معادلة برنولي وتطبيقاتها

تعمل نظرية ومعادلة برنولي من أجل حساب تدفق السوائل المثالي على طول خط انسيابي ، وهذه المعادلة والنظرية صالحة فقط إذا كانت الشروط التي تم افتراضها أثناء اشتقاقها جيدة عند تطبيقها على مشكلة ، وتنص نظرية برنولي على أن الطاقة الكلية للسائل في ظل ظروف معينة على طول خط انسيابي تظل ثابتة ، ومن هنا يمكننا استخدام هذه المعادلة لبرنولي بين نقطتين على تبسيط للعثور على معلمات غير معروفة .

تعريف مبدأ برنولي

إن مبدأ برنولي هو مفهوم أن الزيادة في سرعة السائل تخلق انخفاضًا في الضغط وأن انخفاض سرعة السائل يؤدي إلى زيادة الضغط ، ومثال على مبدأ برنولي هو جناح الطائرة حيث يتسبب شكل الجناح في انتقال الهواء لفترة أطول على الجزء العلوي من الجناح مما يتسبب في انتقال الهواء بشكل أسرع ، مما يقلل من ضغط الهواء ويخلق مصعدًا مقارنةً بالمسافة التي يتم قطعها وسرعة الهواء وضغط الهواء الموجود أسفل جناح .

إن زيادة في سرعة السائل الذي يرافقه انخفاض في الضغط ، وأظهر العالم السويسري دانييل برنولي في معظم الحالات أن الضغط في السائل أو الغاز يتناقص مع تحرك السائل أو الغاز بشكل أسرع ، وهذا ما يفسر جزئياً سبب رفع الجناح للطائرة .[1]

ما هي نظرية برنولي

نظرية برنولي هي العلاقة بين الضغط والسرعة والارتفاع في مائع متحرك سواء سائل أو غاز ، وقابلية الانضغاط واللزوجة أي الاحتكاك الداخلي لا يمكن تذكرهما وتدفقهما ثابتان أو رقائقيان ، كانت أول نظرية قام بها عالم الرياضيات السويسري دانييل بيرنولي تنص في الواقع على أن الطاقة الميكانيكية الكلية للسوائل المتدفقة ، بما في ذلك الطاقة المرتبطة بضغط المائع وطاقة الجاذبية المحتملة للارتفاع والطاقة الحركية للسوائل الحركة ، وبالتالي تعتبر نظرية برنولي هي مبدأ الحفاظ على الطاقة للسوائل المثالية في التدفق الثابت وهو الأساس للعديد من التطبيقات الهندسية .

لذلك تشير نظرية برنولي إلى أنه إذا كان السائل يتدفق أفقياً بحيث لا يحدث أي تغيير في طاقة الجاذبية المحتملة ، فإن انخفاض ضغط السائل يرتبط بزيادة سرعة المائع ، وإذا كان السائل يتدفق عبر أنبوب أفقي ذو مساحة مقطعية متفاوتة على سبيل المثال فإن السائل يتسارع في المناطق الضيقة بحيث يكون الضغط الذي يمارسه السائل أقل مكان يكون فيه المقطع العرضي أصغر .[2]

تطبيقات معادلة برنولي

العثور على الضغط في تدفق السوائل

في بعض المشكلات في تدفقات السائل نعرف السرعات عند نقطتين من الانسياب والضغط عند نقطة واحدة ، ويكون المجهول هو ضغط السائل في النقطة الأخرى ، وفي مثل هذه الحالات إذا استوفت الشرط المطلوب لمعادلة برنولي يمكننا استخدام معادلة برنولي للعثور على الضغط غير المعروف .

مثال واحد هو التدفق عبر فوهة حيث تكون فوهة متقاربة ، ويدخل التدفق في فوهة بسرعة منخفضة ويسرع ويترك فوهة في الضغط الجوي ، وعلينا أن نجد الضغط عند المدخل ويمكننا ببساطة تطبيق معادلة برنولي بين نقاط الدخول والخروج وحساب الضغط غير المعروف على افتراض أن التغيير في الارتفاع صفر ، وفي هذا المثال لا يوجد تغيير في الارتفاع حيث أن فوهة التقارب تسبب تسارع السوائل ، ومن ميزة توازن الطاقة للمعادلة يمكننا القول إن الزيادة في السرعة تؤدي إلى انخفاض الضغط عند مخرج الفوهة .

العثور على سرعة تدفق السائل

في المشاكل التي يكون فيها الضغط والارتفاع عند نقطتين والسرعة عند نقطة واحدة معروفين وعلينا أن نجد السرعة غير المعروفة ، يتم تطبيق معادلة بيرنولي لحساب السرعة المطلوبة ، ومثال واحد هو التدفق عبر سيفون حيث يستخدم السيفون لتصريف سائل من خزان على مستوى أعلى إلى مستوى أدنى .

وهنا هو مطلوب للعثور على السرعة التي يترك السائل سيفون ، ونطبق معادلة برنولي بين سطح الخزان ونقطة خروج السيفون حيث يترك السائل الأنبوب ، والضغط في كلتا النقطتين هو نفسه في الغلاف الجوي والسرعة في الخزان تكاد لا تذكر لأن الخزان كبير ، ويمكن حساب السرعة عند نقطة الخروج باستخدام قيم الارتفاع عند النقطتين .

في هذا المثال يمكننا أن نقول إن الانخفاض في الارتفاع أو أن الرأس المحتمل يتجلى في صورة سرعة المائع عند نقطة خروج أنبوب السيفون .

تطبيق معادلة برنولي في الإطارات المتحركة

في بعض أنماط تدفق السوائل تكون شروط تطبيق معادلة برنولي غير راضية في الإطار الثابت ، ولكن في الحالة نفسها بالنسبة لبعض الإطار المرجعي المتحرك يتم استيفاء الشرط المطلوب ، وفي مثل هذه الحالة يمكننا تطبيق معادلة برنولي من الإطار المرجعي بالقصور الذاتي المتحرك ، ومن الأمثلة المناسبة لتطبيق معادلة بيرنولي في إطار مرجعي متحرك العثور على الضغط على أجنحة طائرة تطير بسرعة معينة ، وفي هذه الحالة يتم تطبيق المعادلة بين نقطة ما على الجناح ونقطة في الهواء الحر ، وكانت هذه تطبيقات قليلة لمعادلة برنولي .

تحليل تدفق السوائل

من أجل التصميم الفعال للأنظمة الهيدروليكية في الهندسة المدنية ، من المهم للغاية أولاً تحليل تدفق السوائل عبر النظام ، وتوضح معادلة برنولي ما هي مفاهيم تحليل تدفق المائع وكيف يتم استخدام هذه المفاهيم في سياق تحليل تدفق المائع ، وباستخدام معادلة برنولي يتم التحليل الحركي لتدفق السوائل من حيث الموضع والسرعة الوصف والتسارع في تدفق السوائل وديناميكيات تدفق السوائل .

تطبيق معادلة برنولي على تدفق الغازات

تكون معادلة برنولي صالحة في بعض الأحيان لتدفق الغازات شريطة ألا يكون هناك نقل للطاقة الحركية أو المحتملة من تدفق الغاز إلى ضغط أو تمدد الغاز ، وإذا تغير كل من ضغط الغاز وحجمه في وقت واحد فسيتم العمل على أو بواسطة الغاز .

في هذه الحالة لا يمكن افتراض أن معادلة برنولي في شكل تدفق غير قابل للضغط ومع ذلك إذا كانت عملية الغاز متوازنة بالكامل أو متساوية اللون ، فلن يتم إجراء أي عمل على الغاز أو بواسطة الغاز ، وبالتالي فإن توازن الطاقة البسيط لا ينزعج ، ووفقًا لقانون الغاز عادة ما تكون العملية المتساوية أو المتساوية هي الطريقة الوحيدة لضمان كثافة ثابتة في الغاز ، كما أن كثافة الغاز ستكون متناسبة مع نسبة الضغط ودرجة الحرارة المطلقة ولكن هذه النسبة ستختلف عند الضغط أو التمدد بغض النظر عن كمية الحرارة غير الصفر التي تتم إضافتها أو إزالتها .

إن الاستثناء الوحيد هو إذا كان انتقال الحرارة الصافي هو صفر ، كما هو الحال في دورة ديناميكية حرارية كاملة أو في عملية فردية غير متجانسة غير متجانسة الاحتكاك ، وعندئذ يجب عكس هذه العملية القابلة للعكس لاستعادة الغاز إلى الضغط الأصلي ومحددة حجم وبالتالي

الكثافة

، وعندها فقط تنطبق معادلة برنولي الأصلية غير المعدلة ، وفي هذه الحالة يمكن استخدام المعادلة إذا كانت سرعة تدفق الغاز أقل من سرعة الصوت ، بحيث يمكن تجاهل الاختلاف في كثافة الغاز نتيجة لهذا التأثير على طول كل خط انسيابي .[3]