الانحراف المعياري هو مقياس إحصائي يوضح مدى تشتت مجموعة البيانات بالنسبة إلى متوسطها وهو الجذر التربيعي للتباين، ويتم حسابه عن طريق تحديد التباين بين كل نقطة بيانات نسبةٍ إلى المتوسط، إذا كانت نقاط البيانات أبعد من المتوسط، فهناك انحراف أعلى داخل مجموعة البيانات؛ وبالتالي كلما زاد انتشار البيانات زاد الانحراف المعياري، ويستفاد منه في حساب معدل العائد السنوي للاستثمار.

خصائص الانحراف المعياري

يعد الانحراف المعياري أداة مفيدة بشكل خاص في استراتيجيات الاستثمار والتجارة حيث يساعد في قياس تقلبات السوق والأمن، ويفيد في التنبؤ باتجاهات الأداء فيما يتعلق بالاستثمار، فعلى سبيل المثال يمكن للمرء أن يتوقع أن يكون مؤشر الانحراف المعياري لصندوق ما منخفض مقابل مؤشره القياسي، حيث أن هدف الصندوق هو تكرار المؤشر. [2]

من ناحية أخرى، يمكن للمرء أن يتوقع أن يكون لدى صناديق النمو القوية انحراف معياري مرتفع عن مؤشرات الأسهم النسبية، حيث يقوم المساهمين بالرهانات القوية لتحقيق عوائد أعلى من المتوسط، ولا يفضل بالضرورة أن يكون الانحراف المعياري أقل، حيث يتوقف هذا على قيمة الاستثمارات التي يقوم بها المرء واستعداده لتحمل المخاطر. [2]

كما يعد أحد مقاييس المخاطر الأساسية الرئيسية التي يستخدمها المحللون ومديرو المحافظ الاستثمارية والمستشارون، وتقوم شركات الاستثمار بالتبليغ عن الانحراف المعياري لصناديقها المتبادلة والمنتجات الأخرى، حيث تظهر مقاييس التشتت الكبيرة مدى انحراف العائد على الصندوق عن العوائد العادية المتوقعة. [1]

معادلة الانحراف المعياري

كما عرفنا أن الانحراف المعياري هو مقياس لمدى انتشار الأرقام.

رمزها هو σ (الحرف اليوناني سيجما)

σ = [(Σi (yi – ȳ) ⁄ n] ½ = [(Σ i yi 2 ⁄ n) – ȳ 2] ½

وصيغته الجذر التربيعي للاختلاف، للصول إلى المعادلة لا بد من بعض التعريفات أولا:

التباين

يتم تعريف التباين على النحو التالي: بأنه متوسط الفروق المربعة من المتوسط. [2]

ويساعد التباين في تحديد حجم انتشار البيانات عند مقارنتها بالقيمة المتوسطة، وكلما زاد التباين حدث اختلاف أكبر في قيم البيانات، وقد تكون هناك فجوة أكبر بين قيمة بيانات وأخرى، إذا كانت جميع قيم البيانات متقاربة فسيكون التباين أصغر، مما يصعب فهم هذا الأمر أكثر من الحساب عن طريق الانحراف المعياري، لأن هذه الاختلافات تمثل نتيجة مربعة قد لا يتم التعبير عنها بشكل ذي مغزى على نفس الرسم البياني لمجموعة البيانات الأصلية. [1]

كيفية حساب التباين

اتبع الخطوات التالية:

احسب الوسط (المتوسط البسيط للأرقام)

ثم لكل رقم: اطرح الوسيط وقم بتربيع النتيجة (الفرق التربيعي).

ثم احسب متوسط تلك الاختلافات المربعة. [2]

مثال عن الانحراف المعياري

ولكن إذا كانت البيانات عينة (اختيار مأخوذ من عدد أكبر من السكان)، فإن الحساب يتغير عندما يكون لديك قيم بيانات “N” وهي:

السكان: القسمة على N عند حساب التباين (كما فعلنا)

عينة: اقسم على N-1 عند حساب التباين

تبقى جميع الحسابات الأخرى كما هي، بما في ذلك كيفية حساب المتوسط. [2]

تباين العينة = 108،520 / 4 = 27،130

نموذج الانحراف المعياري = √27،130 = 165 (إلى أقرب مم)

فكر في الأمر على أنه “تصحيح” عندما تكون بياناتك مجرد عينة. [2]

الصيغ

فيما يلي الصيغتين، الموضحة في صيغ الانحراف المعياري إذا كنت تريد معرفة المزيد

“الانحراف المعياري السكاني”:

الجذر التربيعي لـ [(1 / N) مرات Sigma i = 1 to N of (xi – mu) ^ 2]

“نموذج الانحراف المعياري”: الجذر التربيعي لـ [(1 / (N-1)) مرات Sigma i = 1 to N of (xi – xbar) ^ 2]

تبدو معقدة، ولكن التغيير المهم هو

القسمة على N-1 (بدلاً من N) عند حساب تباين عينة.

لماذا تربيع الفروق

إذا جمعنا فقط الاختلافات عن المتوسط فإن السلبيات تلغي الإيجابيات:

الانحراف المعياري لماذا 4 + 4 – 4 – 44 = 0

لذلك لن يعمل. ماذا عن استخدام القيم المطلقة؟

الانحراف المعياري لماذا | 4 | + | 4 | + | −4 | + | −4 | 4 = 4 + 4 + 4 + 44 = 4

يبدو ذلك جيدًا (وهو متوسط الانحراف)، ولكن ماذا عن هذه الحالة:

الانحراف المعياري لماذا ب | 7 | + | 1 | + | −6 | + | −2 | 4 = 7 + 1 + 6 + 24 = 4

كما يعطي قيمة 4، على الرغم من أن الفروق أكثر انتشارًا.

لذا دعونا نحاول تربيع كل فرق (وأخذ الجذر التربيعي في النهاية):

الانحراف المعياري لماذا √ (42 + 42 + 42 + 424) = √ (644) = 4

الانحراف المعياري لماذا ب √ (72 + 12 + 62 + 224) = √ (904) = 4.74 …

يكون الانحراف المعياري أكبر عندما تنتشر الفروق أكثر ما نريده.

في الواقع، هذه الطريقة هي فكرة مماثلة للمسافة بين النقاط، يتم تطبيقها فقط بطريقة مختلفة. [2]

ومن الأسهل استخدام الجبر على المربعات والجذور المربعة بدلاً من القيم المطلقة، مما يجعل الانحراف المعياري سهل الاستخدام في مجالات أخرى من الرياضيات. [2]

ما هي مقاييس التشتت

تشير

مقاييس التشتت

إلى تشتت البيانات، ويعد التشتت هو مدى اختلاف القيم في التوزيع عن متوسط التوزيع، وكذلك يعطينا فكرة عن مدى اختلاف العناصر الفردية عن بعضها البعض وعن القيمة المركزية [3].

المدى الربيعي (IQR)

يصف أين يقع الجزء الأكبر من البيانات (“منتصف الخمسين” في المائة).

المدى المتبادل

الفرق بين العشر الأول (10٪) والعشر الأخير (90٪).

النطاق

الفرق بين أصغر وأكبر عدد في مجموعة من البيانات.

الفرق أو الاختلاف في الوسائل

يقيس الفرق المطلق بين متوسط القيمة في مجموعتين مختلفتين في التجارب السريرية.

الأرباع الربعية

الأرقام التي قسمت البيانات إلى أربعة أرباع (الربع الأول والثاني والثالث والرابع).

في بعض العمليات، مثل التصنيع أو القياس، يرتبط التشتت المنخفض بدقة عالية. يرتبط التشتت العالي بالدقة المنخفضة. [3]

خصائص المقياس الجيد للتشتت

يجب أن يكون من السهل حسابها وفهمها بسهولة.
يجب أن يستند إلى جميع ملاحظات المسلسل.
يجب تعريفها بدقة.
لا ينبغي أن تتأثر بالقيم المتطرفة.
لا ينبغي أن تتأثر بتقلبات العينات.
يجب أن يكون قادرًا على مزيد من العلاج الرياضي والتحليل الإحصائي. [3]

اهداف حساب قيمة التشتت

تعطي مقاييس التشتت قيمة واحدة تشير إلى درجة اتساق التوزيع أو تماثله، وتساعد هذه القيمة المفردة في إجراء مقارنات بين التوزيعات المختلفة.
تعني القيمة الصغيرة للتشتت التباين المنخفض بين المشاهدات والمتوسط، وهذا يعني أن المتوسط هو ممثل جيد للملاحظة ومناسب للغاية.
تعني القيمة الأعلى للتشتت انحرافًا أكبر بين الملاحظات، وفي هذه الحالة يكون المتوسط ليس ممثلًا جيدًا ولا يمكن اعتباره موثوقًا به. [3]

كيف يمكن التحكم في التباين

توفر لنا مقاييس التشتت المختلفة بيانات عن التباين من زوايا مختلفة، وعلى وجه الخصوص في التحليل المالي للأعمال التجارية والطبية، ويمكن أن تكون مقاييس التشتت هذه مفيدة جدًا للغاية، ويتم تطبيقها في

تمارين على مقاييس التشتت

.

كما توفر مقاييس التشتت الأساس لمزيد من التحليل الإحصائي مثل، حساب الارتباط، الانحدار، اختبار الفرضية، …إلخ، ويمكن حساب التشتت من خلال المدى وهو أبسط طريقة لقياس التشتت. [3]

إن استخدام الانحراف المعياري هامًا جدًا لقياس المخاطر التي تنطوي عليها أداة الاستثمار، إذ يوفر للمستثمرين أساسًا رياضيًا لاتخاذ القرارات المتعلقة باستثمارهم في السوق المالية، كم أنه مصطلح شائع استخدامه في الصفقات التي تشمل الأسهم وصناديق الاستثمار وصناديق الاستثمار المتداولة وغيرها، ويعطي فكرة عن مدى تشتت البيانات في العينة من المتوسط.