تعريف المصفوفات وانواعها
تعتبر المصفوفة من الأساسيات الرياضية حيث تشمل الكثير من العمليات مثل الضرب، القسمة، الطرح والجمع وبعض العمليات الأخرى حيث تساعد في الكثير من الحلول للمعادلات التي تحتوي على أكثر من مجهول ولكن بشروط معينة وعن طريق طريقة الحل يمكن التوصل لقيم المجاهيل بأبسط الخطوات وللمصفوفة أنواع كثيرة جدا تعمل على تسهيل الحل.
ما هي المصفوفة
خلال
بحث عن المصفوفات
يمكن تعريف المصفوفة على انها عبارة عن بعض الأرقام التي يتم ترتيبها في صورة صفوف وأعمدة طبقا للمعادلات ويتم تحديدها بأقواس فلكل جزء في أرقام المعادة يوضع في قوس منفرد وتتم الكثير من العمليات عليها للحصول على قيم المجاهيل بالطرق المختلفة.
تطبيقات المصفوفات
توجد الكثير من التطبيقات التي يتم استخدام المصفوفات بها خاصة المجالات العملية مثل: العمليات الكهرومغناطيسية في الفيزياء، البصريات، ميكانيكا الكم والكثير من المجالات الفيزيائية الأخرى.كما تستخدم في:
- الرسومات على الكمبيوتر في حلول الخوارزميات وترتيب الصفحات.
- فهم المفاهيم الخاصة بالتحليلية الكلاسيكية مثل الدلات الأسية والمشتقات بأبعاد عالية.
- تستخدم في معالجة الكثير من التحولات الخطية لعرض الصور.
- الكثير من المجالات الأخرى المهمة.
اساسيات المصفوفات
يمكن تبديل الصفوف والأعمدة للحصول على مصفوفة جديدة ويكون لها اسم آخر تساعد في الوصول إلى الحل بطريقة أسرع.
يمكن إضافة المصفوفات إلى بعضها البعض من خلال القيام بإضافة الأعداد الصحيحة فتتم هذه العملية عن طريق الادخال المقابل لكل مصفوفة على حدا ويجب التأكد من أن المصفوفتين لهما نفس الأبعاد وبالترتيب للصفوف والأعمدة مثل: 2 x 3 و2 x 3 وليس العكس كما يمكن أن تتم عملية الإضافة للمصفوفات التي لها أبعاد مربعة مثل 2 x 2.
خصائص المصفوفات
قانون التبادل
إذا كان A = [a
ij
]، B = [b
ij
] لهما نفس الترتيب والحجم هو m × n، ثم A + B = B + A. فيمكن أن يتم التبادل بين المصفوفات في الجمع.
قانون الجمع
لدينا ثلاث مصفوفات A = [a
ij
]، B = [b
ij
]، C = [c
ij
] لهما نفس الترتيب وهو m × n، (A + B) + C = A + (B + C).
الهوية المضافة
لنفترض أن A = [a
ij
] مصفوفة m × n وO تكون مصفوفة m × n صفرية، ثم A + O = O + A = A. فتعتبرO هي الهوية المضافة لجمع المصفوفة.
المعكوس الإضافي
مثلا لدينا A = [a
ij
]
m × n
أي مصفوفة، ومصفوفة أخرى مثل – A = [–a
ij
]
m × n
بحيث تكون A + (–A) = (–A) + A = O. – A هو المعكوس الجمعي لـ A أو سالبA.
أنواع المصفوفات
توجد أنواع مختلفة للمصفوفات التي تستخدم في الحل ومنها:
مصفوفة الصف
تتكون مصفوفة الصف من صف واحد فقط وليس مشروط عدد الأعمدة فيمكن أن تحتوي على عدد كبير من الأعمدة فيمكن أن تكون من رتبة 1 x 5 على سبيل المثال فيتم البداية بعدد الصفوف ثم عدد الأعمدة.
مصفوفة العمود
تعتبر مصفوفة العمود هي مصفوفة تحتوي على عمود واحد فقط من الأرقام مع عدد غير محدود من الصفوف فعلى سبيل المثال المصفوفة من الرتبة 5 x 1 فالعدد 5 يعبر عن عدد الصفوف والعدد 1 يدل على العمود الواحد.
المصفوفة المربعة
في المصفوفة المربعة يكون عدد الأعمدة مساوي تماما لعدد الصفوف حيث تكون الرتبة متساوية فيجب أن يساوي n=m ويمكن أن يقال إنها من الرتبة m.
المصفوفة المستطيلة
تعتبر المصفوفة المستطيلة هي المصفوفة التي يكون بها عدد الصفوف لا يساوي عدد الأعمدة وتكون الرتبة بهذا الشكل: 2 x 3 أو 4 x 2 وهكذا.
المصفوفة القطرية
تحتوي المصفوفة القطرية على أرقام في القطر فقط وباقي المصفوفة مكونة من أصفار ويتم التعبير عنها بالرتبة m x n مثل باقي المصفوفات.
المصفوفة العددية
تعتبر المصفوفة العددية هي مصفوفة قطرية ولكن يجب أن يحتوي القطر على عدد ثابت لا يتغير غير الصفر ويقال عن المصفوفة القطرية أنها مصفوفة عددية في حالة إذا كان القطر عناصره متساوية مثل المصفوفة المربعة.
مصفوفة الصفر
تعتبر مصفوفة الصفر هي المصفوفة التي تحتوي على أصفار في جميع العناصر مثل المصفوفة: [000000000]
مصفوفة الوحدة
تعتبر مصفوفة الوحدة هي المصفوفة المربعة التي تحتوي جميع عناصرها على أصفار ما عدا القطر يحتوي على الرقم واحد وتسمى أيضا بمصفوفة الهوية.
المصفوفة المثلثية العليا
المصفوفة المثلثية العليا هي مصفوفة مربعة تتكون جميع العناصر أسفل القطر من أصفار وباقي العناصر تحتوي على أرقام.
المصفوفة المثلثية السفلية
المصفوفة المثلثية السفلية هي مصفوفة مربعة مثل المصفوفة المثلثية العليا ولكن الأصفار للعناصر تكون أعلى القطر.
المصفوفة المتماثلة والانحراف المتماثل
تعتبر المصفوفة المتماثلة هي المصفوفة التي لها أبعاد متساوية مثل المصفوفة المربعة فهي مصفوفة متماثلة ويمكن أن يكون لها انحراف في الشكل.
المصفوفة الابتدائية
تعتبر المصفوفة الأولية هي المصفوفة التي يتم إجراء التبديلات عليها من خلال الصفوف أو الأعمدة مثل عمليات الصف الأولية التي يمكن أن تتم على الأعمدة أيضا فتعتبر عمليات التبديل تتم للصفوف والأعمدة للمصفوفة والمصفوفة الأولية تختلف تماما عن مصفوفة الهوية التي تمتلك الرقم واحد في القطر.
المصفوفة المعكوسة
تعتبر المصفوفة المعكوسة هي المعكوس للمصفوفة الأصلية وتتم هذه العملية بكل سهولة من خلال تبديل أماكن الصفوف بأماكن الأعمدة أو العكس ويمكننا الحصول على المصفوفة المعكوسة ويمكن أن تتم عن طريق القسمة، فإذا قمنا بضرب رقم معين في مقلوبه سنحصل على الواحد الصحيح، فعلى سبيل المثال (5/8)
x
= 10، فيمكننا أن نقوم بالقسمة لكلا الجانبين على 5/8 ، ولكن من الأسهل أن نقوم بضرب الطرفين في 8/5 فيعتبر الكسر المقلوب 8/5 هو معكوس 5/8 وعندما نقوم بضرب الكسرين في بعضهما البعض سوف نحصل على قيمة الواحد الصحيح وتسمى هذه الحالة هي التطابق فعند ضرب شيء في 1 لا يغير قيمته.
فمثلا إذا كان لدينا معادلة لمصفوفة مثل AB = C، حيث A وC معطيان فيمكن الحصول على قيمةB، فيمكن الحصول على القيمة من خلال القسمة ولكن القسمة للمصفوفات غير ممكنة.
عمليات المصفوفات
- الجمع والطرح للأرقام من وإلى المصفوفة.
- الضرب القياسي
- الحصول على المقلوب
- عدم إمكانية القسمة ولكن يمكن الوصول إلى النتيجة بطريقة المقلوب.
تعتبر المصفوفات من الأجزاء الهامة في الرياضيات وفي القيام بعمل بحث عن المصفوفات أو
بحث عن الرياضيات
فالمصفوفات من الحلول التي تساعد على الوصول لحلول المعادلات المختلفة الخطية كما لها الكثير من العمليات التي قد تتم عليها وتعتبر الخطوات مرتبة فالمصفوفات لها الكثير من التطبيقات المفيدة في الأمور العملية مثل علوم الفيزياء في العمليات الكهرومغناطيسية وعلوم البصريات كما أنها تساعد في ميكانيكا الكم ويتم استخدام المصفوفات أيضا في الحلول الخوارزمية على الحاسوب وتساعد أيضا في ترتيب الصفحات وعرض الصور بالتحولات الخطية والكثير من التطبيقات الأخرى.[1]