي ترغب في إضافتها معًا. أخيرًا ، ارسم خطًا مستقيمًا من الأصل إلى رأس المتجه الأخير في السلسلة ، هذا الخط الجديد هو نتيجة المتجه لإضافة هذه المتجهات معًا.

مثال على المتجهات

إذا كان لديك متجه A بحجم واتجاه معينين ، فإن ضربه في عدد قياسي بحجم 0.5 سيعطي متجهًا جديدًا بحجم نصف الأصلي ، وبالمثل ، إذا أخذت الرقم 3 وهو عدد قياسي خالٍ من الوحدات وضربته في متجه ، فستحصل على نسخة من المتجه الأصلي يبلغ طوله 3 أضعاف ، كمثال فيزيائي أكثر ، خذ قوة الجاذبية على جسم ما. القوة متجه مع اعتماد حجمها على الحجم القياسي المعروف بالكتلة واتجاهها لأسفل ، إذا تضاعفت كتلة الجسم ، تتضاعف قوة الجاذبية أيضًا.

ضرب النواقل بواسطة العددية مفيد جدا في الفيزياء ، معظم الوحدات المستخدمة في الكميات المتجهة هي في جوهرها مقاييس مضروبة في المتجه. ،على سبيل المثال ، وحدة المتر في الثانية المستخدمة في السرعة وهي متجه ، تتكون من عددين ، وهما المقادير العدد القياسي للطول بالأمتار والقياس القياسي للوقت بالثواني ، من أجل إجراء هذا التحويل من المقادير إلى السرعة ، يجب على المرء أن يضرب متجه الوحدة في اتجاه معين بهذه المقاييس.

معلومات هامة عن المتجهات في الفيزياء

يمكن تقسيم المتجهات إلى عنصرين هما الحجم والاتجاه.
من خلال أخذ المتجه المراد تحليله على أنه الوتر ، يمكن إيجاد المكونات الأفقية والرأسية بإكمال مثلث قائم الزاوية ، الحافة السفلية للمثلث هي المكون الأفقي والضلع المقابل للزاوية هو المكون الرأسي.
يمكن استخدام الزاوية التي يصنعها المتجه مع الأفقي لحساب طول المكونين.
المتجهات هي كميات مادية تتطلب كلاً من المقدار والاتجاه.
لإضافة متجهات ، ضع الأول على مجموعة من المحاور مع ذيله في الأصل ، ضع المتجه التالي مع ذيله في رأس المتجه السابق عندما لا يكون هناك المزيد من المتجهات ، ارسم خطًا مستقيمًا من الأصل إلى رأس المتجه الأخير ، هذا الخط هو مجموع المتجهات.
لطرح المتجهات ، تابع كما لو كنت تضيف المتجهين ، لكن اقلب المتجه ليتم طرحه عبر المحاور ثم اربطه بذيله للرأس كما لو كان يضيف.[3]