بحث عن المشتقات في الرياضيات
يضم علم الرياضيات عدد كبير من العلوم الفرعية ولا سيما الجبر والهندسة والتفاضل والتكامل والديناميكا والاستاتيكا وغيرهم من العلوم الأخرى ، وقد يجد بعض الطلبة والطالبات نوعًا من الصعوبة في فهم بعض مجالات علم الرياضيات وخصوصًا دروس الرياضيات الخاصة بالدوال والمشتقات وقوانينها .
مُقدمة عن المشتقات
في بداية الأمر يجب أن نعرف ما هو الميل Slope ، حيث أنه يُعبر عن مقدار التغير في كميتين ، فمثلًا إذا كانت القيمة الأولى يُرمز لها بـ X والثانية يُرمز لها بـ Yفإن الميل يكون مقدار التغير في قيمة Y على مقدار التغير في قيمة X والصورة التالية تُوضح ذلك :
وبالتالي يُمكننا أن نُحدد الميل من خلال حساب مقدار التغير في أي قيمتين ، ولكن من خلال الرسم الإحداثي بين المحور السيني والمحور الصادي عن نقطة واحدة لا يُمككنا تقدير الميل التي يكون مقدار الإزاحة بها قريبًا من الصفر ، وهنا يتم استخدام المشتقات.
تعريف المشتقات
المشتقات هي أحد الوسائل الرياضية التي يتم استخدامها من أجل إيجاد قيمة التغير اللحظي في كمية ما ، وبناءً على ذلك تم تعريف الدالة المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى f )X) ويتم رصدها عند أي نقطة ، وبها يتم استخدام صيغة حساب الميل التالية :
والشكل التالي يُوضح مقدار التغير في بعض الكميات المتمثلة في X ، Y كما يلي :
وبذلك فإن مقدار التغير في قيمة X يكون : X+DX
ومقدار التغير في قيمة Y يكون : Y + DY
وقيمة الميل هنا = Y + DY / X+DX
قواعد المشتقات في الرياضيات
الاشتقاق أو التفاضل في الرياضيات يتم من خلال مجموعة من القوانين الرياضة والقواعد الهامة ، ومن القواعد الأساسية للمشتقات هي القاعدة المعروفة باسم Chain rule التي تنص على :
إذا كنت ص = د (س)
ن
؛ فإن صَ = ن [ د (س)
ن-1
× دَ (س) ] .
ومن قواعد التفاضل والاشتقاق بالرياضيات ، ما يلي :
قاعدة ثابتة
إذا كانت د (س) = 3 ، فهذا دليل على أن هذه الدالة تأتي بخط أفقي ليس له ميل ، وبالتالي تكون قيمة التغير = صفر .
قاعدة الاشتقاق كثيرة الحدود
إذا كانت د (س) = س
ن
؛ فإن د (س) = ن س
ن-1
قاعدة جمع وطرح المشتقات
إذا كانت د(س) = ق (س) + هـ (س) ، فإن د(س) = ق (س) + هـ (س) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند س .
وإذا كانت د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ، فإن د(ص) = ق (ص) – هـ (ص) ؛ بشرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند ص .
قاعدة ضرب المشتقات
تنص على أنه إذا كان هناك دالة تأتي من حاصل ضرب كميتين شرط أن تكون قابلة للاشتقاق عند الدالة ؛ فإن القانون يكون على النحو التالي :
مثال: إذا كانت ع = د (س) × ق (س)
فإن مشتقة ع = [ مشتقة د (س) × ق (س) ] + [ د (س) × مشتقة ق (س)
ويمكن صياغة القانون نصيًا على أن مشتقة حاصل ضرب دالتين = [ مشتقة الأولى × الثانية + الأولى × مشتقة الثانية ]
قاعدة قسمة المشتقات
إذا كان كل من ع (س) ، ك (س) قابلتين للاشتقاق عند س وكانت ك (س) لا تساوي صفر ؛ فإن مشتقة ناتج القسمة تكون كما يلي :
د(س) = ع (س) / ك (س) ، ويكون اشتقاق الدالة على النحو التالي :
دَ(س) = [ مشتقة ع (س) × ك (س) ] – [ ع(س) × مشتقة ك (س) ] / [ك(س)]
2
ويمكن صياغة قانون اشتقاق قسمة دالتين نصيًا كما يلي : (مشتقة الأولى × الثانية) – (الأولى × مشتقة الثانية) ويتم قسمة الناتج على مربع الثانية ، ويجب أن لا تكون قيمة الدالة الثانية تساوي صفر .
قاعدة اشتقاق الكسور
إذا كانت ص = ك
(س / ق)
؛ فإن مشتقة ص = (س/ق) ك
(س / ق) – 1
بشرط أن يكون ناتج س / ق عدد نسبي وليس صحيح .
أمثلة محلولة على المشتقات
مثال1 : إذا كانت د(س) = 4س
3
+ 3 س
2
+ س + 2 ؛ أوجد مشتقة الدالة .
جـ1: دَ(س) = 12 س
(3 – 1)
+ 6 س
(2 – 1)
+ س
(1 – 1)
+ 0
= 12 س
2
+ 6س
1
+ س
0
= 12 س2 + 6س + 1
مثال 2 : إذا كانت ص = س
(3/2)
فإن صَ = 3/2 (س)
(1.5 – 1)
= 1.5 س
0.5