يتم تعريف المساحة رياضياً على أنه مقدار الفراغ الذي يشغله جسم معين ، وكما هو معروف ، فإن المساحة لها العديد من الاستخدامات العملية في حياة الإنسان ، سواء في الزراعة أو الهندسة المعمارية أو البناء أو العلم أو الجوانب الأخرى للإنسان الحياة ، باستخدام المنطق الرياضي ، يصبح من الممكن حساب مساحة أي شكل هندسي عن طريق وضعها على المستوى الديكارتي المدرج ، وحساب عدد المربعات التي تغطيها .

من بين الصيغ الرياضية الأكثر شهرة المستخدمة في حساب المساحة ما يلي :

قانون منطقة المستطيل : المساحة= (الطول * العرض) .
قانون المساحة المربع : المساحة = (طول ضلع * طول ضلع) أو (الضلع * 2) .
قانون مساحة المثلث : المساحة = (نصف طول القاعدة * الارتفاع) .
قانون مساحة الدائرة : المساحة = (3.14 * الشعاع 2) .
قانون مساحة متوازي الأضلاع : المساحة = (طول القاعدة * الارتفاع) .
قانون مساحة شبه المنحرف : المساحة = (1/2 * (القاعدة الأولى + القاعدة الثانية) * الارتفاع) .

ما هو المنشور

المنشور عبارة عن مُجَسَّم هندسي وهو مكوّن من قاعدتين متماثلتين ، بالإضافة إلى أوجه مسطّحة أو أوجه منبسطة هو أي شيء يشغل مساحة من الفضاء ويتكون من جانبين مضلعين بحيث يكونان متساويين ومتوازيين ، حيث يجب أن تكون بقية أضلاعه متوازية ، ويحدد الجانبان المقابلان قاعدتين تسمى المنشور وبقية الوجوه تسمى الأوجه الجانبية ، والخطوط المستقيمة التي تتقاطع على الوجوه بالأحرف الجانبية ، ويتم تحديد ارتفاع المنشور وفقًا للمسافة الطويلة بين قاعدتيه ، وله العديد من الأنواع مثل المكعب ، متوازي الأضلاع ، متوازي مستطيل والمنشور هو أحد الوجوه المتعددة .

أشكال المنشور

يوجد بعض الأنواع من المنشور تتوقف على هيئة قاعدته ، وأشكال المنشور هي :-

المنشور الرباعي .
المنشور الثلاثي .
المنشور الخماسي .
المنشور السداسي .

المنشور الرباعي ربما يكون شكل قاعدته مربعة أو مستطيلة ، هذا بالإضافة إلى وجود نوعان آخران من المنشور وهما ( المنشور القائم ، والمنشور المائل ) ، نجد في المنشور القائم أن الأوجه والأطراف التي تصل بين الأوجه تكون بشكل عمودي على القاعدة ، وتكون كافة الأوجه الجانبية في هيئة مستطيلة ، أما فيما يتعلق بالمنشور المائل فلا تكون الأوجه الخاصة به والأطراف على هيئة عمود وتكون الأوجه الجانبية له على صورة متوازي أضلاع .

ووفقاً لما سبق فإننا يمكن أن نقول أن متوازي المستطيلات عبارة عن منشور رباعي ، وأيضاً يمكن اعتبار المكعب حالة من حالات المنشور الرباعي ، ففيه تتماثل الأوجه مع القاعدة .

مساحة سطح المنشور الرباعي

مساحة سطح المنشور الرباعي : نستطيع أن نحسب المساحة الإجمالية الشكل ثلاثي الأبعاد عن طريق احتساب مجموع مساحة كافة الأوجه بالإضافة إلى القاعدتين ، ومن خلال ذلك يمكننا احتساب مساحة سطح المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة والأوجه المستطيلة ، ويمكن ذلك من خلال تطبيق الخطوات التالية :-

احتساب إجمالي المساحة المنشور الرباعي = يكون عبارة عن مجموع مساحة القاعدتين مضافاً إليه مجموع المساحة الجانبية ( أي المساحة الكلية الأوجه الجانبية) .

مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة

إيجاد مساحة المنشور الذي تكون قاعدته مربعة

: ذكرنا سابقاً أن المنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة تكون الأوجه الجانبية فيه بصورة مستطيلة ، ولذلك نستطيع أن نحسب مساحته من خلال استعمال قانون ( مساحة سطح المستطيل ) .

وبالتالي يمكننا أن نجد مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة من خلال الآتي :

مساحة المستطيل= قيمة الطول مضروبة في قيمة العرض

لا تنسى أن عرض المستطيل في المنشور الرباعي نشير إليه بطول ضلع القاعدة ، وطول المستطيل نشير إليه بارتفاع المنشور .

وبذلك يمكن إيجاد المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة ( بضرب 4 في طول ضلع القاعدة في ارتفاع المنشور ) ، لاحظ أنه قد تم الضرب في العدد 4 لأن عدد أوجه المنشور الرباعي هو 4 . [1]

طريقة أخرى لإحتساب المساحة الجانبية للمنشور الرباعي

نستطيع أن نجد المساحة الجانبية للمنشور الرباعي الذي تكون قاعدته مربعة من خلال احتساب الآتي :

( محيط القاعدة × ارتفاع المنشور) ، وهذا لأن قاعدة المنشور مربعة وهي مكونة من 4 أضلاع ، ويمكن إيجاد محيط القاعدة من خلال احتساب التالي : ( محيط القاعدة =4×طول ضلع القاعدة) .

وهكذا تكون المساحة الكلية للمنشور الرباعي صاحب القاعدة المربعة = ( محيط القاعدة مربعة الشكل×الارتفاع مضافاً إليه 2×مساحة القاعدة ذات الشكل المربع ) .

إيجاد إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة والأوجه المربعة (المكعب)

: تكون عبارة عن مساحة المكعب = ( 6 × طول ضلع المكعب 2) ، هذا لأن عدد أوجه المكعب 6 ، وهو عبارة عن حالة خاصة من حالات المنشور الرباعي .

مساحة المنشور الرباعي ذو قاعدة مستطيلة

إيجاد مساحة المنشور الذي تكون قاعدته مستطيلة

: يمكن احتساب إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة من خلال الآتي :-

[ 2 × (عرض المنشور × طول المنشور) + 2 × (طول المنشور × ارتفاع المنشور) + 2 × ( ارتفاع المنشور × عرض المنشور) ] .

ولمزيدٍ من التوضيح وإيصال المعلومة بصورة أوضح هناك عدد من الأمثلة الخاصة بإيجاد مساحة سطح المنشور الرباعي

مثال لإيجاد مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة

أوجد إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المربعة ، إذا علمت أن طول ضلع قاعدته 3 سم ، وارتفاعه 5 سم؟

الحل

إجمالي مساحة المنشور الرباعي = عبارة عن ( محيط القاعدة مضروب في الارتفاع مضافاً إليه 2 مضروبة في مساحة القاعدة ) .

وحيث أن القاعدة ذات شكل مربعي فيكون محيطها = 4 ×طول الضلع

أي أن محيط القاعدة = 4 ضرب 3 = 12سم .

مساحة القاعدة = الضلع مضروب الضلع = 3×3 = 9سم².

وهكذا تكون مساحة المنشور الرباعي = (12×5) + (2×9) = 60+18 = 78 سم².

مثال لإيجاد مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة

أوجد إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة إذا علمت أن الطول 3 سم ، والعرض يساوي 5 سم ، والارتفاع يبلغ 20 سم؟

الحل

إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة = [ 2×(العرض×الطول) + 2×(الطول×الارتفاع) + 2×(الارتفاع×العرض) ] .

أي أن إجمالي مساحة المنشور الرباعي = [ 2×(3×5) + 2×(3×20) + 2×(20×5)

= 30+120+200= 350 سم² .

مثال لإيجاد إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة والأوجه المربعة (المكعب)

يرغب وائل في بناء مكعب طول ضلعه 2 قدم للاحتفاظ بالدمى بداخله ، فإذا كان يحتاج إلى 25 مل لطلاء كل قدم مربع منه، فكم يحتاج من الطلاء حتى يقوم بتغطية المكعب بالكامل؟

الحل

أولاً علينا إحتساب مساحة سطح المكعب كالتالي

مساحة سطح المكعب = 6×طول الضلع²

أي أنه = 6×2×2 = 24 قدم².

ثانياً بمعرفة أن كل 25 مل من الطلاء تقوم بتغطية مساحة 2 قدم² من المكعب ، فتكون كمية الطلاء المطلوبة للقيام بتغطية 24 قدم² هي :

كمية الطلاء = 24قدم²×25 مل لكل قدم² = 600 مل . [2]

قام حسام بصنع صندوقاً خاصاً له على هيئة متوازي مستطيلات ارتفاع الصندوق يبلغ 6 سم ، ويبلغ طوله 15 سم ، ويبلغ العرض 12 سم، فإذا علمت أن تكلفة الطلاء 0.5 دولار / سنتيمتر٢ ، أوجد تكلفة طلاء الصندوق بالكامل ؟

الحل

إجمالي تكلفة طلاء الصندوق = عبارة عن ( إجمالي المساحة للصندوق × تكلفة طلاء السنتيمتر المربع الواحد ) .

أي أننا يمكننا إيجاد إجمالي مساحة الصندوق من خلال احتساب إجمالي مساحة المنشور الرباعي ذو القاعدة المستطيلة وهو عبارة عن = [ 2×(العرض×الطول) + 2×(الطول×الارتفاع) + 2×(الارتفاع×العرض) ] .

أي أن إجمالي مساحة الصندوق =

[ 2×(15×12) + 2×(6×15) + 2×(12×6) ] = 684 سم².

وهمذا تكون اجمالي تكلفة الطلاء = 684×0.5 = 342 دولار .

حساب حجم المنشور الرباعي

يمكننا أن نقوم باحتساب حجم المنشور الرباعي عن طريق اتباع التالي : حجم المنشور الرباعي = الطول مضروباً في العرض مضروباً في الارتفاع .
أو يمكننا إيجاد حجم المنشور الرباعي من خلال : ضرب مجموع القاعدتين في ارتفاع المنشور .