الرياضيات هي من أهم المواد التي يمكن لها أن تساعدنا على تسهيل المعاملات فيما بيننا ، وخاصة المعاملات المالية ، والتجارية ، ويمكن لنا أن نتعلم الأساسيات ، أو الأشياء التي تفيدنا في حياتنا العامة أن كان لا نريد أن ندرسها كمادة تعليمية أو فرع ، ولكن لا غنى عن أساسياتها حتى يكون الفرد قادراً على معرفة حقوقه ولا يتم استغلاله من قبل البشر ، ومن أهم الدروس الرياضية التي يمكن لها أن تفيد الإنسان في تعاملاته هي درس مضاعفات الأعداد فهي تساعد على معرفة ضرب الرقم في العدد بكل سهولة ويسر .

مضاعفات العدد 10

يعرف المضاعف (بالإنجليزية: Multiples) بأنه العدد الذي نحصل عليه من خلال ضرب أحد الأعداد في عدد صحيح آخر ، وليس بعدد كسري ، وهذه بيان للعدد التي يمكن أن نحصل عليها من خلال ضرب العدد 10 في العداد الصحيحة من (2) إلى (12) وبناء على التعريف السابق تكون مضاعفات العدد 10 هي : [1]

2×10= 20 ، 3×10 = 30 ، 4×10 =40 ، 5×10 = 50 ، 6×10 = 60 ، 7×10= 70 ، 8×10 = 80 ، 9×10 = 90 ، 10×10= 100 ، 11×10= 110 ، 12 × 10 = 120 .

ويجب أن ذكر أن مضاعفات العدد (10) يمكن أن يتم استخراجها بسهولة كبيرة ، حيث أن جميع هذه الأعداد يوجد بها العدد (0) في خانة الآحاد ، لذلك فإن الناتج سيكون فيه العدد (0) في خانة الآحاد كذلك ، ثم إتمام عملية الجمع عن طريق جمع الأعداد المتبقية في المنازل المتبقية ؛ فمثلاً 50+90 = 140 .

مضاعفات العدد 10 في الضرب

نستطيع الاستفادة من مضاعفات العدد (10) في حل بعض مسائل الضرب ، وهذا عن طريق تفكيك أحد الأعداد إلى جزأين مجموعين لبعضهما أحدهما هو العدد (10) أو مضاعفاته ، ثم توزيع عملية الضرب على الجمع ، وهذا كما في المثال الآتي: [2]

6×15= حل هذه المسألة عن طريق كتابة (15) على شكل (5+10) ، وكتابة المسألة بالشكل الآتي: 6×(5+10)
توزيع الضرب على الجمع، فتصبح المسألة: 6×(5+10) = 6×5+6×10 = 30+60 = 90 36×18= حل هذه المسألة عن طريق كتابة (18) على شكل (8+10)، وكتابة المسألة بالشكل الآتي: 36×(8+10).
توزيع الضرب على الجمع ، فتصبح المسألة: 36×(8+10) = 36×8+36×10.
كتابة (36) على شكل (6+30)، وكتابة المسألة بالشكل الآتي: 36×8+36×10 = 8×(6+30) + 36×10 = 8×6 +8×30 + 36×10 = 48+240+360 = 648.

مضاعفات العدد 10 في الحساب الذهني

يمكن استخدام بمضاعفات العدد عشرة لأداء عمليات الحساب الذهني عند جمع الأعداد معاً من خلال إزالة جزء من العدد الأصغر وإضافته للعدد الأكبر ليكون العدد الأكبر من أحد مضاعفات العدد (10) الأقرب إليه ، ثم إضافة ما تبقى من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر بعد أن أصبح من مضاعفات العدد (10)، وذلك كما يلي:[٤] 17+5= العدد الأصغر هو (5)، والأكبر هو 17، لذلك يجب إزالة جزء من العدد الأصغر ليصبح العدد الأكبر وهو 17 مساوياً لأحد مضاعفات العشرة الأقرب إليه، وهو 20.
وذلك من خلال المثال التالي : (17+3)+2. إضافة ما تبقى من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر بعد تحوله إلى أحد مضاعفات العدد (10)، وذلك كما يلي: 20+2 = 22. 35+25= العدد الأصغر هو (25)، والأكبر هو 35، لذلك يجب إزالة جزء من العدد الأصغر ليصبح العدد الأكبر وهو 35 مساوياً لأحد مضاعفات العشرة الأقرب إليه، وهو 40، وذلك كما يلي: (35+5)+20.
إضافة ما تبقى من العدد الأصغر إلى العدد الأكبر بعد تحوله إلى أحد مضاعفات العدد (10)، وهذا من خلال ما يلي : 40+20 = 60.
كما يمكن إجراء عملية الجمع ذهنياً عن طريق تقريب كل عدد من الأعداد لأحد مضاعفات العدد (10) القريب منه ، ثم إضافة كل ما تبقى من الأعداد، وهي منزلة الآحاد في كل منها وإضافتها إلى المجموع السابق للحصول على النتيجة، وذلك كالتالي : 23+12+25+ 32= جمع كل مضاعفات الـ (10) القريبة من كل عدد من الأعداد كالآتي : 20+10+20+30 = 80.
جمع الآحاد، وهذا كالتالي : 5+2+3+2 = 12.
جمع العددين السابقين معاً، وذلك كما تأتي : 80+12 = 92. 34+25+32= جمع كل مضاعفات الـ (10) القريبة من كل عدد من الأعداد كالآتي: 20+30+30 = 80. جمع الآحاد، وذلك كما يلي: 5+2+4 = 11.
جمع العددين السابقين معاً، وذلك كما تأتي : 80+11 = 91. [3]

طريقة إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

هناك أربعة طرق يمكن من خلالها إيجاد المضاعف المشترك الأصغر وهم كالتالي : [4]

الطريقة القديمة

تعد هذه الطريقة من الطرق التقليدية ، التي يتم استخدامها عادة في الحصول على المشترك الأصغر ، وتكون عن طريق كتابة مضاعفات كل عدد من الأعداد على حدة على شكل قائمة ، وبعدها يتم العثور على أصغر مضاعف مشترك بينها ، ولكن العيب الذي يوجد فيه الطريقة أنه لا يمكن استخدامها عادة إلا إذا كانت الأعداد صغيرة ، فإذا أردنا أن نوجد المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 4، و6 ، فأننا يجب أولاً أن نكتب مضاعفات كل عدد على منفرداً حتى نتمكن من العثور على أصغر مضاعف مشترك بينهما ، ويمكن التوضيح من خلال هذا المثال : مضاعفات العدد 4 : 4، 8، 12، 16، ………… مضاعفات العدد 6 : 6 ، 12 ، 18 ، لذلك فإن مضاعفات هذا العدد يكون 6 ، و4 هو 12.

من خلال التحليل إلى العوامل

وتكون هذه الطريقة من خلال أن يتم تحليل كل عدد إلى عوامله الأولية ، ثم الأخذ بالاعتبار عدد المرات التي تكرر فيها كل عامل؛ وذلك كالآتي :

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر بين الأعداد 16، 25، 60 باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل تكون الخطوات كالتالي :
تحليل كل عدد إلى عوامله: عوامل العدد 16: 2×2×2×2 = 24.
عوامل العدد 25 : 5×5 = 52.
عوامل العدد 60: 2×2×3×5 = 22×3×5 .
سنجد أن أكثر مرات تكرر فيها العدد 2 هو 4 مرات ؛ أي أنه ظهر مرفوعاً للأس (4) ، وظهر مرفوعاً للأس 2، والأكبر بينهما هو الأس (4) لذلك يجب أخذ العدد 2 مرفوعاً للأس (4)، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
وتكرر العدد (5) لمرتين فقط ؛ أي أنه ظهر مرفوعاً للأس (2)، كما ظهر مرفوعاً للأس (1)؛ والأكبر بينهما هو الأس (2)؛ لذلك يجب أخذ العدد 5 مرفوعاً للأس (2)، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
العدد 3 لم نجده متكرراً إلا مرة واحدة ، لهذا يجب أخذ العدد 3 مرفوعاً للأس (1) ، ووضعه جانباً لحساب المضاعف المشترك الأصغر.
ولذلك فإن المضاعف المشترك الأصغر بين هذه الأعداد يساوي حاصل ضرب الأعداد التي تم وضعها جانباً: 52×24×3= 1200.

عن طريق القاسم المشترك الأكبر

يثم الحصول على المضاعف المشترك الأصغر للعددين (أ ، وب) مثلاً وهذا إذا كنا نعرف القاسم المشترك بينهما ، لأنه يكون من أهم المعطيات التي توصلنا إلى المضاعف المشترك الأصغر ، من خلال العلاقة التالية : المضاعف المشترك الأصغر بين (أ، ب) = (أ×ب)/ القاسم المشترك الأكبر بين (أ، ب) ، ولتوضيح أكثر نذكر المثال الآتي :

إذا كان القاسم المشترك الأكبر بين العددين 4، و6 يساوي 2، فما هو المضاعف المشترك الأصغر بينهما؟ م.م.أ (4، 6) = (4×6)/2 = 24/2 = 12.

الأعداد الأولية

إذا كان العددان (أ، وب) المُراد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بينهما عددان أوليان فإن المضاعف المشترك الأصغر بينهما يكون بكل سهولة حاصل ضرب العددين في بعضهما أي أن: م.م.أ= أ×ب ، في المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 11، و23 هو كما يلي: م.م.أ= 11×23= 253، ويمكن التأكد من الناتج من خلال طريقة معينة وهي كتابة مضاعفات كل من العددين ، وستلاحظ أن أصغر مضاعف مشترك بينهما يساوي 253 ، وبذلك يكون الناتج صحيح بكل تأكيد . [5]